上海市虹口区北虹高级中学2024届数学高二第二学期期末检测试题含解析

上海市虹口区北虹高级中学2024届数学高二第二学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是A． B． C． D．2．某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为,则该几何体的体积为()A． B． C． D．3．设函数，则（）A．9 B．11 C．13 D．154．设，若，则的值为（）A． B． C． D．5．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是()A．B．C．D．6．设函数，则“”是“有4个不同的实数根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．过点且与平行的直线与圆：交于，两点，则的长为（）A． B． C． D．8．由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是（）A．144 B．192 C．216 D．2409．若随机变量，其均值是80，标准差是4，则和的值分别是()A．100，0.2 B．200，0.4 C．100，0.8 D．200，0.610．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为()A．a≥3B．a>3C．a≤3D．a<311．函数的图象大致为()A． B．C． D．12．已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，又知的导函数的图象如下图所示：-10451221则下列关于的命题：①为函数的一个极大值点；②函数的极小值点为2；③函数在上是减函数；④如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；⑤当时，函数有4个零点.其中正确命题的序号是__________．14．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则n等于_________.15．在极坐标系中，点到直线的距离为_____.16．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5=0，则=________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知．证明：；若的面积，且的周长为10，为的中点，求线段的长．18．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点．求椭圆的标准方程；设直线l经过点且与椭圆C交于不同的两点M，N试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值，若不存在，请说明理由．19．（12分）已知函数，其中为常数．(1)若，求函数的极值；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线交于A，B两点，若点P坐标为（3，），求的值.21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，单位圆上存在两点，满足均与轴垂直，设与的面积之和记为．若，求的值；若对任意的，存在，使得成立，且实数使得数列为递增数列，其中求实数的取值范围．22．（10分）已知是第三象限角，且．（1）求，的值；（2）求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

构造函数，根据的单调性得出结论．【题目详解】解：令，则，在上单调递增，又，，即，即故选：．【题目点拨】本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题．2、A【解题分析】该几何体为一棱长为6的正方体掏掉一个棱长为2的小正方体，再放置进去一个半径为1的球，所以体积为.故选A.3、B【解题分析】

根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【题目详解】∵函数，∴=2+9=1．故选B．【题目点拨】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．4、D【解题分析】

分别取代入式子，相加计算得到答案.【题目详解】取得：取得：两式相加得到故答案选D【题目点拨】本题考查了二项式定理，取特殊值是解题的关键.5、D【解题分析】

根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，根据图像即可判断函数的单调性，然后结合图像判断出函数的极值点位置，从而求出答案。【题目详解】根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，由导函数的图象可知，图像先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，故排除A,C且第二个拐点（即函数的极大值点）在轴的右侧，排除B故选D【题目点拨】本题考查函数的单调性与导函数正负的关系，属于一般题。6、B【解题分析】分析：利用函数的奇偶性将有四个不同的实数根，转化为时，有两个零点，利用导数研究函数的单调性，结合图象可得，从而可得结果.详解：是偶函数，有四个不同根，等价于时，有两个零点，时，，，时，恒成立，递增，只有一个零点，不合题意，时，令，得在上递增；令，得在上递减，时，有两个零点，，，得，等价于有四个零点，“”是“有4个不同的实数根”的必要不充分条件，故选B.点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性以及函数与方程思想的应用，所以中档题.函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.7、D【解题分析】

由题意可得直线，求得圆心到直线距离，再由弦长公式即可求解【题目详解】设直线过点，可得，则直线圆的标准方程为，圆心为，圆心到直线距离，，故选D【题目点拨】本题考查用设一般方程求平行直线方程以及几何法求圆的弦长问题8、C【解题分析】

由题意可得，满足条件的五位数，个位数字只能是0或5，分别求出个位数字是0或5时，所包含的情况，即可得到结果.【题目详解】因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0；当个位数字是0时，共有种可能；当个位数字是5时，共有种情况；因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是个.故选C【题目点拨】本题主要考查排列的问题，根据特殊问题优先考虑的原则，即可求解，属于常考题型.9、C【解题分析】

根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于和的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．【题目详解】∵随机变量，其均值是80，标准差是4，∴由，∴．故选：C．【题目点拨】本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．10、A【解题分析】∵f(x)=x3−ax−1，∴f′(x)=3x2−a，要使f(x)在(−1,1)上单调递减，则f′(x)⩽0在x∈(−1,1)上恒成立，则3x2−a⩽0，即a⩾3x2，在x∈(−1,1)上恒成立，在x∈(−1,1)上，3x2<3，即a⩾3，本题选择A选项.11、D【解题分析】

利用函数的奇偶性和特殊值,借助排除法即可得出结果.【题目详解】是奇函数,是偶函数，是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项;排除B,C选项;故选:D.【题目点拨】本题考查已知函数解析式判断函数图象,考查函数性质,借助特殊值代入的排除法是解答本题的关键,难度较易.12、B【解题分析】

首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【题目详解】由题意，函数，令，所以，在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则函数恰有一个最大值点和一个最小值点在区间，则，解答，即，故选B．【题目点拨】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、②③【解题分析】分析：由题意结合导函数与原函数的关系逐一考查所给的命题即可求得结果．详解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f′（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①错误；②③正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是2，则2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以④不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以⑤不正确．故答案为：②．点睛：本题考查了导函数与原函数的关系，函数的单调性，函数的极值与最值及零点个数问题，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．14、8【解题分析】

由题意可知，，解得n，得到结果.【题目详解】因为的展开式中所有项的二项式系数之和为256，所以有，解得，故答案是8.【题目点拨】这是一道考查二项式定理的题目，解题的关键是明确二项展开式的性质，由二项式定理可得，二项式所有项的二项式系数和为，从而求得结果.15、【解题分析】

把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离．【题目详解】解：点A（2，）的直角坐标为（0，2），直线ρ（cosθ+sinθ）＝6的直角坐标方程为x+y﹣6＝0，利用点到直线的距离公式可得，点A（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）＝6的距离为，故答案为.【题目点拨】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．16、－11【解题分析】通过8a2＋a5＝0，设公比为q，将该式转化为8a2＋a2q3＝0，解得q＝－2，所以＝＝＝－11.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果；（2）利用题中所给的条件，结合三角形的面积公式求得两条边长，根据三角形的周长求得第三边，之后根据，利用余弦定理得到相应的等量关系式，求得结果.【题目详解】（1）证明：，，，，又，，即.（2）解：又.，.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理，在解题的过程中，需要对题的条件灵活应用，即可求得结果.18、（1）；（2）见解析【解题分析】

由椭圆C：的离心率为，且过点，列方程给，求出，，由此能求出椭圆的标准方程；假设存在满足条件的点，设直线l的方程为，由，得，由此利用韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能求出在x轴上存在点，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1．【题目详解】椭圆C：的离心率为，且过点．，解得，，椭圆的标准方程为．假设存在满足条件的点，当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，直线l的斜率k存在，设直线l的方程为，由，得，设，，则，，，要使对任意实数k，为定值，则只有，此时，，在x轴上存在点，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1．【题目点拨】本题考查椭圆方程的求法，考查满足两直线的斜率和为定值的点是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、斜率、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．19、（1）见解析；（2）.【解题分析】分析：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用函数的单调性可求出函数的极值；（2）在上单调递增等价于在上恒成立，求得导数和单调区间，讨论与极值点的关系，结合单调性，运用参数分离和解不等式可得范围.详解：（1）当时：的定义域为令，得当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，的极大值为，无极小值.（2）在上单调递增在上恒成立，只需在上恒成立在上恒成立令则令，则：①若即时在上恒成立在上单调递减，这与矛盾，舍去②若即时当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，有极小值，也是最小值，综上点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的最大值.20、（1）（2）【解题分析】

(1)由极坐标与平面直角坐标之间的转化公式求得；(2)利用直线参数方程中的几何意义求解.【题目详解】解，（1）∵圆的极坐标方程为∴（*）又∵，∴代入（*）即得圆的直角坐标方程为（2）直线1的参数方程可化为代入圆c的直角坐标方程，得，∴∴【