2024届山西省忻州市静乐一中高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024届山西省忻州市静乐一中高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若圆锥的高为，底面半径为，则此圆锥的表面积为（）A． B． C． D．2．已知…，依此规律，若，则的值分别是（）A．48，7 B．61，7 C．63，8 D．65，83．设,若,则()A．-1 B．0 C．1 D．2564．已知函数f(x)=x2+ax+b，m,n满足m<n且f(m)=n-m，f(n)=m-nA．f(x)+x<n B．f(x)+x>mC．f(x)-x<0 D．f(x)-x>05．在中，若，，，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若、、两两互相垂直，，，，则四面体的外接球半径（）A． B． C． D．6．若对任意实数，有，则（）A． B． C． D．7．某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（）A． B．C． D．8．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．用数学归纳法证明：“”，由到时，等式左边需要添加的项是（）A． B．C． D．10．已知各项不为的等差数列，满足，数列是等比数列，且，则（）A． B． C． D．11．已知奇函数的导函数为，当时，，若，，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．12．若全集，集合，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知复数，则复数______.14．已知函数，，若存在两切点，，，使得直线与函数和的图象均相切，则实数的取值范围是_________.15．已知为上的连续可导函数，当时，，则函数的零点有__________个．16．若，则___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，且对任意,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.（1）证明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.19．（12分）在四棱锥中，四边形是平行四边形，且，．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若，，二面角的平面角的余弦值为，求的正弦值．20．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin2A＝asinB.(1)求角A的大小；(2)若a=sinA，求b＋c的取值范围.21．（12分）已知函数，其对称轴为y轴（其中为常数）.（1）求实数的值；（2）记函数，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）求证：不等式对任意成立.22．（10分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示．墩的上半部分是正四棱锥P﹣EFGH，下半部分是长方体ABCD﹣EFGH．图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据圆锥的高和底面半径求出母线长，分别求出圆锥侧面积和底面积，加和得到结果.【题目详解】由题意可得圆锥的母线长为：圆锥侧面积为：；底面积为：圆锥表面积为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查圆锥表面积的求解，关键是熟练掌握圆锥侧面积公式，属于基础题.2、C【解题分析】

仔细观察已知等式的数字可发现:,根据此规律解题即可.【题目详解】由,

,

,

归纳可得,故当时,,

故选C.【题目点拨】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.3、B【解题分析】分析：先求定积分，再求详解：，故设1-2x，所以，，故选B点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值法。4、A【解题分析】

设A(m,n-m)，B(n,m-n)，求出直线AB的方程，根据f(x)的开口方向可得到f(x)与直线AB【题目详解】设A(m,n-m)，B(n,m-n)，则直线AB的方程为y=-2x+m+n，即A,B为直线y=-2x+m+n与f(x)的图像的两个交点，由于f(x)图像开口向上，所以当m<x<n时，f(x)<-2x+m+n，即f(x)+x<-x+m+n<n【题目点拨】本题主要考查二次函数与一次函数的关系，求出AB直线是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力及计算能力，难度中等.5、A【解题分析】

四面体中，三条棱、、两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，则半径易求.【题目详解】四面体中，三条棱、、两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，，，是一个顶点处的三条棱长.所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径.故选A.【题目点拨】本题考查空间几何体的结构，多面体的外接球问题，合情推理.由平面类比到立体，结论不易直接得出时，需要从推理方法上进行类比，用平面类似的方法在空间中进行推理论证，才能避免直接类比得到错误结论.6、B【解题分析】分析：根据，按二项式定理展开，和已知条件作对比，求出的值，即可求得答案.详解：，且，.故选：B.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数.7、C【解题分析】

先求出事件：数学不排第一节，物理不排最后一节的概率，设事件：化学排第四节，计算事件的概率，然后由公式计算即得．【题目详解】设事件：数学不排第一节，物理不排最后一节.设事件：化学排第四节.，，故满足条件的概率是.故选：C．【题目点拨】本小题主要考查条件概率计算，考查古典概型概率计算，考查实际问题的排列组合计算，属于中档题.8、B【解题分析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标即可得到结论.详解：，，在复平面内所对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9、D【解题分析】

写出时，左边最后一项，时，左边最后一项，由此即可得到结论【题目详解】解：∵时，左边最后一项为，时，左边最后一项为，∴从到，等式左边需要添加的项为一项为故选：D．【题目点拨】本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．10、B【解题分析】根据等差数列的性质得：，变为：，解得（舍去），所以，因为数列是等比数列，所以，故选B.11、D【解题分析】

令，则，根据题意得到时，函数单调递增，求得，再由函数的奇偶性得到，即可作出比较，得到答案．【题目详解】由题意，令，则，因为当时，，所以当时，，即当时，，函数单调递增，因为，所以，又由函数为奇函数，所以，所以，所以，故选D．【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据题意，构造新函数，利用导数求得函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．12、C【解题分析】

分别化简求解集合U,A，再求补集即可【题目详解】因为，，所以.故选：C【题目点拨】本题考查集合的运算，考查运算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据共轭复数的表示方法算出即可.【题目详解】由,则,所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查共轭复数的概念,属于基础题型.14、【解题分析】

利用导数求得点处的切线方程，联立方程组，根据判别式，令，得，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【题目详解】由题意，点在函数的图象上，令，则点，又由，则，所以切线方程为，即，联立方程组，整理得，则，令，整理得，且，构造函数，则，，可得当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，即在上恒成立，所以函数在单调递减，又由，所以，解得．【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．15、1【解题分析】

令得，即，然后利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论．【题目详解】令，得，即，即零点满足此等式不妨设，则．∵当时，，∴当时，，即当时，，即，此时函数单调递增，当时，，即，此时函数单调递减，∴当时，函数取得极小值，同时也是最小值，∴当时，，∴无解，即无解，即函数的零点个数为1个，故答案为1．【题目点拨】本题主要考查函数零点个数的判断，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多．16、【解题分析】

先化简已知得，再利用平方关系求解.【题目详解】由题得，因为，所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析.【解题分析】试题分析：（1）由题意可得，分类讨论有：当时，函数没有极值点，当时，函数有一个极值点．（2）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是；（3）原问题等价于，继而证明函数在区间内单调递增即可.试题解析：（1），当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（2）∵函数在处取得极值，∴，∴，令，，可得在上递减，在上递增，∴，即．（3）证明：，令，则只要证明在上单调递增，又∵，显然函数在上单调递增．∴，即，∴在上单调递增，即，∴当时，有．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．18、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）由得平面PAE，进而可得证；（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.【题目详解】（1）证明：连接，因为，为线段的中点，所以.又，，所以为等边三角形，.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：设，则，因为，所以，同理可证，所以平面.如图，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.易知为二面角的平面角，所以，从而.由，得.又由，，知，.设平面的法向量为，由，，得，不妨设，得.又，，所以.设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.【题目点拨】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19、（1）0；（2）.【解题分析】

（1）首先设与的交点为，连接.根据已知及三角形全等的性质可证明面，即可得到异面直线与所成角的余弦值.（2）首先作于点，连接，易证，得到，即为二面角的一个平面角，再利用余弦定理即可得到的正弦值.【题目详解】（1）设与的交点为，连接.因为四边形是平行四边形，且，所以四边形是菱形.因为，，，所以，.又因为，，及，所以，，即，面.故异面直线与夹角的余弦值为.（2）作于点，连接，因为，，，所以，所以，，，即为二面角的一个平面角，设，则，，解得，.所以的正弦值为．【题目点拨】本题第一问考查异面直线成角问题，第二问考查二面角的计算，属于中档题.20、（1）；（2）【解题分析】分析：（1）利用正弦定理，将已知条件中的边转化为角的形式，化简后可求得的值，进而求得的值.（2）由（1）可求得的值.利用正弦定理将转化为，利用三角函数恒等变换可求出其取值范围.详解：(1)∵bsin2A=asinB∴2bsinAcosA＝asinB，∴2sinBsinAcosA＝sinAsinB，∴cosA=∴A＝.(2)∵a=sinA=∴b＋c＝sinB+sinC=sinB+sin(+B)=点睛：本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查边角互化，考查了三角形内角和定理，考查三角恒等变换，考查形式三角函数求值域的方法.21、（1）（2）（3）证明见解析【解题分析】

（1）由二次函数的性质可知对称轴为,则,即可求解；（2）由（1）,则,转化函数有两个不同的零点为方程有两个不相等的实数根,则,进而求解即可；（3）将与分别代入中可得,利用配方法证明即可.【题目详解】（1）解:因为的对称轴为轴,而的