2023-2024学年湘教版必修第二册 5-2-2概率的运算 学案

5.2.2概率的运算教材要点要点一概率的加法公式如果Ω中的事件A与事件B互斥，则P(A∪B)状元随笔利用这个公式时一定要注意A与B互斥这一条件．要点二对立事件的概率若事件A是样本空间Ω的事件，则P(A)＝____________．状元随笔(1)对立事件的概率公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用．(2)当一个事件的概率不易直接求出，但其对立事件的概率易求时，可运用对立事件的概率公式，即可使用间接法求概率．要点三一般概率加法公式若事件A，B是样本空间Ω的事件，则P(A∪B)状元随笔(1)事件A，B的交A∩B(2)事件A，B的并A∪B(3)一般概率加法公式可表述为：两个事件的并的概率，等于这两个事件的概率的和与这两个事件的交的概率之差．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)事件A与事件B之和的概率等于事件A与事件B的概率之和．()(2)设A，B是一个随机试验中的两个事件，则P(A∪B)≤P(A)＋P(B(3)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．()(4)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．()2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是1A．56B．25C．13．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为()A．0.2B．0.8C．0.4D．0.14．已知A与B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.1，则P(A∪B)题型1利用概率的加法公式求概率例1黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型ABABO该血型的人所占的比例/%2829835已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？方法归纳运用概率的加法公式解题的步骤：(1)确定题中哪些事件彼此互斥；(2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和；(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．跟踪训练1在数学考试中，小明的成绩在90分(及90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括80分和89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，求：(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；(2)小明数学考试及格的概率．题型2对立事件的概率例2一盒中装有4种除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出1个球，取出红球的概率为512，取出黑球的概率为13，取出白球的概率为16，取出绿(1)取出的1个球是红球或黑球的概率；(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．方法归纳(1)当事件A的概率不易求，直接计算概率比较烦琐时，可先间接地计算其对立事件B的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1求其概率．(2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件．该公式常用于“至少”“至多”型问题的求解．跟踪训练2一名射手在某次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在这次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)射中的环数低于7环的概率．题型2一般概率加法公式的应用例3如图，一面旗帜由3部分构成，这3部分必须分别涂上不同的颜色，现有红、黄、蓝、黑四种颜色可供选择，计算下列事件的概率：(1)红色被选中；(2)第1部分是黑色或第2部分是红色．方法归纳概率加法公式和一般概率加法公式的区别在于A，B是否互斥．跟踪训练3在所有的两位整数中，任取一个数，求这个数能被2或3整除的概率．易错辨析不能区分事件是否互斥而致错例4掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为16，记事件A＝“出现奇数”，事件B＝“向上的数不超过3”，求P(A解析：方法一记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4.这四个事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝16+方法二事件A∪B＝“出现奇数或向上的数不超过3”，则A∪B＝{1，2，3，5}，共有4个样本点，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，共有6个样本点，所以P(A∪B)＝方法三∵A∩B＝{1，3}，∴P(A∩B)＝16又P(A)＝16×3＝12，P(B)＝16∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝12易错警示易错原因纠错心得误认为事件A与事件B是互斥事件，从而应用概率的加法公式致错．1.在使用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B2．掌握互斥事件的特点，分清事件是否为互斥事件．3．若事件A，B不互斥，则应用概率公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩课堂十分钟1．在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是16.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪C(C是事件A．13B．12C．22．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.42B．0.28C．0.3D．0.73．A，B是两个随机事件，已知P(A)＝0.34，P(B)＝0.32，P(A∩B)＝0.31，则P(A∪B)＝(A．0.66B．0.65C．0.35D．0.344．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为15．2.2概率的运算新知初探·课前预习要点一P(A)＋P(B)要点二1－P(A)要点三P(A)＋P(B)－P(A∩[基础自测]1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：P(甲不输)＝P(和棋)＋P(甲获胜)＝12+1答案：A3．解析：乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.答案：B4．解析：因为A与B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B答案：0.3题型探究·课堂解透例1解析：对任何一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.(1)因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.跟踪训练1解析：分别记小明的成绩在“90分(及90分)以上”“80分～89分”“70分～79分”“60分～69分”为事件A，B，C，D，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)方法一小明数学考试及格的概率是P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.方法二小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.例2解析：记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝13，P(A3)＝16，P(A4)＝112.根据题意，知事件A1，A2，A3(1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝5(2)方法一“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A方法二“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A1∪A2∪A3跟踪训练2解析：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在这次射击中，事件A与事件B不可能同时发生，故事件A与事件B是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为A∪B.所以P(A∪B)＝P(A)＋P((2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环．但由于这些概率都未知，故不能直接求解．可考虑从反面入手．“低于7环”的反面是“大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件的方法处理．设“低于7环”为事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”．由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥．故P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03.所以射中的环数低于7环的概率为0.03.例3解析：(1)样本空间共有24个样本点，“红色不被选中”有6个样本点，∴“红色被选中”的概率为P＝1－624＝3(2)“第1部分是黑色”有6个样本点，“第2部分是红色”有6个样本点，“第1部分是黑色且第2部分是红色”有2个样本点，故“第1部分是黑色或第2部分是红色”概率为P(A∪B)＝624+跟踪训练3解析：样本空间共有90个样本点，A＝“能被2整除”，B＝“能被3整除”，A∩B＝“能被6整除”，且A中共在45个样本点，B中共有30个样本点，A∩B中共有15个样本点，所以P(A∪B)＝45[课堂十分钟]1．解析：由题意可知事件C表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件C是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式可得P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝26+答案：C2