教考衔接求解圆锥曲线问题两类基本方法

教考衔接8求解圆锥曲线问题的两类基本方法⁠

真题展示

（1）求C的方程；

①M在AB上；②PQ∥AB；③｜MA｜＝｜MB｜.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.⁠

解法探究

求解圆锥曲线问题有两类基本方法——解析法、几何法.其中解析法的本质是建立平面直角坐标系，利用坐标将几何问题代数化.而几何法则是直接利用题目中的几何性质（或挖掘图形中的几何性质）恰当的运用平面几何知识进行求解.上述高考真题涉及三个几何关系，并且要求选取其中两个为条件证明另外一个关系成立，几何关系相对复杂.下面就解析法求解该题的关键转化表示如下：题目关系表述本质特征关键转化点M在直线AB上点M（x0，y0）的坐标满足直线AB的方程y0＝k（x0－2）PQ∥AB两直线斜率相等ky0＝3x0｜MA｜＝｜MB｜两线段长度相等，即点M为线段AB的中点探究1

解析法

解析法是求解解析几何问题的最基本的方法，但在解题过程中，对某些几何特征转化是否得当，直接影响下一步的计算量和准确度，甚至还可能导致求解无法进行，因而几何特征的转化需要一定的经验和规律.下面就一些基本的转化技巧予以示例.【例1】

已知直线l：y＝kx－1与双曲线C：x2－y2＝4，在下列各种情况下求实数k的取值范围：（1）直线l与双曲线C没有公共点；

（2）直线l与双曲线C只有一个公共点；

（3）直线l与双曲线C的左支有两个公共点；

（4）直线l与双曲线C的两支各有一个交点.

｜反思感悟｜

解决本题的关键是将直线l与双曲线C的公共点个数问题转化为一元二次方程解的个数问题，但要注意直线l与渐近线平行及在y轴的一侧有两交点等特殊情况的处理.

关键点转化题目关系表述本质特征关键转化与x轴围成等腰三角形两腰倾斜角互补斜率互为相反数kMA＋kMB＝0

｜反思感悟｜

【例3】

已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点M（4，4），其焦点为F，设点Q在抛物线C上，试问在直线2x－y＋6＝0上是否存在点N，使得四边形MQFN是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.关键点转化题目关系表述本质特征关键转化四边形MQFN为平行四边形对边平行且相等

解得t＝－4或t＝1，所以Q（9，6）或Q（4，－4），经检验，两点都满足四边形MQFN是平行四边形.所以直线2x－y＋6＝0上存在点N，使得四边形MQFN是平行四边形，此时Q（9，6）或Q（4，－4）.

关键点转化题目关系表述本质特征关键转化PF⊥x轴PF∥y轴

答案

A⁠答案

A｜反思感悟｜

本题以圆锥曲线中某些线段平行为背景，求解离心率问题.若从解析法角度考虑，联立直线方程与圆锥曲线方程显然运算量大，很难顺利得出结论，故而利用几何法求解较为简捷.

关键点转化

题目关系表述本质特征关键转化PM⊥F1Q，△PF1Q为等腰三角形

答案

（0，3）｜反思感悟｜

本题是椭圆的定义与等腰三角形的性质结合的题目，即利用等腰三角形中线定理及椭圆的定义将｜OM｜的取值范围转化到椭圆的焦点三角形中，由已知一边，求另两边之差的范围，再利用几何图形中P点的两类极端位置求解.

关键点转化

题目关系表述本质特征关键转化∠F1MF2＝90°点M在以O为圆心，｜F1F2｜为直径的圆上

｜反思感悟｜

一般情况下在求解圆锥曲线与圆的综合问题时，要抓住与圆有关的几何性质，如：直径所对的圆周角为直角，垂径定理，弦心距、半弦长及半径之间的勾股关系这些特征进行解题，往往能起到事半功倍的效果.⁠

高考还可这样考

A.4B.3C.2D.1解析：A

如图，连接PF2，因为M是F1P的中点，O是F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线，｜PF2｜