福建省夏门市金鸡亭中学2023-2024学年数学九上期末学业质量监测试题含解析

福建省夏门市金鸡亭中学2023-2024学年数学九上期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．一元二次方程x2﹣4x=0的根是（）A．x1=0，x2=4 B．x1=0，x2=﹣4 C．x1=x2=2 D．x1=x2=42．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为()A．6 B．8C．10 D．123．一元二次方程的正根的个数是()A． B． C． D．不确定4．下列说法中不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等5．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC的面积最小．A．1 B．2 C．3 D．46．已知点是线段的一个黄金分割点，则的值为（）A． B． C． D．7．下列关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是()A．x2＋1＝0 B．x2＋2x＋1＝0 C．x2＋2x＋3＝0 D．x2＋2x－3＝08．关于二次函数y=2x2+4,下列说法错误的是()A．它的开口方向向上 B．当x=0时,y有最大值4C．它的对称轴是y轴 D．顶点坐标为(0,4)9．在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（）A．（﹣2，﹣4） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）10．在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为A． B． C． D．11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：x…﹣10123…y…﹣23676…当y＜6时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≤3 C．x＜1或x＞0 D．x＜1或x＞312．如图，l1∥l2∥l3，若，DF=6，则DE等于（）A．3 B．3.2 C．3.6 D．4二、填空题（每题4分，共24分）13．在中，，，，则的长是__________．14．如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__________．15．将二次函数的图像向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么的值等于__________.16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边AD的中点，将△ABE折叠后得到△A′BE，延长BA′交CD于点F，则DF的长为______．17．请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式_____．18．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在中，，点为边的中点，请按下列要求作图，并解决问题：（1）作点关于的对称点；（2）在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转，①面出旋转后的（其中、、三点旋转后的对应点分别是点、、）；②若，则________．（用含的式子表示）20．（8分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上。求证：DB平分∠ADE．21．（8分）如图，已知△ABC，∠A＝60°，AB＝6，AC＝1．（1）用尺规作△ABC的外接圆O；（2）求△ABC的外接圆O的半径；（3）求扇形BOC的面积．22．（10分）已知二次函数．（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出的取值范围．23．（10分）已知：AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB=4，CD=6，BC=14，点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长？24．（10分）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？25．（12分）如图，在中，，是的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与交于点F，延长BA到点G，使得，连接FG.备用图（1）求证：FG是的切线；（2）若的半径为4.①当，求AD的长度；②当是直角三角形时，求的面积.26．如图，直线与轴交于点，与反比例函数第一象限内的图象交于点，连接，若．（1）求直线的表达式和反比例函数的表达式；（2）若直线与轴的交点为，求的面积．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】把一元二次方程化成x（x-4）=0，然后解得方程的根即可选出答案．【详解】解：∵一元二次方程x2﹣4x=0，∴x（x-4）=0，∴x1=0，x2=4，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟悉解一元二次方程的方法是解题的关键．2、D【解析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴=2，∴AF=2GF=4，∴AG=2．∵AD∥BC，DG=CG，∴=1，∴AG=GE∴AE=2AG=1．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．3、B【分析】解法一：根据一元二次方程的解法直接求解判断正根的个数；解法二：先将一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程的根与系数的关系即可判断正根的个数．【详解】解：解法一：化为一般式得，，∵a=1，b=3，c=−4，则，∴方程有两个不相等的实数根，∴，即，，所以一元二次方程的正根的个数是1；解法二：化为一般式得，，，方程有两个不相等的实数根，，则、必为一正一负，所以一元二次方程的正根的个数是1；故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键；如果只判断正根或负根的个数，也可灵活运用一元二次方程的根与系数的关系进行判断．4、C【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论.【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；

B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；

C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；

D．菱形的邻边相等；正确；

故选C．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．5、C【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：S=S△ABC-S△PBQ=×12×6-（6-t）×2t=t2-6t+36=（t-3）2+1．∴当t=3s时，S取得最小值．故选C．【点睛】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．6、A【解析】试题分析：根据题意得AP=AB，所以PB=AB-AP=AB，所以PB：AB=．故选B．考点：黄金分割点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．7、D【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．【详解】A、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；B、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；C、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；D、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，故选D．【点睛】本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．8、B【分析】根据二次函数的图象及性质与各项系数的关系，逐一判断即可.【详解】解：A.因为2＞0，所以它的开口方向向上，故不选A；B.因为2＞0，二次函数有最小值，当x=0时,y有最小值4，故选B；C.该二次函数的对称轴是y轴，故不选C；D.由二次函数的解析式可知：它的顶点坐标为(0,4)，故不选D.故选：B.【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键.9、A【分析】根据相似比为2,B′的坐标为（﹣6，0），判断A′在第三象限即可解题.【详解】解：由题可知OA′：OA=2:1,∵B′的坐标为（﹣6，0），∴A′在第三象限,∴A′（﹣2，﹣4）,故选A.【点睛】本题考查了图形的位似,属于简单题,确定A′的象限是解题关键.10、B【分析】由点A（a，b）在双曲线上，可得ab=-2，由点A与点B关于y轴的对称，可得到点B的坐标，进而求出k，然后得出答案．【详解】解：∵点A（a，b）在双曲线上，

∴ab=-2；

又∵点A与点B关于y轴对称，

∴B（-a，b）

∵点B在双曲线上，

∴k=-ab=2；

∴=2-(-2)=4；

故选：D．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征．11、D【分析】根据表格确定出抛物线的对称轴，开口方向，然后根据二次函数的图像与性质解答即可.【详解】∵当x=1时，y=6；当x=1时，y=6，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，∴二次函数图象的顶点坐标是（2，7），由表格中的数据知，抛物线开口向下，∴当y＜6时，x＜1或x＞1．故选D．【点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.12、C【解析】试题解析：根据平行线分线段成比例定理，可得：设解得：故选C.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据cosA=可求得AB的长．【详解】解：由题意得，cosA=，∴cos45°=，解得AB=．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．14、3【解析】试题解析:由旋转的性质可得：AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=4，BC=7，∴CD=BC−BD=7−4=3.故答案为3.15、1【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标，再代入直线y=0求出即可．【详解】y=x2-2x+2=（x-1）2+1，

∴将抛物线y=x2-2x+2沿y轴向下平移1个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x轴上，

∴m=1，

故答案为：1．【点睛】此题考查二次函数的性质，二次函数的平移，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．16、【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE＝DE＝EA'，然后利用“HL”证明△EDF和△EA'F全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝A'F；设FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列方程即可得解．【详解】∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△A'BE，∴AE＝EA'，AB＝BA'，∴ED＝EA'，∵在矩形ABCD中，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EA'F＝90°，∵在Rt△EDF和Rt△EA'F中，∵，∴Rt△EDF≌Rt△EA'F（HL），∴DF＝FA'，设DF＝x，则BF＝4+x，CF＝4﹣x，在Rt△BCF中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得：x＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．17、y=﹣x2+4.【解析】试题解析：开口向下，则y轴的交点坐标为这个抛物线可以是故答案为18、1【解析】分析：设方程的另一个根为m，根据两根之和等于-，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：设方程的另一个根为m，根据题意得：1+m=3，解得：m=1．故答案为1．点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）①见解析，②90°−α【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出O点；（2）①利用网格特点和旋转的性质分别画出A、B、C三点对应点点E、F、G即可；②先确定∠OCB＝∠DCB＝α，再利用OB＝OC和三角形内角和得到∠BOC＝180°−2α，根据旋转的性质得到∠COG＝90°，则∠BOG＝270°−2α，于是可计算出∠OGB＝α−45°，然后计算∠OGC−∠OGB即可．【详解】（1）如图，点O为所作；（2）①如图，△EFG为所作；②∵点O与点D关于BC对称，∴∠OCB＝∠DCB＝α，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝α，∴∠BOC＝180°−2α，∵∠COG＝90°，∴∠BOG＝180°−2α＋90°＝270°−2α，∵OB＝OG，∴∠OGB＝[180°−（270°−2α）]＝α−45°，∴∠BGC＝∠OGC−∠OGB＝45°−（α−45°）＝90°−α．故答案为90°−α．【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20、证明见解析.【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA=BD，从而得到∠A=∠ADB，根据∠A=∠BDE得到∠ADB=∠BDE，从而证得结论．【详解】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA=BD．∴∠A=∠ADB．∵∠A=∠BDE，∴∠ADB=∠BDE．∴DB平分∠ADE．【点睛】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了邻补角定义．21、（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）分别作出线段BC，线段AC的垂直平分线EF，MN交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．（2）连接OB，OC，作CH⊥AB于H．解直角三角形求出BC，即可解决问题．（3）利用扇形的面积公式计算即可．【详解】（1）如图⊙O即为所求．（2）连接OB，OC，作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，AC=1，∠A=60°，∴∠ACH=30°，∴AHAC=2，CHAH=2，∵AB=6，∴BH=1，∴BC2，∵∠BOC=2∠A=120°，OB=OC，OF⊥BC，∴BF=CF，∠COF∠BOC=60°，∴OC．（3）S扇形OBC．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理，解直角三角形，三角形的外接圆与外心等知识，解答本题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22、（1）详见解析；（2）≤≤1【分析】（1）按照列表，取点，连线的步骤画图即可；（2）根据图象即可得出答案.【详解】解：（1）列表如下：-2-1112351-3-4-31函数图象如下图所示：（2）由图象可知，当1≤x≤3时，≤≤1．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.23、（1）BP=2或BP=12；（2）当BP的值为2，12或5.1时，两三角形相似．【解析】试题分析：分△ABP∽△PCD和△ABP∽△DCP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．解：（1）当△ABP∽△PCD时，=，则=，解得BP=2或BP=12；（2）当△ABP∽△DCP时，=，则=，解得BP=5.1．综合以上可知，当BP的值为2，12或5.1时，两三角形相似．考点：相似三角形的性质．24、比赛组织者应邀请8个队参赛.【解析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．解：设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得：，解之，得，.不合题意舍去，.答：比赛组织者应邀请8个队参赛.“点睛”本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．25、（1）见解析；（2）①，②当时，；当时，.【分析】（1）连接AF，由圆周角定理的推论可知，根据等腰三角形的性质及圆周角定理的推论可证，，从而可得，然后根据切线的判定方法解答即可；（2）①连接CF，根据“SSS”证明，由全等三角形及等腰三角形的性质可得，进而可证，由平行线分线段成