广东省佛山市佛山三中2024届数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

广东省佛山市佛山三中2024届数学高二第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数为偶函数，则（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．02．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为，则（）A． B．C． D．前三个答案都不对3．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，若曲线与的关系为（）A．外离 B．相交 C．相切 D．内含4．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当成立(是函数的导函数),若，，,则的大小关系是（）A． B． C． D．5．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（）A． B． C． D．6．已知点P在直径为2的球面上，过点P作球的两两相互垂直的三条弦PA，PB，PC，若，则的最大值为A． B．4 C． D．37．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：每年体检每年未体检合计老年人7年轻人6合计50已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是()A． B． C． D．8．如果，则的解析式为（）A． B．C． D．9．0πsinA．2 B．0 C．-2 D．110．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．在中，若，，，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若、、两两互相垂直，，，，则四面体的外接球半径（）A． B． C． D．12．如图，平面与平面所成的二面角是，是平面内的一条动直线，，则直线与所成角的正弦值的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．14．由0，1，2，…，9十个数字组成的无重复数字的三位数共______个15．在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则_______.16．函数的零点个数为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数在区间上的最大值为3，最小值为-17，求的值18．（12分）在直角坐标系中，曲线：（，为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）若直线的方程为，设与的交点为，，与的交点为，，若的面积为，求的值．19．（12分）已知函数当时，讨论的导函数在区间上零点的个数；当时，函数的图象恒在图象上方，求正整数的最大值.20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与交于点，求线段的长．21．（12分）设函数的最大值为.（1）求的值；（2）若正实数，满足，求的最小值.22．（10分）已知函数（且，e为自然对数的底数.）（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数只有一个零点，求a的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由f（x）为偶函数，得，化简成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0对恒成立，从而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【题目详解】若函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即；得对恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故选C．【题目点拨】本题考查偶函数的定义，以及对数的运算性质，平方差公式，属于基础题．2、C【解题分析】

通过作出图形，分别找出正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角，通过计算余弦值比较大小即可知道角度大小关系.【题目详解】如图，正三棱锥，正四棱锥，正五棱锥，设各棱长都为2，在正三棱锥中，取AC中点D，连接PD,BD，可知即为侧面与底面所成角，可知，，由余弦定理得；同理，，于是，而由于为锐角，所以，故选C.【题目点拨】本题主要考查面面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力，难度中等.3、B【解题分析】

将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距，并将圆心距与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系.【题目详解】在曲线的极坐标方程两边同时乘以，得，化为普通方程得，即，则曲线是以点为圆心，以为半径的圆，同理可知，曲线的普通方程为，则曲线是以点为圆心，以为半径的圆，两圆圆心距为，，，，因此，曲线与相交，故选：B.【题目点拨】本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4、A【解题分析】

由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）单调递减．由此能求出结果．【题目详解】∵函数的图象关于直线对称，∴关于轴对称，∴函数为奇函数.因为，∴当时，，函数单调递减，当时，函数单调递减.，，，，故选A【题目点拨】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等5、C【解题分析】

记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件，利用二项分布的知识计算出，再计算出，结合条件概率公式求得结果.【题目详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件则；本题正确选项：【题目点拨】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.6、A【解题分析】

由题意得出，设，，利用三角函数辅助角公式可得出的最大值.【题目详解】由于、、是直径为的球的三条两两相互垂直的弦，则，所以，设，，，其中为锐角且，所以，的最大值为，故选A.【题目点拨】本题考查多面体的外接球，考查棱长之和的最值，在直棱柱或直棱锥的外接球中，若其底面外接圆直径为，高为，其外接球的直径为，则，充分利用这个模型去解题，可简化计算，另外在求最值时，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角换元的思想来求解．7、D【解题分析】分析：先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f,再判断真假.详解：因为，所以选D.点睛：本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.8、C【解题分析】

根据配凑法，即可求得的解析式，注意定义域的范围即可．【题目详解】因为，即令，则，即所以选C【题目点拨】本题考查了配凑法在求函数解析式中的应用，注意定义域的范围，属于基础题．9、A【解题分析】

根据的定积分的计算法则计算即可．【题目详解】0πsinxdx＝（-cos故选：A．【题目点拨】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．10、A【解题分析】

化简求得复数为，然后根据复数的几何意义，即可得到本题答案.【题目详解】因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算和复数的几何意义，属基础题.11、A【解题分析】

四面体中，三条棱、、两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，则半径易求.【题目详解】四面体中，三条棱、、两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，，，是一个顶点处的三条棱长.所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径.故选A.【题目点拨】本题考查空间几何体的结构，多面体的外接球问题，合情推理.由平面类比到立体，结论不易直接得出时，需要从推理方法上进行类比，用平面类似的方法在空间中进行推理论证，才能避免直接类比得到错误结论.12、B【解题分析】

假定ABCD和BCEF均为正方形，过D作，可证平面BCEF，进而可得直线BD与平面BCEF所成的角正弦值，即直线与所成角的正弦值的最小值，当直线与异面垂直时，所成角的正弦值最大.【题目详解】过D作，垂足为G，假定ABCD和BCEF均为正方形，且边长为1则平面CDG，故又，平面BCEF故直线BD在平面BCEF内的射影为BG，由已知可得，则以直线BD与平面BCEF所成的角正弦值，所以直线BD与平面BCEF内直线所成的角正弦值最小为，而直线与所成角最大为（异面垂直），即最大正弦值为1.故选：B【题目点拨】本题考查了立体几何中线面角，面面角找法，考查了转化思想，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、32【解题分析】分析：根据题意，按6个球取出的数目分6种情况讨论，分析求出每一种情况的取法数目，由加法原理计算可得答案.详解：由题意，一次可以取球的个数为1，2，3，4，5，6个，则若一次取完可由1个6组成，有1种；二次取完可由1与5，2与4，3与3组成共5种；三次取完由1，1，4或1，2，3或2，2，2组成共10种；四次取完有1，1，1，3或1，1，2，2组成共10种；五次取完，由1，1，1，1，2个组成共5种；六次取完由6个1组成共有1种，综上得，共有32种，故答案为32.点睛：此题主要考查数学中计数原理在实际问题中的应用，属于中档题型，也是常考考点.计数原理是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解计数问题最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.14、648【解题分析】

首先考虑百位不为，得到百位的情况数，再利用排列得到十位与个位的情况数，通过分步计数原理，得到答案.【题目详解】因为百位不能为，所以百位共有种情况，再在剩下的个数中，任选个安排在十位与个位，有种情况，根据分步计数原理可得，符合要求的三位数有个.故答案为：.【题目点拨】本题考查排列的应用，分步计数原理，属于简单题.15、2【解题分析】

画出数轴，利用满足的概率，可以求出的值即可.【题目详解】如图所示，区间的长度是6，在区间上随机地取一个数，若满足的概率为，则有，解得，故答案是：2.【题目点拨】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.16、2【解题分析】

根据图像与函数的单调性分析即可.【题目详解】的零点个数即的根的个数,即与的交点个数.又当时,,此时在上方.当时,,,此时在下方.又对求导有,对求导有,故随的增大必有,即的斜率大于的斜率.故在时,与还会有一个交点.分别作出图像可知有两个交点.故答案为：2【题目点拨】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意分析函数斜率的变化规律与图像性质.属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3【解题分析】试题分析：由题设知k≠1且f'（x）=3kx（x-2），1＜x＜2时，x（x-2）＜1；x＜1或x＞2时，x（x-2）＞1；x=1和x=2时，f'（x）=1．由题设知-2≤x≤2，f（-2）=-21k+B，f（1）=B，f（2）=-4k+B．由此能够求出k、B的值试题解析：由题设知k≠1且f'（x）=3kx（x﹣2），1＜x＜2时，x（x﹣2）＜1；x＜1或x＞2时，x（x﹣2）＞1；x=1和x=2时，f'（x）=1．由题设知﹣2≤x≤2，f（﹣2）=﹣21k+B，f（1）=B，f（2）=﹣4k+B①k＜1时，﹣2＜x＜1时，f'（x）＜1；1＜x＜2时，f'（x）＞1，∴f（x）在[﹣2，1）上递减，在（1，2）上递增，x=1为最小值点；∵f（﹣2）＞f（2）∴f（x）的最大值是f（﹣2）即，解得k=-1，B=-17②k＞1时，，解得k=1，B=3综上，k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3考点：利用导数求闭区间上函数的最值18、(1)是以为圆心，为半径的圆.的极坐标方程.(2)【解题分析】

（1）消去参数得到的普通方程.可得的轨迹.再将，带入的普通方程，得到的极坐标方程.（2）先得到的极坐标方程，再将，代入，解得，，利用三角形面积公式表示出的面积，进而求得a.【题目详解】(1)由已知得：平方相加消去参数得到=1，即，∴的普通方程：.∴是以为圆心，为半径的圆.再将，带入的普通方程，得到的极坐标方程.（2）的极坐标方程，将，代入，解得，，则的面积为，解得.【题目点拨】本题考查了直角坐标系下的参数方程、普通方程与极坐标方程的互化，考查了极坐标方程的应用，属于基础题.19、（1）当时，在存在唯一零点；当时，在没有零点（2）【解题分析】

（1）首先求，令，然后求，讨论当时，，判断函数的单调性和端点值，判断函数是否有零点；当时，同样是判断函数的单调性，然后结合零点存在性定理，可判断函数是否存在零点；（2）由，参变分离求解出在上恒成立，转化为求函数的最小值，设，，利用导数判断函数的单调性，求得函数的最小值.【题目详解】解：（1）.令，，则,①当时，当，，单调递减，又，所以对时，，此时在不存在零点.②当时，当，，单调递减.又因为，取，则，即.根据零点存在定理，此时在存在唯一零点.综上，当时，在存在唯一零点；当时，在没有零点.（2）由已知得在上恒成立.设，，则因为时，所以，设，，所以在上单调递增，又，，由零点存在定理，使得，即,，且当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以，又在上单调递减，而，所以，因此，正整数的最大值为.【题目点拨】本题第一问考查了判断函数零点个数的问题，这类问题需判断函数的单调性，再结合函数零点存在性定理判断，已知函数是单调函数的前提下，需满足，才可以说明区间内存在唯一零点，但难点是有时候或不易求得，本题中，证明的过程中，用到了，以及只有时，才有，这种赋端点值是比较难的.20、（1），；（2）【解题分析】分析：（1）消去参数，即可得到曲线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程；（2）由（1）得圆的圆心为，半径为，利用圆的弦长公式，即可求解．详解：（1），．（2）圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为．所以．点睛：本题主要