习题课5直线与抛物线的位置关系问题课件-高二上学期数学人教A版2019选择性

习题课5直线与抛物线的位置关系问题习题课1.理解作差法，能利用作差法求解抛物线的中点弦问题.2.能利用抛物线的几何性质求解抛物线的焦点弦问题.3.能根据直线与抛物线的位置关系求解抛物线有关的最值问题.任务：求中点轨迹方程.目标一：理解作差法，能利用作差法求解抛物线的中点弦问题.

已知抛物线，过点Q（2,1）作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点轨迹方程.解：（方法1）设，，，，当过点Q的直线与x轴垂直时，此时，弦AB中点，当过点Q的直线与不与x轴垂直时，设其方程为：，联立方程组，消去y并整理，得，设弦AB的中点坐标为，∴，∴综上所述，弦AB中点的轨迹方程为．（方法2）设，，，，弦AB的中点为M（x，y），则.当过点Q的直线与x轴垂直时，此时，弦AB中点，当过点Q的直线与不与x轴垂直时，，将，，，代入到抛物线方程，得，两式相减，得所以，即，即，将直线斜率不存在时，弦AB中点符合上式.故所求的轨迹方程为.

求解抛物线弦中点的方法：（1）点差法：先设交点坐标，然后代入抛物线方程，作差，利用中点坐标公式代换，进而求解.（2）解方程组法：先设直线方程，然后与抛物线联立求出交轨方程，进而求得根与系数的关系，最后根据中点坐标公式求解.归纳总结练一练

已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于A，B两点，且点Q恰为弦AB的中点，求直线AB的方程.解：设，，，，则可得AB的中点Q的坐标为，，又因为，所以可得，将A，B的坐标代入抛物线的方程：，作差可得，整理可得：，即直线AB的斜率为1，所以直线AB的方程为：，即，故答案为：．任务：求解抛物线的焦点弦问题.目标二：能利用抛物线的几何性质求解抛物线的焦点弦问题.

已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、二象限分别交于A，B两点，求的值.解：（方法1）设，，，，直线l的方程为：则，消去x得，∴点A在第一象限，解得：，，∴（方法2）如图，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为,则由抛物线的定义可知，.过点A作于点E，.易知,故,所以.因此,故.求解抛物线交点弦问题：1.方程组法：先设过焦点的直线方程，然后与抛物线方程联立，求得根与系数的关系，利用抛物线的焦点弦性质求解；2.几何法：根据抛物线定义，将焦点弦问题转化为交点到准线的距离问题，然后通过作图，数形结合，利用平面几何知识求解.归纳总结练一练

已知过抛物线的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，，求p的值.解：抛物线的焦点

，，准线方程为，设，，，，直线AB的方程为，代入可得，，,由抛物线的定义可知，，，解得．任务：求解抛物线的最值问题.目标三：能根据直线与抛物线的位置关系求解抛物线有关的最值问题.

如图，点A是抛物线上的动点，过点的直线AM与抛物线交于另一点B．（1）当A的坐标为时，求点B的坐标；（2）已知点，若M为线段AB的中点，求面积的最大值．解：（1）当A的坐标为时，则，所以，所以抛物线的方程为：，由题意可得直线AM的方程为：，即，代入抛物线的方程可得，解得或2，代入抛物线的方程可得或，所以；（2）设直线AB的方程：，因为M在直线AB上，所以，P到直线AB的距离，设，，，，由是AB的中点可得，联立，整理可得：，所以，即，，所以，将代入，，所以当时，取等号，所以面积的最大值为2．解决与抛物线有关的最值问题的方法与常见题型.1.方法：（1）利用定义转化为平面几何问题处理；（2）通过联立方程组，建立目标函数，利用函数求最值的方法求解，如利用函数的单调性，基本不等式等；2.常见题型：（1）抛物线上的点到直线的距离的最值问题；（2）弦长的最值问题；（3）三角形面积的最值问题.归纳总结练一练

如图，已知直线交抛物线于A、B两点，试在抛物线这段曲线上求一点P，使的面积最大，并求这个最大面积．解：由得：，即，所以、．故．设点，，