第06讲复数的四则运算（2个知识点方法练创新练成果练）（原卷版）

第06讲复数的四则运算（2个知识点+方法练+创新练+成果练）【目录】【新知讲解】知识点1.复数的加、减运算及其几何意义知识点2.复数的乘、除运算【方法练】【创新练】【成果练】【知识导图】【新知讲解】知识点1.复数的加、减运算及其几何意义1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数加减法的几何意义如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为eq\o(OZ,\s\up14(→))1，eq\o(OZ,\s\up14(→))2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq\o(OZ,\s\up14(→))与复数z1＋z2对应，向量eq\o(Z2Z1,\s\up14(→))与复数z1－z2对应．规律方法1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．3．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．4．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．5．|z－z0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆．例一、单选题1．（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（

）A．3 B． C．2 D．2．（2023·全国·模拟预测）已知复数的共轭复数是，若，则（

）A． B． C． D．3．（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形的面积为（

）A．3 B． C．2 D．例二、解答题4．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．5．（2023·全国·高一随堂练习）类比复数加法的几何意义，请写出复数减法的几何意义．知识点2.复数的乘、除运算例一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）复数的实部与虚部之和为（

）A．0 B．2 C．4 D．82．（2023上·西藏林芝·高三统考期末）已知复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．23．（2022上·安徽安庆·高三校考期末）若复数z满足，则在复平面内对应的点在第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四4．（2024·全国·模拟预测）已知，复数，且，则（

）A． B．1 C．2 D．例二、解答题5．（2024·全国·高三专题练习）设，，，，为个复数．(1)如果，求证：；(2)若，则有什么样的结果？【方法练】一、单选题1．（2022·全国·校联考模拟预测）下列关于复数的四个命题中，错误的是（

）A． B．C．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为12．（2021·四川成都·石室中学统考一模）已知（，，i为虚数单位），复数，则（

）A．2 B． C． D．二、多选题3．（2022·山东济南·统考模拟预测）若，，则（

）A． B．C．在复平面内对应的点在第二象限 D．是实数4．（2023下·辽宁丹东·高一统考期末）在复平面内，是坐标原点，，则（

）A．的虚部为 B．C． D．三、填空题5．若复数是纯虚数，则实数的值是.6．（2020下·高二课时练习）对个复数，，…，，如果存在不全为零的实数，，…，，使得等式，则称复数，，…，线性相关；反之，称为线性无关.那么复数，，的关系为.四、解答题7．（2021·高一课时练习）（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）.8．（2021·江苏·高一专题练习）已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），（1）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．（2）若复数z1＝cosθ+isinθ（0≤θ≤π），求复数|z﹣z1|的取值范围．【创新练】一、单选题1．（2022·江西·校联考模拟预测）设i为虚数单位，，复数对应的点在第一象限的角平分线上，则（

）A． B．1 C． D．2．（2022·安徽马鞍山·统考一模）复数满足，则（

）A． B． C． D．或二、多选题3．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）设，是复数，则下列命题中正确的是（

）A．若是纯虚数，则B．若，则C．若，则D．若复数满足，则的最大值为4．（2023下·河北张家口·高一统考期末）实数x，y满足，设，则（

）．A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．C．z的虚部是 D．三、填空题5．（2022下·河南焦作·高二焦作市第一中学校联考期中）已知复数是纯虚数，则实数．6．（2021·浙江·校联考模拟预测）已知，，(是虚数单位)，则，.四、解答题7．（2023下·陕西西安·高一期中）计算下列各题:(1)；(2).8．（2022·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)；(2)．【成果练】一、单选题1．（2020上·山西长治·高二山西省长治市第二中学校校考阶段练习）设复数z满足：，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·河南新乡·统考一模）若，则的虚部为（

）A． B．1 C． D．二、多选题3．（2023下·山东·高一滨州一中校联考期中）若，是方程的两个虚数根，则（

）A．的取值范围为 B．的共轭复数是C． D．为纯虚数4．（2022下·全国·高一校联考期中）已知为虚数单位，，，则下列选项中正确的有（

）A． B．的虚部为1C．在复数范围内，为方程的根 D．三、填空题5．（2022下·陕西咸阳·高二统考期中）若复数满足（是虚数单位），则.6．若为非零实数，则下列四个命题都成立：①②③若，则④若，则．则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是7．（2023·高一课时练习）设复数满足，则．8．（2023下·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）若复数，则z在复平面内对应的点的坐标为，四、解答题9．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）（1）化简；（2）已知复数的，求.10．（2022下·广西北海·高二统考期末）已知复数满足：.(1)求复数；(2)化简：.11．（2021·高一单元测试）（1）已知复数，求.（2）已知是虚数单位，化简复数：.12．已知复数．（Ⅰ）当实数取什么值时，复数是纯虚数；（Ⅱ）当时，化简．13．（2022下·上海奉贤·高一校考期