四川省宜宾县第二中学校2024届高二数学第二学期期末监测模拟试题含解析

四川省宜宾县第二中学校2024届高二数学第二学期期末监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（）A． B． C． D．2．抛物线上的点到定点和定直线的距离相等，则的值等于（）A． B． C．16 D．3．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．函数在处的切线与直线:垂直，则（）A．3 B．3 C． D．5．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉（3，10）后，下列说法正确的是（）A．残差平方和变小 B．方差变大C．相关指数变小 D．解释变量与预报变量的相关性变弱6．在中，，，分别是内角，，所对的边，若，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形7．的展开式中的系数是（）A． B． C． D．8．已知命题p：函数的值域为R；命题q：函数是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．或9．在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A．有最小值 B．有最大值 C．为定值3 D．为定值210．设函数，有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A． B． C． D．11．已知数列，都是等差数列，，，设，则数列的前2018项和为（）A． B． C． D．12．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为．（以数字作答）14．已知（是虚数单位），则的共轭复数为________15．已知一个总体为：、、、、，且总体平均数是，则这个总体的方差是______．16．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若，则，其中正确命题的序号是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率，记该班级完成首背诵后的总得分为.(1)求且的概率；(2)记，求的分布列及数学期望．18．（12分）我国是枇把生产大国，在对枇杷的长期栽培和选育中，形成了众多的品种．成熟的枇杷味道甜美，营养颇丰，而且中医认为枇杷有润肺、止咳、止渴的功效．因此，枇杷受到大家的喜爱．某果农调查了枇杷上市时间与卖出数量的关系，统计如表所示：结合散点图可知，线性相关．（Ⅰ）求关于的线性回归方程＝（其中，用假分数表示）；（Ⅱ）计算相关系数，并说明（I）中线性回归模型的拟合效果．参考数据：；参考公式：回归直线方程＝中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：；相关系数19．（12分）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.（1）当时，求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.20．（12分）将正整数排成如图的三角形数阵，记第行的个数之和为.（1）设，计算，，的值，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程；（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到曲线上的距离的最小值的值.22．（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若对于任意恒成立，求实数的最小值，并求当取最小值时的范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为1，高为1的三角形，三棱锥的高为1，根据三棱锥的体积公式得到结果.详解：由三视图可知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为，高为的三角形，面积，三棱锥的高是，所以故选C.点睛：当已知三视图去还原成几何体直观图时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性．2、C【解题分析】

根据抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点，进而根据定点坐标求得．【题目详解】根据抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点，且，，解得：.故选：C.【题目点拨】本题考查抛物线的定义，考查对概念的理解，属于容易题．3、A【解题分析】

先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【题目详解】解：∵，∴，∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（），所在的象限为第一象限．故选：A．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为4、A【解题分析】

先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得的值。【题目详解】函数在（1，0）处的切线的斜率是，所以，与此切线垂直的直线的斜率是故选A.【题目点拨】本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题．5、A【解题分析】

由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项.【题目详解】由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，且为正相关，所以变大，变大，残差平方和变小，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关线性相关性强弱的问题，涉及到的知识点有相关系数，相关指数，以及残差平方和与相关性的关系，属于简单题目.6、B【解题分析】

利用正弦定理和两角和的正弦化简可得，从而得到即.【题目详解】因为，所以，所以即，因为，故，故，所以，为直角三角形，故选B.【题目点拨】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.7、D【解题分析】试题分析：的系数为．故选D．考点：二项式定理的应用．8、C【解题分析】

分别求命题为真命题时的范围，命题为真命题时的范围；根据或为真命题，且为假命题，得到命题，中有一个真命题，一个假命题，分命题为真命题且命题为假命题和命题为真命题且命题为假命题两类求出的范围．【题目详解】解：命题为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题为真时，解得．若或为真命题，且为假命题，故和中只有一个是真命题，一个是假命题．若为真，为假时，，无解；若为假，为真时，，解得；综上可得，故选：．【题目点拨】本题考查根据复合命题的真假得到构成其简单命题的真假情况，属于中档题．9、D【解题分析】

分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【题目详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=1．故选D．【题目点拨】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．10、B【解题分析】

先由题意得到方程在上仅有一个实根；令，得到函数与直线在上仅有一个交点；用导数的方法判断单调性，求出最值，结合图像，即可得出结果.【题目详解】因为函数，有且仅有一个零点；所以方程在上仅有一个实根；即方程在上仅有一个实根；令，则函数与直线在上仅有一个交点；因为，由得，因为，所以；由得，因为，所以；所以，函数在上单调递减，在上单调递增；因此作出函数的大致图像如下：因为函数与直线在上仅有一个交点，所以，记得.故选B【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的零点，通常将函数零点问题，转化为两函数图像交点的问题，结合图像求解即可，属于常考题型.11、D【解题分析】

利用，求出数列，的公差，可得数列，的通项公式，从而可得，进而可得结果.【题目详解】设数列，的公差分别为，，则由已知得，，所以，，所以，，所以，所以数列的前2018项和为,故选D.【题目点拨】本题主要考查等差数列通项公式基本量运算，考查了数列的求和，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.12、D【解题分析】

利用导数求出，由可求出的值．【题目详解】，，由题意可得，因此，，故选D．【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、288.【解题分析】解：∵数学课排在前3节，英语课不排在第6节，∴先排数学课有种排法，再排最后一节有种排法，剩余的有种排法，∴根据分步计数原理知共有=288种排法.14、【解题分析】

根据复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解．【题目详解】，，共轭复数为故答案为【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算以及共轭复数，属于基础题．15、【解题分析】

利用总体平均数为求出实数的值，然后利用方差公式可求出总体的方差.【题目详解】由于该总体的平均数为，则，解得.因此，这个总体的方差为.故答案为：.【题目点拨】本题考查方差的计算，利用平均数和方差公式进行计算是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.16、①②【解题分析】

①利用线面平行性质以及线面垂直的定义判断真假；②利用面面平行的性质以及线面垂直的性质判断真假；③④可借助正方体判断真假.【题目详解】①因为，过作平面，使得，则有；又因为，所以，又因为，所以，故①正确；②因为，所以；又因为，所以，故②正确；③例如：正方体上底面的对角线分别平行下底面，但是两条对角线互相不平行，故③不正确；④选正方体同一顶点处的三个平面记为，则有，但与相交，故④不正确.故填：①②.【题目点拨】判断用符号语言描述的空间中点、线、面的位置关系的正误：（1）直接用性质定理、判定定理、定义去判断；（2）借助常见的空间几何体辅助判断（正方体等）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)分布列见解析，.【解题分析】

（1）由知，背诵6首，正确4首，错误2首，又，所以第一首一定背诵正确，由此求出对应的概率；（2）根据题意确定的取值，计算相对应的概率值，写出的分布列，求出数学期望．【题目详解】(1)当S6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由Si≥0(i＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率.(2)由题意知ξ＝|S5|的所有可能的取值为10,30,50，又，，，，∴ξ的分布列为.【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，意在考查学生的逻辑推理能力与数学计算能力．18、（Ⅰ）；（Ⅱ），因为，所以拟合效果较好。【解题分析】

（Ⅰ）利用最小二乘法求线性回归方程；（Ⅱ）直接依据公式计算相关系数，比较即可。【题目详解】（1），，，，所以＝，则，故所求线性回归方程为；（II），故＝,故（I）中线性回归模型的拟合效果较好.【题目点拨】本题主要考查线性回归方程的求法以及相关系数的计算与应用。19、（1），l的极坐标方程为；（2）【解题分析】

（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【题目详解】（1）因为点在曲线上，所以；即，所以，因为直线l过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，即；因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；（2）设，则，，由题意，，所以，故，整理得，因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.【题目点拨】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.20、（1）；（2）见解析．【解题分析】分析：直接计算，猜想：；（2）证明：①当时，猜想成立.②设时，命题成立，即③证明当时，成立。详解：（1）解：，，，，猜想；（2）证明：①当时，猜想成立.②设时，命题成立，即，由题意可知.所以，，所以时猜想成立.由①、②可知，猜想对任意都成立.点睛：推理与证明中，数学归纳法证明数列的通项公式是常见的解法。根据题意