2024届湖南省重点中学高二数学第二学期期末监测试题含解析

2024届湖南省重点中学高二数学第二学期期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．242．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设是等差数列.下列结论中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．若，则实数的值为（）A．1 B．-2 C．2 D．-2或15．将点的直角坐标(－2，2)化成极坐标得()．A．(4，) B．(－4，) C．(－4，) D．(4，)6．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（）A．310B．35C．17．，，则的值为（）A． B． C． D．8．某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为（）A．64 B．81 C．36 D．1009．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．8910．定义在区间上的函数的图象如图所示，以为顶点的△ABC的面积记为函数，则函数的导函数的大致图象为()A． B． C． D．11．设，则=A．2 B． C． D．112．演绎推理“因为时，是的极值点，而对于函数，，所以0是函数的极值点.”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．全不正确二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等差数列中，若，则___________.14．某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表玩手机不玩手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030经计算的值，则有__________的把握认为玩手机对学习有影响．附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，.15．已知定义在上的函数在导函数为，若，且当时，，则满足不等式的实数的取值范围是__________．16．已知双曲线的左右顶点分别是，右焦点，过垂直于轴的直线交双曲线于两点，为直线上的点，当的外接圆面积达到最小时，点恰好落在（或）处，则双曲线的离心率是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的500名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示．根据上表数据统计，可知考试成绩落在之间的频率为．（Ⅰ）求m、n的值；（Ⅱ）已知本欢质检中的数学测试成绩，其中近似为样本的平均数，近似为样本方差，若该市有4万考生，试估计数学成绩介于分的人数；以各组的区间的中点值代表该组的取值Ⅲ现按分层抽样的方法从成绩在以及之间的学生中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取4人进行试卷分析，记被抽取的4人中成绩在之间的人数为X，求X的分布列以及期望．参考数据：若，则，，．18．（12分）如图，已知点是椭圆上的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率都存在．（1）若直线过原点，求证：为定值；（2）若直线不过原点，且，试探究是否为定值．19．（12分）已知函数的定义域为；（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值.20．（12分）己知抛物线的顶点在原点，焦点为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）是抛物线上一点，过点的直线交于另一点，满足与在点处的切线垂直，求面积的最小值，并求此时点的坐标。21．（12分）将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为，第二次出的点数为，且已知关于、的方程组.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为，求且的概率.22．（10分）已知函数.证明：；已知，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种考点：排列、组合及简单计数问题2、B【解题分析】

分别将两个不等式解出来即可【题目详解】由得由得所以“”是“”的必要不充分条件故选：B【题目点拨】设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若AB,则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的必要不充分条件，若A=B，则p是q的充要条件.3、C【解题分析】

先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，D选项，故D错，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.4、A【解题分析】分析：据积分的定义计算即可．详解：解得或（舍）.故选A点睛：本题考查的知识点是定积分，根据已知确定原函数是解答的关键．5、A【解题分析】

由条件求得、、的值，可得的值，从而可得极坐标.【题目详解】∵点的直角坐标∴，，∴可取∴直角坐标化成极坐标为故选A.【题目点拨】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用、、(由所在象限确定).6、C【解题分析】试题分析：因为第一次摸到红球的概率为35，则第一次摸出红球且第二次摸出红球的概率为35×考点：1、条件概率；2、独立事件．7、B【解题分析】

利用同角三角函数的平方关系计算出的值，再利用诱导公式可得出的值.【题目详解】，，且，由诱导公式得，故选B.【题目点拨】本题考查同角三角函数的平方关系，同时也考查了诱导公式的应用，在利用同角三角函数基本关系求值时，先要确定角的象限，确定所求三角函数值的符号，再结合相应的公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.8、B【解题分析】

由题甲，乙均有两种情况，一荤一素和两素，再由分步原理可得种数。【题目详解】甲有两种情况：一荤一素，种；两素，种.故甲共有种，同理乙也有9种，则两人打菜方法的种数为种.故选B.【题目点拨】本题考查分类加法和分步乘法计数原理，属于基础题。9、B【解题分析】试题分析：由题意，①②③④⑤⑥⑦⑧，从而输出，故选B.考点：1.程序框图的应用.10、D【解题分析】

连结AB后，AB长为定值，由C点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求．【题目详解】解：如图，△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选D．【题目点拨】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题．11、C【解题分析】

先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求．【题目详解】因为，所以，所以，故选C．【题目点拨】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．12、A【解题分析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为时，是的极值点，而对于函数，，所以0是函数的极值点.”中，

大前提：时，在两侧的符号如果不相反，则不是的极值点，故错误，

故导致错误的原因是：大前提错误，

故选：A．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、10.【解题分析】

直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解的值．【题目详解】在等差数列中，由，，，且，所以，所以．故答案为：10.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式，考查用基本量法求．14、99.5【解题分析】分析：由已知列联表计算出后可得．详解：，∵，∴有99.5%的把握认为玩手机对学习有影响．点睛：本题考查独立性检验，解题关键是计算出，然后根据对照表比较即可．15、【解题分析】分析：根据条件得到函数的对称性，结合函数的单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，利用特殊值法进行求解即可.详解：由，得函数关于对称，当时，，即在上单调递减，不妨设，则不等式等价为，即，即，得，故实数的取值范围是.故答案为：.点睛：本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的对称性和单调性，利用特殊值法是解决本题的关键.16、【解题分析】

设点的坐标为，求出点的坐标，由的外接圆面积取最小值时，取到最大值，则，利用基本不等式求出的最小值，利用等号成立求出的表达式，令求出双曲线的离心率的值．【题目详解】如下图所示，将代入双曲线的方程得，得，所以点，设点的坐标为，由的外接圆面积取最小值时，则取到最大值，则取到最大值，，，，当且仅当，即当时，等号成立，所以，当时，最大，此时的外接圆面积取最小值，由题意可得，则，此时，双曲线的离心率为，故答案为．【题目点拨】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用基本不等式求最值，本题中将三角形的外接圆面积最小转化为对应的角取最大值，转化为三角函数值的最值求解，考查化归与转化思想的应用，运算量较大，属于难题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）5416；（Ⅲ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）根据考试成绩落在之间的频率为，可知频数为140，结合样本数可求m、n；（Ⅱ）先求出样本数的平均数和方差，再结合正态分布求出数学成绩介于分的人数；（Ⅲ）求出X的所有可能取值，分别求得概率，列出分布列求出期望.【题目详解】解：Ⅰ由题意可得解得.Ⅱ依题意，成绩X人数Y1012021010040频率0.060.240.420.200.08故，．则，所以，故所求人数为．Ⅲ依题意成绩在之间的抽取9人，成绩在之间的抽取1人，故X的可能取值为0，1，2，1．故，，，．故X的分布列为X0121P故E．【题目点拨】本题主要考查利用样本估计总体和随机变量的分布列及期望，侧重考查数据分析，数学建模和数学运算的核心素养.18、（1）见解析（2），详见解析【解题分析】

（1）设，，由椭圆对称性得，把点，的坐标都代入椭圆得到两个方程，再相减，得到两直线斜率乘积的表达式；（2）设，，，则，由得：，进而得到直线的方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理得到坐标之间的关系，最后整体代入消元，得到为定值.【题目详解】（1）当过原点时，设，，由椭圆对称性得，则．∵，都在椭圆上，∴，，两式相减得：，即．故．（2）设，，，则，∵，∴，设直线的方程为()，联立方程组消去，整理得．∵在椭圆上，∴，上式可化为．∴，，∴，，，∴；．∴（定值）．【题目点拨】本题考查直线与椭圆的位置关系，对综合运算能力要求较高，对坐标法进行深入的考查，要求在运算过程中要大胆、耐心、细心地进行运算.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）由定义域为R，只需求解|x﹣3|+|x|的最小值，即可得实数m的取值范围（2）根据（1）实数t的值，利用柯西不等式即可求解最小值．【题目详解】(1)函数的定义域为R，那么|x﹣3|+|x|﹣m≥0对任意x恒成立，∴只需m≤（|x﹣3|+|x|）min，根据绝对值不等式|x﹣3|+|﹣x|≥|x﹣3﹣x|＝3∴3﹣m≥0，所以m≤3，故实数m的取值范围（﹣∞，3]；（2）由（1）可知m的最大值为3，即t＝3，那么a2+b2+c2＝t2＝9，则a2+1+b2+1+c2+1＝12，由柯西不等式可得（）（a2+1+b2+1+c2+1）≥（1+1+1）2＝9，∴（），当a＝b＝c时取等号，故得的最小值为．【题目点拨】本题主要考查函数最值的求解，转化思想和柯西不等式的应用．属于中档题20、（Ⅰ）（Ⅱ）面积的最小值为，此时点坐标为．【解题分析】

（Ⅰ）设抛物线的方程是，根据焦点为的坐标求得，进而可得抛物线的方程．（Ⅱ）设，进而可得抛物线在点处的切线方程和直线的方程，代入抛物线方程根据韦达定理可求得，从而，又点到直线的距离，可得．利用导数求解．【题目详解】（Ⅰ）设抛物线的方程是，则，，故所求抛物线的方程为．（Ⅱ）设，由抛物线方程为