小学奥数题库《几何》-直线型-鸟头模型-0星题（含解析）

几何-直线型几何-鸟头模型-。星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

鸟头模型C1.能够准确的理解鸟头模型的概念少考

2.灵活应用鸟头模型解决复杂的几

何问题

知识提要

鸟头模型

・概念

两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。

・特征

共角三角形的面积比等于共角(相等角或者互补角)两夹边的乘积之比。

$S_(\triangleABC)\mathbin(:)S_(\triangleADE}=(AB\timesAC)\mathbin{:}(AD\times

AE)$

A

BC

E

A

/D\

B二C

D

E

BC

DE

/A

B------------

精选例题

鸟头模型

1.如图.将三角形4BC的48边延长1倍到。，BC边延长2倍到E,以边延长3倍到

F.如果三角形4BC的面积等于1,那么三角形"E尸的面积是.

【答案】18

【分析】（法1）连接4E、CD.

因为+i区S=1,所以S^DBC=L

S&DBC1hABC

同理可得其它，最后三角形DE尸的面积=18.

（法2）用共角定理因为在△ABC和△CFE中，乙4cB与4尸CE互补，所以

S^ABC_"C，BC_1x1_1

SAFCEFC,CE4x28

乂S&ABC=1，所以S&FCE=8.

同理可得S^ADF=6,S〉BDE=3.

所以

S&DEF~S&ABC+S〉FCE+S*DF+^ABDE

=14-8+6+3

=18.

2.正方形4BCD边长为6厘米，AE=1ACfCF=^BC.三角形DE尸的面积为..平方厘

米.

【答案】10

【分析】正方形的面积为6x6=36(平方厘米)，那么根据鸟头模型可以得出

111

SA/IDE=§XSAACD=WX2X36=6(平方匣米)，

111

SACDF=§xSABCD=§xEx36=6(平方厘米)，

12

1818XX=

SABFE=SAABC-S3=-33"I平方厘米)，

阴影局部面积为36-6-6-14=10(平方厘米).

3.如图，三角形4BC中，延长B4到D,使DA=4B,延长C4到E,使E4=2AC,延长CB

至IJF,使FB=3BC.如果三角形4BC的面积是1,那么三角形DE尸的面积是.

【答案】7

【分析】SACAB：S&CEF=(1x1):(3x4)=1:12,所以S，CEF=12,

SAABC：SAADE=(1X1):(1X2)=1:2，所以SMDE=2,

$ABAC：$ABDF=(1x1)：(2x3)=1：6,所以ShBDp=6,

所以

S&DEF=S&CEF-S&ABC+S&ADE-S&BDF

=12-1+2—6

=7.

4.如下列图所示，三角形4BC的面积为1,S.AD=^AB,BE=-BC,CF=^CA,那么三角形

345

DEF的面积是.

【答案】

【分析】先分别求出△ADA&BDE、ACEF的面积，再用△4BC的面积减去这三个三角

形的面积即为△DEF的面积.

因为，AD=\ABfCF=^CA,所以，AF=^ACf根据“鸟头定理〃，S△的=公＞△谢=福，

同理可得,S^BDE=|xixl=i,S^CEF=：xgx1=枭所以S^DEF=1一卷_，一方=*

5.如下列图所示，点Q'和R'三等分X'X,"和P'三等分y,y,Q'和P'三等分Z'Z.&PQR

面积是△P'Q'R'面积的倍.

R

【答案】25

【分析】连接zexzxz，，根据鸟头模型，可以得到△PYZAXYR,,AXQ,Z,都是APOR

的4倍，那么可以得到平行四边形PZPY'、X'R'YR.XQZQ均为的8倍，图中的三

个小三角形的面积都与△PQR'的面积相等，那么△PQR面积是△P‘Q'R'面积的8x3+1=

25（倍）.

6.如下图，正方形48CD边长为6厘米，AE=^AC,CF=”C.三角形OEF的面积

为平方厘米.

【答案】10

【分析】由题意知

11

AE=-AC.CF=-BC,

33

可得

2

CE=-AC.

根据"共角定理"可得，

SACEF：S&ABC=(CFxCE):(CBxAC)=(1x2):(3x3)=2:9;

而

SAABC=6x6+2=18;

所以

S&CEF~4；

同理得，

S〉CDE：S&ACD=2：3，

S&CDE=18+3x2=12,

S〉CDF—6

故

S〉DEF=S^CEF+S^DEC—S^DFC=4+12—6=10(平方厘米).

7.如图，AD=DB,AE=EF=FC,阴影局部面积为5平方厘米，△力的面积

【答案】30平方厘米

【分析】SMDE=SADEF，

SAADE：S&ABC=(4。x4E):(4BxAC)

=(1x1):(2x3)

=1:6,

所以

ShABC=5x6=30（平方厘米）.

8.如图，在△ABC中，点。是边4c的中点，点E、F是边BC的三等分点，假设△ABC的

面积为1,那么四边形CDMF的面积是.

【答案】7

30

【分析】由于点。是边4c的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、

MD三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积.

连接CM、CN.

S^ABM'S^ACM=BF.CF=2:1,

S“CM=2s4ADM，

SAABM=2SAACM=4sA“DM，

那么BM=4OM,即

4

BM=-BD.

那么

BMBF4214

=—xSABCD=-x-x-=—）

_14_7

S四边形CDMF=2_15=30,

另解：得出S-BM=2sMCM=4s—DM后，可得

_1_11__1

S&ADM==耳']=元，

那么

__11_7

S四边形COMF=S^ACF~S—DM=3_10=300

9.如图，将四边形48。。的四条边48、CB、CD、4。分别延长两倍至点£、F、G、H,假设

四边形4BCD的面积为5,那么四边形EFGH的面积是.

H

【答案】60

【分析】连接AC、BD.

由于

BE=2AB,BF=2BC,

于是

SABEF=4SAABC，

同理

SAHDG=4sA4DC，

于是

S&BEF+S&HDG—4S—8C+4SA/1£I(;=4s48m

再由于

AE=3AB,AH=3AD,

于是

SAAEH=9SAAB。，

同理

•JACFG=9sAeBD>

于是

S44EH+S&CFG-9sA4BD+95ACBD=9SABCD,

那么

SEFGH—SABEF+SZHDG+SA4EH+SACFG—SABCD

—4s4BCD+9SA8C0—S48co

=12SABCD

=60.

10.如图，P为四边形4BCD内部的点，AB-.BC-.DA=3:1:2,ADAB=^CBA=60°.图中所

有三角形的面积都是整数.如果三角形PAD和三角形PBC的面积分别为20和17,那么四边

形ABCD的面积最大是.

D

AB

【答案】147

【分析】延长AD,BC交于点Q,连接PQ.

Z.DAB=/.CBA=60°,所以三角形48Q为正三角形.

由于

AB-.BC-.DA=3:1:2,

所以PCQD的面积为

20+2+17x2=44;

而三角形QCD面积占QAB面积的

122

一X-=一,

339

ABCD面积是QCD面积的

227

（1-w

注意到ABCD中各三角形面积均为整数，所以QAB面积为9的倍数.QCD面积是2的倍数,

所以QCD面积最大为42,ABCD面积最大为

7

42x-=147.

11.分别延长四边形ABC。的四个边，使得AB==CB',CO=DU/M=4。’（如下列

图所示）.如果四边形4BCD的面积是1平方厘米，请问四边形4B'C'D的面积为多少平方

厘米？

DL

B

【答案】5

【分析】连接BD,根据鸟头模型，可得

S>­=1X2XSHABD=2SAABD，

SACC®=1x2xS^BCD=2s

那么可得

S^AA'D'+S&CCE=2s四边形ABCO

连接4C,同理可得：

+=2s四边形718co

所以整个图形的面积是

2+2+1=5（平方厘米）.

12.如下列图所示，在三角形力BC中，BC=6BD、AC=SEC.DG=GH=HE、AF=

FG.请问三角形FGH与三角形ABC的面积比为何？

HE

/I\

BD0

【答案】|

【分析】根据鸟头模型，

_5

S^ADC=石S&AB5

_4

SUED=5S^ADC，

_2

S—GE=§S—EO，

_11

S^GHF=2X2XS&AGE，

最后可以得出

542111

SAGHF=^xgxgX2X2XS»ABC=gS^ABc・

13•三角形4BC中，BD的长度是的AB的［，4E的长度是何的也三角形"E。的面积是8,

那么三角形4BC的面积是多少？

A

【答案】32

【分析】简答：8+GXJ=32.

14.如图，四边形EFGH的面积是75平方米，EA=AB,CB=BF,DC=CG,HD=DA,求

四边形4BCD的面积.

H

【答案】15平方米.

【分析】

H

连接BD,由鸟头知：

S^BCD_BC,DC_1x1_1

S&FCGFC♦CG2x12

S&ABD_40*AB_1x1_1

=AHAE=271=2'

所以

SAFCG+SMEH=2s四边形BACD

连接AC,同理可得：

SABEF+SNDHG=2s四边形BACD，

S四边形EFGH=5s四边形ABC。

又因为四边形EFGH的面积是75平方米所以四边形ABCD的面积是

754-5=15（平方米）.

15.如图，在三角形4BC1中，。为BC的中点，E为4B上的一点，且BE=gAB,四边形

4CDE的面积是35,求三角形4BC的面积.

A

E

B

【答案】42

S&BDE：S&ABC=(BDxBE):(BCxBA)

【分析】=(lxl):(2x3)

=1:6,

那么S>BDE=%S&ABC，S四边形力COE=^^ABC~^ABC=^^AABCf

所以：SAABC=35£=42.

16.如图，AE=^-AC,CD=-BC,BF=-AB,那么也空等于多少？

546SAABC

【答案】61

120

【分析】设S-BC=1,那么根据悬空=整体一空白,

S〉DEF=S&ABC—S“EF—S&BDF—^DEC

现在分别去求SfEF、S&BDF、^LDEC9由鸟头定理知道：

_1

S〉ABC~£S&ABC

同理：

_(BFBD\_131

S»BDF=(而x而)S^ABC=-x-SLABC

_(ECDC\

‘△DEC=\ACX前)S^ABC=gX4sMEC—gS—BC

所以：

11\_61

jS〉ABC~诵^S〉ABC»

8

S&DEF_61

S&ABC120

17.如图在△4BC中，D在B4的延长线上，E在AC上，且/&4D=5:2,4E:EC=3:2,

SZk4D£=12平方厘米，求的面积.

【答案】50平方厘米

SAADE：SAABC={ADx4E):(4BxAC)

【分析】=(3x2):(5x5)

=6:25,

因为SMDE=12(平方厘米)，

所以SAABC=12+6x25=50(平方厘米).

18.如图，ZkABC中，AD:AB=2:3,AE:AC=4:5,求：△4ED的面积是△ABC面积的几分

之几？

SXADE：SAABC=(4。xAEy.{ABxAC)

【分析】=(2x4):(3x5)

=8:15,

所以△AED的面积是△ABC面积的*

19.如图，平行四边形4BCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四边形

ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.

H

【答案】1:18

【分析】连接AC,根据共角定理:

H

S&ABC_BAxBC_lxl_1

S^FBEBExBF1x33'

乂因为SMRC=1，所以'S〉FBE~3,

向理口」得：S^GCF=8,连接B。，S^DHG=15,S△力EH=8.

H

所以

SEFGH=S“EH+S〉CFG+S~DHG+S&BEF

=8+8+15+3+2

=36,

SABCD：SEFGH=2:36=1:18.

20.如下图，在长方形ABC。中，DE=CE,CF=2BF,如果长方形ABC。的面积为18,那

么阴影局部的面积是多少？

【答案】6

【分析】简答：由于长方形4BCD的面积为18,可知三角形BCD的面积为9,三角形CEF

的面积为三角形BCD的面积的

121

2X3-3)

那么阴影局部的面积是

9x(1.+6.

21.如图，把三角形。EF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC,三角形ABC的面积为

1.三角形OEF的面积是多少？

【答案】|

【分析】令三角形DEF为1份，那么根据共角模型，有:

S^DEF_EFxDF_1

S^AFCCFxFA2

所以三角形4FC的面积为2份，同理，三角形4BD的面积为2份，三角形BEF的面积为2

份.那么三角形4BC的面积为7份，对应面积为1,所以S三角形DEF=a

22.如图，把三角形DEF的各边向外延长2倍后得到三角形4BC,三角形4BC的面积为1.三

角形DEF的面积是多少？

【答案】卷

【分析】令三角形OEF为1份，那么根据共角模型，有：

S^DEF_EFxDF_1

S&AFCCFxFA6

所以三角形4FC的面积为6份，同理，三角形4BD的面积为6份，三角形BEF的面积为6

份.那么三角形4BC的面积为1+6+6+6=19份，对应面积为1,所以S三角形DEF='

23.如图，AE=^AC,CD=^BC,BF=±AB,试求$\dfrac{\text{三角形$DEF$的面

积}}{'text{三角形$ABC$的面积}}$的值？

【答案】裔

【分析】S"EF_工EX4F_1X4_4

S&ABCACxAB3x515

S&BDF_BDXBF_1X33S&CDE_CDxCE_1x2_1

S&ABC~BCXBA-5X420'S.ABCCBXCA4X36'

所以

S/kOEF_SFBC—S>AEF一S&BDF一S〉cDE

S&ABCS&ABC

_431

=1-15-20-6

5

=12,

24.,4C:4E=5:1,BC-.CD=4-.l,BA-.BF=6:1,那么，△DEF的面积是△ABC的几分之几？

A

【答案】言

【分析】也型=但"=竺=二，

S"BCACXAB5X66

S^BDF_BDXBF_3x1_1

S&ABCBCXBA4X68'

S&CDE_CDxCE_1x4_1

S^ABCCBxCA4x55'

S&DEF_S—BC-Sf—F-S&BDF-S&CDE

S&ABCS^ABC

111

=1-6-8-5

61

"120-

25.如图，三角形4BC面积为1,延长84至D,使得ZM=4B；延长&4至E,使得£4

2AC；延长CB至F,使得FB=3BC,求三角形DE尸的面积？

【答案】7

【分析】

S/UDE_4Dx4E_2

S〉ABC"8xAC'

S&CEFCExCF

卢丝=—_■—=3x4=12,

S^ABCC4xCB

SBDBFDBxBF

产丝=-------=2x3=6,

S^ABCBAxCB

S^DEF=SfDf+S^CEF-S^DBF-^^ABC

=2+12-6-1

=7.

26.如图，长方形48co的面积是1,M是4。边的中点，N在边上，且2AN=BN.那么,

阴影局部的面积是多少？

【答案】卷

【分析】SMBD=5,SAAMN：SAABD=("Mx4/V):(4BxAD)=1:6,S^AMN=—,所以阴影

局部的面积为S阴=；*=*

27.如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中4B:BE=2:5,BC-.CD=3:2,三角形

BDE的面积是多少？

17

【答案】12.5平方厘米.

【分析】由于〃BC+NCBE=180。，所以可以用共角定理，设4B=2份，BC=3份，那

么BE=5份，8。=3+2=5份，由共角定理

S^ABCISHBDE=(ABxBCy.(BEXBD)

=(2x3):(5x5)

—6:25,

设SAA8c=6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是

25x0.5=12.5(平方厘米)，

三角形BDE的面积是12.5平方厘米.

28.如图，三角形4BC的面积为3,其中4B:8E=2:5,BC:CD=3:2,三角形BDE的面积是

多少？

D

【答案】12.5

【分析】BC-.BD=3:(3+2)=3:5,SAABC：5ABD£=(2X3):(5x5)=6:25,S^ABC

意5仙.=三，3=12.5.

29.如图在△ABC中，。在84的延长线上，E在4C上，且4B:BO=5:7,AE-.EC=3:2,

S^ADE=36平方厘米，求△ABC的面积.

【答案】150平方厘米

S4ADE：SAABC=("DxAE~):(^ABxAC)

【分析】=[3x(7-5)]:[5x(3+2)]

=6:25,

因为S“DE=36(平方厘米)，

所以S4ABe=36+6x25=150(平方厘米).

30.如图，在中，延长48至。，使BD58,延长BC至E,使CE=”C,F是4C

的中点，假设△ABC的面积是2,那么ADEF的面积是多少？

【答案】3.5

【分析】因为在△4BC和△CFE中，乙4cB与匕FCE互补，所以

S2ABC4C,BC2x24

SLFCEFC,CElxl1

又因为S>ABC=2,所以S&FCE=05R］理可得S—DF=2,S&BDE=3.

所以

S4DEF-S&ABC+S〉CEF+S&DEB~^£.ADF

=2+0.5+3—2

=3.5.

31.如图，在梯形48co中，三角形48E的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD,求三角形

ABF.CDF、ABD.ACD的面积.

【答案】9.2平方厘米；9.2平方厘米；13.8平方厘米；13.8平方厘米.

【分析】

SAABF：S&ABE=(48xFB):(ABxEB)=2,

所以

S.BF=2xS〉ABE=9.2(平方厘米)；

因为△48。和△4。。同底等高，所以

S&ABD=S—C。，

因而

S&CDF=S〉ACD-S&AFD

=S&ABD-S&AFD

-S4ABF

=9.2(平方厘米)；

SAABD：S&ABE=("BxDB):(ABxEB)=3,

所以

SMBD=3xS“BE=13.8;

所以

S&ACD~S&ABD=13.8(平方厘米).

32.如图，长方形4BCD的面积是48,BE-.CE=3:5,DF-.CF=1:2.三角形CFE面积是多少？

【答案】10

【分析】简答：48xlx|x|=10.

33./XCEF的面积为9平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF9求△DE产的面积.

【答案】7平方厘米.

【分析】

SACEF：SAABC~(CExCF):(CBxCA)

=(lx3):(2x4)

=3:8

=9:24,

所以三角形ABC的面积为24平方厘米

,△BDE：S&ABC=(BDxBE):(84xBC)

=(1x1):(2x3)

=1:6

=4:24,

SAADF：SA4BC=(4。xAF'):(ABxAC)

=(2x1):(3x4)

=1:6

=4:24,

所以

SXDEF=24-4-4-9=7(平方厘米).

34.如图，三角形4BC中，AB是4。的6倍，EC是AE的3倍，如果三角形4DE的面积等

于1,那么三角形ABC的面积是多少？

【答案】24

=

【分析】SA.DE：SAABC=(1X1)：(6X4)=1:24,^^ABC24SA/[DE=24X1=24.

35.如图，长方形的面积是16,BE=3BD,CE=CF.请问：三角形BEC的面积是多少？

【答案】3

【分析】详解：连结DF，根据鸟头模型，可知△BCE面积是△OEF面积的

313

一x-=

428

那么△BCE的面积是

13

16x-x-=3.

28

36.把四边形4BCD的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH.如果4BCD的面积是5

平方厘米，那么EFGH的面积是多少？

【答案】65平方厘米

【分析】

H

连接BD,由共角定理知：

S“BD4BX4D1x1_1

S^AEH4ExAH2x36'

S^BCD_BCxCD_lx1_1

S^CFGCFxCG3x26'

S&AEH+S^CFG=6s4BC。，

同理连接AC,可得：

S〉BEF+S&DGH=6SABCD>

所以SEFGH=(6+6+1)SABCO=13x5=GScvr^.

37.如图，把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFG”.如果ABCD的面积

是5平方厘米，那么EFGH的面积是多少平方厘米？

II

【答案】25平方厘米

【分析】连接8D,有△4BD中心E4D+/B4D=180。，又夹成两角的边民4、AH.AB.

AD的乘积比，=2,所以SAE4H=2SAEA0.

/IDXX/1LZ

类似的,还可得SMCG=2S48CD，有

S&EAH+S&FCG=2(S△nBD+SRBCD)=10,

同理可证:

S&EBF+S&DHG=2(SA4B。+^ABCD)=10，

所以四边形EFGH的面积是10+10+5=25(立方厘米).

38.如图，△ABC的面积是36,并且4E=：4C,CD=-BC,BF=-AB,试求△DEF的面积.

345

A

【答案】15

【分析】详解：由鸟头模型可得,

4148

S&AEF=36X-X-=—

1327

S^BED=36X-X-=—,

12

S&CDE=36x-x-=6,

4827_

S^DEF=36—------6=15.

39.△DE尸的面积为7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积.

【答案】24平方厘米

【分析】S^BDE_BDXBE_1X1^1

S&ABCBAXBC3X26

S^cEF_CExCF_1X3_3

S08cCB^CA2x48

S"DF_力。xAF_2X1_1

SAABCABXAC3X46'

S&DEF_S—BCS^BDE一S^cEF一S"。》

S&ABCS»ABC

131

=1-6-8~6

7

"24,

又AOEF的面积为7平方厘米，所以

7

S“BC=7+外=24（平方厘米）.

40.如下图，在直角三角形4BC中，4C的长3厘米，CB的长4厘米，4B的长5厘米，有一

只小虫从C点出发，沿CB以1厘米/秒的速度向B爬行；另一只小虫从B点出发，沿BA以

1厘米/秒的速度向4爬行.请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D、E与8组成的三角

形DBE是等腰三角形？（请写出所有答案）

【答案】2秒、得秒或,秒.

【分析】设经过了久秒，那么BE=久厘米，CO=x厘米，两只小虫所在的位置。、E与B

组成的三角形DBE是等腰三角形的情况有三种：

(1)以8为等腰三角形顶角所在的顶点，即8D=BE(如图1).这个最好算，BD=4-x,

BE=x,故％=4—%,解得％=2；

(2)以E为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=EB,如图2,从E向BD作垂线，垂足为

F,在金字塔BEFAC种，罄=黑，即白子，所以利用CQ+OF+FB=4列出

方程x+%+%=4,解得(或者利用aBEF和ABAC相似，得寞=)，即2=］，

5513BF4BF4

所以BF=gx)

(3)以。为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=DB,如图3,从。向4B作垂线，垂足为

F,利用△BF。和△BCA相似得竺=£,即竺•=£,所以BF=±(4-久).利用BE=2BF

BD54-X55

列出方程x=44—x)x2,解得》=篙

综上，经过2秒或,秒或窘秒后，两只小虫所在的位置。、E与B组成的三角形DBE是等

腰三角形.

41.鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位.三百回合大战后，两人不分胜负.突

然，菜鸟向对手发出一枚飞镖.说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽

身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“瞠”的一声，飞镖被劈成了两半.如下

列图所示，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为5.被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较

小的那局部残片占到整体面积的几分之几？

【答案】107

300

【分析】对图形进行分割，分割过程如下:

A

D

即所给我我们的图形共有12个小正三角形组成，令每一个小正三角形的面积为1,那么根据

共角模型有：

S三角形BDEBDxBE11x13143

S=角形BACABxAC15x15225

所以四边形4CDE的面积为：

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