广东省惠东县惠东中学2024届数学高二下期末联考试题含解析

广东省惠东县惠东中学2024届数学高二下期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知某批零件的长度误差（单位）服从正态分布，若，，现从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率（）A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.31742．随机变量的分布列如右表，若，则（）012A． B． C． D．3．设曲线在点处的切线与直线平行，则（）A．B．C．D．4．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种 B．28种 C．32种 D．36种5．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，且侧棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=3，，则球的表面积为（）A．36π B．64π C．100π D．104π7．已知，若；，．那么p是q的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件8．已知过点且与曲线相切的直线的条数有（）．A．0 B．1 C．2 D．39．若集合，函数的定义域为集合B，则A∩B等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2）10．已知随机变量服从正态分布，则等于（）A． B． C． D．11．在直角坐标系中，一个质点从出发沿图中路线依次经过，，，，按此规律一直运动下去，则（）A．1006 B．1007 C．1008 D．100912．在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，直线分抛物线与轴所围图形为面积相等的两部分，则的值为__________．14．已知函数的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.则的解析式为________．15．已知对任意正实数，都有，类比可得对任意正实数都有_______________．16．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的长轴长为，且椭圆与圆的公共弦长为（1）求椭圆的方程.（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.18．（12分）已知函数，且函数在和处都取得极值．（1）求，的值；（2）求函数的单调递增区间．19．（12分）在数列中，，，且对任意的N*，都有.（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数，.（1）当时，求的最小值；（2）当时，若存在，使得对任意的恒成立，求的取值范围．21．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论22．（10分）已知实数a>0，设函数f(x)=|x+1（1）证明：f(x)≥2；（2）若f(3)≤5，求a的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

，由此可得答案．【题目详解】解：由题意有，故选：B．【题目点拨】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．2、B【解题分析】分析：根据题目条件中给出的分布列，可以知道和之间的关系，根据期望为，又可以得到一组关系，这样得到方程组，解方程组得到的值.进而求得.详解：根据题意，解得则故选B.点睛：本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，属基础题.3、D【解题分析】试题分析：由的导数为，则在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，所以，故选D．考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程．4、B【解题分析】试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有种分法，将剩余的本小说，本诗集分给剰余个同学，有种分法，那共有种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有种情况，将剩余的本小说分给剩余个人，只有一种分法，那共有：种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的个人，有种分法，那共有：种，综上所述：总共有：种分法，故选B.考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5、C【解题分析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C6、C【解题分析】分析：求出，由正弦定理可得可得外接圆的半径，从而可求该三棱柱的外接球的半径，即可求出三棱柱的外接球表面积.详解：，，∴三角形的外接圆直径，，平面，，∴该三棱柱的外接球的半径，∴该三棱柱的外接球的表面积为，故选C．点睛：本题主要考查三棱柱的外接球表面积，正弦定理的应用、余弦定理的应用以及考查直线和平面的位置关系，意在考查综合空间想象能力、数形结合思想以及运用所学知识解决问题的能力.7、C【解题分析】

转化，为，分析即得解【题目详解】若命题q为真，则，等价于因此p是q的充分不必要条件故选：C【题目点拨】本题考查了充分必要条件的判定，及存在性问题的转化，考查了学生逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.8、C【解题分析】

设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程．【题目详解】若直线与曲线切于点，则，又∵，∴，∴，解得，，∴过点与曲线相切的直线方程为或，故选C．【题目点拨】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9、D【解题分析】试题分析：，，所以。考点：1.函数的定义域；2.集合的运算。10、D【解题分析】

根据正态分布的性质求解.【题目详解】因为随机变量服从正态分布，所以分布列关于对称，又所有概率和为1，所以.故选D.【题目点拨】本题考查正态分布的性质.11、D【解题分析】

分析：由题意得，即，观察前八项，得到数列的规律，求出即可.详解：由直角坐标系可知，，即，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的项数除以2，则，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为，则，，故选D.点睛：本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于难题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12、B【解题分析】解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得|PF2|=根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a-c，故≥a-c，即a≤3ce≥，又e＜1，故该椭圆离心率的取值范围故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标,再根据定积分求两部分的面积,列出等式求解即可.【题目详解】联立或.由图易得由题设得,即.即化简得.解得.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了定积分的运用,需要根据题意求到交界处的点横坐标,再根据定积分的几何意义列式求解即可.属于中档题.14、【解题分析】

根据函数周期为，求出，再由图象的最低点，得到振幅，及.【题目详解】因为图象与两个交点之间的距离为，所以，所以，由于图象的最低点，则，所以，当时，，因为，所以，故填：.【题目点拨】本题考查正弦型函数的图象与性质，考查数形结合思想的应用，注意这一条件限制，从面得到值的唯一性.15、.【解题分析】分析：根据类比的定义，按照题设规律直接写出即可.详解：由任意正实数，都有，推广到则.故答案为点睛：考查推理证明中的类比，解此类题型只需按照原题规律写出即可，属于基础题.16、．【解题分析】试题分析：由三视图可得几何体为正方体挖去一个圆锥：则：，．得体积为：考点：三视图与几何体的体积．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】试题分析：（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为，设，的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得点的横坐标的范围．试题解析：（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）直线的解析式为，设，的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故，所以，.因为，所以，即，所以.当时，，所以；当时，，所以.综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.18、(1),；(2).【解题分析】

(1)易得和为导函数的两个零点,代入计算即可求得.(2)求导分析的解集即可.【题目详解】(1)∵.∴,∵函数在和处都取得极值,故和为的两根.故.即,(2)由(1)得故当,即时,即,解得或.∴函数的单调递增区间为.【题目点拨】本题主要考查了根据极值点求解参数的问题以及求导分析函数单调增区间的问题.需要根据题意求导,根据极值点为导函数的零点以及导函数大于等于0则原函数单调递增求解集即可.属于中档题.19、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）可变形为，故是等比数列.利用累加法可以求出的通项.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，用裂项相消法可求，求出的最小值后可得的取值范围.【题目详解】（Ⅰ）由可得．又，，所以，故.所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以.所以.（Ⅱ）因为.所以.又因为对任意的都有，所以恒成立，即,即当时，.【题目点拨】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）求出f（x）的定义域，求导数f′（x），得其极值点，按照极值点a在[1，e2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，可得其最小值；（2）存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即f（x）min＜g（x）min，由（1）知f（x）在[e，e2]上递增，可得f（x）min，利用导数可判断g（x）在[﹣2，0]上的单调性，可得g（x）min，由f（x）min＜g（x）min，可求得a的范围；【题目详解】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）（a∈R），当a≤1时，x∈[1，e2]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，所以f（x）min＝f（1）＝1﹣a；当1＜a＜e2时，x∈[1，a]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，x∈[a，e2]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，所以f（x）min＝f（a）＝a﹣（a+1）lna﹣1；当a≥e2时，x∈[1，e2]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，所以f（x）min＝f（e2）＝e2﹣2（a+1）；综上，当a≤1时，f（x）min＝1﹣a；当1＜a＜e2时，f（x）min＝a﹣（a+1）lna﹣1；当a≥e2时，f（x）min＝e2﹣2（a+1）；（2）存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即f（x）min＜g（x）min，当a＜1时，由（1）可知，x∈[e，e2]，f（x）为增函数，∴f（x1）min＝f（e）＝e﹣（a+1）g′（x）＝x+ex﹣xex﹣ex＝x（1﹣ex），当x∈[﹣2，0]时g′（x）≤0，g（x）为减函数，g（x）min＝g（0）＝1，∴e﹣（a+1）1，a，∴a∈（，1）．【题目点拨】