北京市交通大学附属中学2024届高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

北京市交通大学附属中学2024届高二数学第二学期期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．2．已知函数为奇函数,则（）A． B． C． D．3．对于复数，给出下列三个运算式子：（1），（2），（3）.其中正确的个数是（）A． B． C． D．4．已知函数，若且，则n-m的最小值为()A．2ln2-1 B．2-ln2 C．1+ln2 D．25．在等差数列中，若，，则（）A． B．1 C． D．6．已知角的终边经过点，则的值等于（）A． B． C． D．7．在上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．8．某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（）A．80种 B．90种 C．120种 D．150种9．函数的部分图像大致为（）A． B．C． D．10．已知i是虚数单位,若复数z满足,则=A．-2i B．2i C．-2 D．211．已知平面向量，的夹角为，，，则（）A．4 B．2 C． D．12．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为10名学生的预赛成绩，其中有些数据漏记了（见表中空白处）学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.681.821.801.601.761.741.721.921.7830秒跳绳（单位：次）63756062727063在这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则以下判断正确的为（）A．4号学生一定进入30秒跳绳决赛B．5号学生一定进入30秒跳绳决赛C．9号学生一定进入30秒跳绳决赛D．10号学生一定进入30秒眺绳决赛二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数有极大值又有极小值，则的取值范围是__________．14．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．15．如图，在梯形中，，，，，，如果，则________.16．已知函数.设是函数图象的一条对称轴，则的值等于_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与直线（为参数，）交于点，与曲线交于点（异于极点），且，求.18．（12分）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球．如果不放回的依次取出2个球．回答下列问题：(Ⅰ)第一次取出的是黑球的概率；(Ⅱ)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；(Ⅲ)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．19．（12分）已知命题函数是上的奇函数，命题函数的定义域和值域都是，其中.（1）若命题为真命题，求实数的值；（2）若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围.20．（12分）随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？21．（12分）已知椭圆C:x2a2+y2（1）求椭圆C的标准方程；（2）设M为椭圆C的右顶点，过点N(6,0)且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，求证:22．（10分）已知函数.（1）若函数在处的切线方程为，求的值；（2）若函数无零点，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.2、A【解题分析】

根据奇函数性质,利用计算得到,再代入函数计算【题目详解】由函数表达式可知，函数在处有定义，则，，则，.故选A.【题目点拨】解决本题的关键是利用奇函数性质,简化了计算,快速得到答案.3、D【解题分析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得，（1）正确；设，则，，（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知，（3）正确，即正确命题的个数是，故选D.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题.4、C【解题分析】

作出函数的图象，由题意可得，求得，可得，，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得解．【题目详解】解：作出函数的图象如下，，且，可得，，即为，可得，，，令，则当时，，递减；当时，，递增．则在处取得极小值，也为最小值，故选C．【题目点拨】本题考查分段函数及应用，注意运用转化思想和数形结合思想，运用导数求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5、C【解题分析】

运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可．【题目详解】由题意知，所以.故选C.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题．6、A【解题分析】

由三角函数的定义可求出的值.【题目详解】由三角函数的定义可得，故选A.【题目点拨】本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.7、D【解题分析】

利用函数在连续可导且单调递增，可得导函数在大于等于0恒成立即可得到的取值范围．【题目详解】因为函数在连续可导且单调递增，所以在恒成立，分离参数得恒成立，即，故选D．【题目点拨】本题考查函数在区间内单调递增等价于在该区间内恒成立．8、D【解题分析】

不同的分配方案有(C9、B【解题分析】

结合函数的性质，特值及选项进行排除.【题目详解】当时，，可以排除A,C选项；由于是奇函数，所以关于点对称，所以B对，D错.故选：B.【题目点拨】本题主要考查函数图象的识别，由解析式选择函数图象时，要注意特值法的使用，侧重考查直观想象的核心素养.10、A【解题分析】由得,即,所以,故选A.【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.11、B【解题分析】

将两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.【题目详解】依题意.故选B.【题目点拨】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.12、D【解题分析】

先确定立定跳远决赛的学生，再讨论去掉两个的可能情况即得结果【题目详解】进入立定跳远决赛的学生是1，3，4，6，7，8，9，10号的8个学生，由同时进入两项决赛的有6人可知，1，3，4，6，7，8，9，10号有6个学生进入30秒跳绳决赛，在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中，3，6，7号学生的成绩依次排名为1，2，3名，1号和10号成绩相同，若1号和10号不进入30秒跳绳决赛，则4号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人，矛盾，所以1，3，6，7，10号学生必进入30秒跳绳决赛.选D.【题目点拨】本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题可知有两个不相等的实数根,再根据二次函数的判别式法求解即可.【题目详解】由题,有两个不相等的实数根,故,即,解得或.故的取值范围是.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了根据函数的极值求解参数范围的问题,同时也考查了二次函数的根的分布问题,属于基础题.14、乙【解题分析】

先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的.然后再逐个去判断其他三个人的说法.最后看是否满足题意，不满足排除．【题目详解】解：先假设甲说的对，即甲或乙申请了.但申请人只有一个，(1)如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的，丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请.(2)如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁.满足题意．故答案为：乙．【题目点拨】本题考查了合情推理的应用，属于中档题．15、【解题分析】试题分析：因为，所以考点：向量数量积16、【解题分析】

先将f（x）的解析式进行降幂，再由x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴可得到x0的关系式，将x0的关系式代入即可得到答案．【题目详解】由题设知．

因为是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以，即（k∈Z）．

所以．

故答案为．【题目点拨】本题主要考查三角函数的二倍角公式和对称轴问题．属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2).【解题分析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标方程的转化，可直接求得直角坐标方程。（2）将直线参数方程转化为极坐标方程，将代入曲线C和直线方程，求得两个值，根据即可求出m的值。详解：（1）∵，∴，∴，故曲线的直角坐标方程为.（2）由（为参数）得，故直线（为参数）的极坐标方程为.将代入得，将代入，得，则，∴.点睛：本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转化应用，主要是记住转化的公式，属于简单题。18、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解题分析】

（Ⅰ）黑球有3个，球的总数为5个，代入概率公式即可；（Ⅱ）利用独立事件的概率公式直接求解即可；（Ⅲ）直接用条件概率公式求解．【题目详解】依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球”，设事件B表示“第二次取出的是白球”（Ⅰ）黑球有3个，球的总数为5个，所以P（A）；（Ⅱ）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为P（AB）；（Ⅲ）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为P（B|A）．【题目点拨】本题考查了古典概型的概率公式，考查了事件的相互独立性及条件概率，属于基础题．19、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）根据奇函数定义得f(－x)＋f(x)＝0，解得实数的值；（2）根据函数单调性得转化为对应一元二次方程有两个大于1的不相等实根，利用实根分布解得k的取值范围，由“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得命题p和q中有且仅有一个为真命题，根据真假列方程组解得实数的取值范围.详解：（1）若命题p为真命题，则f(－x)＋f(x)＝0，即，化简得对任意的x∈R成立，所以k＝1．（2）若命题q为真命题，因为在[a，b]上恒成立，所以g(x)在[a，b]上是单调增函数，又g(x)的定义域和值域都是[a，b]，所以所以a，b是方程的两个不相等的实根，且1＜a＜b．即方程有两个大于1的实根且不相等，记h(x)＝k2x2－k(2k－1)x＋1，故，解得，所以k的取值范围为．因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p和q中有且仅有一个为真命题，即p真q假，或p假q真．所以或所以实数k的取值范围为．点睛：以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.20、（1）（2）①平均值可估计为15元.②公司不应将前台工作人员裁员1人.【解题分析】分析：（1）利用古典概型概率公式可估计样本中包裹件数在之间的概率为，服从二项分布，从而可得结果；（2）①整理所给数据，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁员，求出公司每日利润的数学期望，若裁员一人，求出公司每日利润的数学期望，比较裁员前后公司每日利润的数学期望即可得结果.详解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率，故可估计概率为，显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数服从二项分布，即，故所求概率为（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：）12345快递费（单位：元）1015202530包裹件数43301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围0～100101～200201～300301～400401～500包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250350450频率0.10.10.50.20.150×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围0～100101～200201～300301～400401～500包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250300300频率0.10.10.50.20.150×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235故公司平均每日利润的期望值为（元）因，故公司不应将前台工作人员裁员1人.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“