江苏省高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第6讲 立体几何中的计算练习-人教版高三数学试题

第6讲立体几何中的计算eq\a\vs4\al(课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角)A级——高考保分练1．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为________．解析：由题意，得圆锥的母线长l＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以S圆锥侧＝πrl＝π×1×eq\r(5)＝eq\r(5)π.答案：eq\r(5)π2．已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6cm，那么它的体积为________cm3.解析：设正六棱柱的底面边长为xcm，由题意得6x×6＝72，所以x＝2，于是其体积V＝eq\f(\r(3),4)×22×6×6＝36eq\r(3)(cm)3.答案：36eq\r(3)3．(2019·南京学情调研)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，则四棱锥A1­B1C1CB的体积是________．解析：如图，取B1C1的中点E，连结A1E，易证A1E⊥平面BB1C1C，所以A1E为四棱锥A1B1C1CB的高，所以V四棱锥A1­B1C1CB＝eq\f(1,3)S矩形BB1C1C×A1E＝eq\f(1,3)×(2×3)×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)4．(2019·常州期末)已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．解析：设圆锥底面半径为2r，高为2h，则圆柱底面圆半径为r，高为h，所以eq\f(V圆柱,V圆锥)＝eq\f(πr2h,\f(1,3)π2r2·2h)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)5．(2019·苏州期末)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．解析：正三棱锥的底面正三角形的边长为2×2×cos30°＝2eq\r(3)，底面正三角形的面积S＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)×sin60°＝3eq\r(3)，三棱锥的高h＝2.所以正三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×2＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)6．已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为________．解析：将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2eq\r(2).因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径2R＝2eq\r(2)，则球O的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(2),3)π.答案：eq\f(8\r(2),3)π7．(2019·姜堰中学检测)已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝eq\r(2)，E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体PBCE的外接球表面积为________．解析：在几何体PBCE中，PB⊥PC，PB⊥PE，PC⊥PE，即三棱锥可以补成以PB，PC，PE为边的长方体，其对角线为外接球的直径，即2r＝eq\r(12＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(10),2)，故r＝eq\f(\r(10),4)，外接球的表面积为4×π×eq\f(10,16)＝eq\f(5π,2).答案：eq\f(5π,2)8．已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．解析：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则l＝eq\r(4－4r2)，0<r<1.圆柱的侧面积为S＝2πrl＝2πr·eq\r(4－4r2)＝4πeq\r(r21－r2)≤2π[r2＋(1－r2)]＝2π，当且仅当r2＝1－r2，即r＝eq\f(\r(2),2)时取“＝”，所以这个圆柱的侧面积的最大值为2π.答案：2π9．有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b,1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．解析：设所得新长方体的高为h.根据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝2，,a＋1b＋2h＝2，))所以h＝eq\f(2,a＋1b＋2)＝eq\f(2,ab＋2a＋b＋2)＝eq\f(2,2a＋b＋4)≤eq\f(2,2\r(2ab)＋4)＝eq\f(1,4)，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．故所得新长方体高的最大值为eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)10.(2019·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．解析：设球形容器的最小半径为R，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上．球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R＝eq\r(12＋22＋52)＝eq\r(30)，得4R2＝30.从而S球面＝4πR2＝30π.答案：30π11．已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S，求其内接正四棱柱的体积．解：设等边圆柱的底面半径为r，则高h＝2r.因为S＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2，所以r＝eq\r(\f(S,6π))，所以内接正四棱柱的底面边长a＝2rsin45°＝eq\r(2)r，所以内接正四棱柱的体积V＝S底·h＝(eq\r(2)r)2·2r＝4r3＝eq\f(S\r(6πS),9π2).12.如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB，BC⊥FD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q.(1)证明：PQ∥平面ABCD；(2)若CD⊥BE，EF＝EC＝1，CD＝2EF＝eq\f(2,3)BC，求五面体ABCDFE的体积．解：(1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC.又AD⊂平面ADF，BC⊄平面ADF，所以BC∥平面ADF.又BC⊂平面BCPQ，平面BCPQ∩平面ADF＝PQ，所以BC∥PQ.又PQ⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.(2)由CD⊥BE，CD⊥CB，易证CD⊥CE.由BC⊥CD，BC⊥FD，易证BC⊥平面CDFE，所以CB⊥CE，即CD，CE，CB两两垂直．如图，连接FB，FC，因为EF＝EC＝1，CD＝2EF＝eq\f(2,3)BC，所以CD＝2，BC＝3，V四棱锥F­ABCD＝eq\f(1,3)×(2×3)×1＝2，V三棱锥F­BCE＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×3×1))×1＝eq\f(1,2)，所以VABCDFE＝V四棱锥F­ABCD＋V三棱锥F­BCE＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).B级——难点突破练1．已知底面半径为1，高为eq\r(3)的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为________．解析：如图，△ABC为圆锥的轴截面，O为其外接球的球心，设外接球的半径为R，连接OB，OA，并延长AO交BC于点D，则AD⊥BC，由题意知，AO＝BO＝R，BD＝1，AD＝eq\r(3)，则在Rt△BOD中，有R2＝(eq\r(3)－R)2＋12，解得R＝eq\f(2\r(3),3)，所以外接球O的表面积S＝4πR2＝eq\f(16π,3).答案：eq\f(16π,3)2.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为eq\f(1,2)cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________cm3.解析：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，O1O2O3O4为正四面体，棱O1O2到棱O3O4的距离为eq\f(\r(2),2)，所以注水高为1＋eq\f(\r(2),2).故应注水体积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)))－4×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),2)π.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(\r(2),2)))π3．如图①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图②所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B­DEG的体积．解：(1)证明：在题图①中，因为AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，所以∠ACB＝60°.因为CD为∠ACB的平分线，所以∠BCD＝∠ACD＝30°，所以CD＝2eq\r(3).又因为CE＝4，∠DCE＝30°，所以DE＝2.则CD2＋DE2＝CE2，所以∠CDE＝90°，即DE⊥CD.在题图②中，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，所以DE⊥平面BCD.(2)在题图②中，因为EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，所以EF∥BG.因为点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，所以AE＝EG＝CG＝2.过点B作BH⊥CD交于点H.因为平面BCD⊥平面ACD，BH⊂平面BCD，所以BH⊥平面ACD.由条件得BH＝eq\f(3,2).又S△DEG＝eq\f(1,3)S△ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·CD·sin30°＝eq\r(3)，所以三棱锥B­DEG的体积为V＝eq\f(1,3)S△DEG·BH＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),2).4.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积eq\f(\r(6),3)，求该三棱锥E­ACD的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.因为BD∩BE＝B，BD⊂平面BED，BE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因为AE⊥EC，所以在Rt△A