新教材2023版高中数学第七章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.2超几何分布学生用书新人教A版选择性必修第三册

7.4.2超几何分布课标解读1.了解超几何分布．2．会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值．3．了解超几何分布与二项分布的关系，能利用超几何分布概率模型解决实际问题．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M要点二超几何分布的均值设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝MN，则E(X)＝________助学批注批注一定要注意公式中字母的范围及其意义，N—总体中的个体总数，M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)，n—样本容量，k—样本中的特殊个体数(如次品数)．求分布列时，可以直接利用组合数的意义列式计算，不必机械地记忆这个概率分布列．夯实双基1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)超几何分布的模型是有放回的抽样．()(2)超几何分布的总体里只有两类物品．()(3)二项分布与超几何分布是同一种分布．()(4)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.()2．在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为()A．N＝10，M＝4，n＝6B．N＝10，M＝6，n＝4C.N＝14，M＝10，n＝4D．N＝14，M＝4，n＝103．盒中有4个白球、5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是()A．3742B．C．1021D．4．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1超几何分布模型的概率例1在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率．方法归纳超几何分布模型的概率的求解策略巩固训练1[2022·北京北师大附中高二期中]数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________.题型2超几何分布的分布列与均值例2[2022·河北张家口高二期末]某班4名女生和3名男生站在一排．(1)求4名女生相邻的站法种数；(2)在这7人中随机抽取3人，记其中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和期望E(X)的值．方法归纳求超几何分布的分布列的步骤巩固训练2从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．(1)求X的分布列；(2)求X的均值．题型3超几何分布与二项分布的区别例3[2022·山东济南高二期末]某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数．(1)若有放回的抽取，求X的分布列与期望；(2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过14方法归纳超几何分布与二项分布的区别超几何分布二项分布试验不放回抽样有放回抽样总体个数有限个无限个随机变量取值的概率利用组合计算利用相互独立事件计算巩固训练3一个袋子中有100个除颜色外完全相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数，分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列和数学期望．7.4.2超几何分布新知初探·课前预习[教材要点]要点二np[夯实双基]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：根据超几何分布概率模型知N＝10，M＝4，n＝6.故选A.答案：A3．解析：p＝C41C52答案：C4．解析：次品数服从超几何分布，则E(X)＝3×10100＝答案：0.3题型探究·课堂解透例1解析：由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，X服从超几何分布，则至少摸到2个红球的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝2291.故中奖的概率为22巩固训练1解析：由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C42C答案：4例2解析：(1)把4名女生看为一个整体，和三名男生排列共有A44种排法，4名女生再排列也有所以4名女生相邻的站法种数576(种)．(2)由题意可知，X服从超几何分布，且N＝7，M＝4，n＝3.X的分布列为P(X＝k)＝C4kC33-kC73X的数学期望E(X)＝0＝0×135巩固训练2解析：(1)根据题意，X＝0，1，2，3，又P(X＝0)＝C43C73＝435，P(X＝P(X＝2)＝C41C32C73＝1235，P故X的分布列为X0123P418121(2)根据(1)中所求分布列可知，X的均值为0×435＋1×1835＋2×1235＋3×1例3解析：(1)有放回的抽取P(取到合格品)＝812＝23，P(取到次品)＝412根据题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4，所以P(X＝0)＝C4023P(X＝1)＝C412P(X＝2)＝C42232P(X＝3)＝C432P(X＝4)＝C442X的分布列为P01234X1883216所以X的数学期望E(X)＝0×181＋1×881＋2×827＋3×3281＋4×(2)由题意得总体中合格品的比例为812＝2因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过14所以样本中合格品的比例大于512小于1112，即样本中合格品的个数为2P(X＝2)＝C82CP(X＝3)＝C83C所以P(样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过14)＝168495+巩固训练3解析：对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为40100＝0.4因此X～B(20，0.4)，X的分