1.4.2单位圆与任意角的正弦函数余弦函数和正切函数的基本性质教案-高一上学期数学北师大版

单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数基本性质教学目标1、利用单位圆判断任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质；2、利用单位圆判断定区间内正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性；3、利用单位圆求解正弦函数、余弦函数和正切函数在定区间内的最值；教学重难点重点：正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质难点：定区间内正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性与最值问题教学设计情景导入如图，设任意角α的终边与单位圆交于Pu,v，回答下列问题：写出任意角α的正弦函数，余弦函数和正切函数的解析式？对应的定义域是什么？根据单位圆的性质，当自变量角α发生变化时，其终边与单位圆的交点Pu,v的横坐标u与纵坐标v与角α终边相同的角怎样表示？根据正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，你能发现终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值和正切函数值有怎样的关系吗？根据（3）的结论，你能判断出正弦函数、余弦函数和正切函数时周期函数吗？最小正周期分别是多少？（设计意图：带领学生在单位圆中分析相关的性质和取值，方便总结）新知概念2、1正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质定义域：正弦函数余弦函数的定义域均为：实数集R正切函数的定义域：αα≠最值和值域：根据单位圆中的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义得到（1）当α=π2+2kπ当α=−π2+2kπ正弦函数v=sinα的值域为（2）当α=2kπ,k∈Z当α=π+2kπ,k余弦函数u=cosα的值域为（3）正切函数：根据其定义可以发现其没有最大值和最小值，值域为−周期性：正弦函数和余弦函数主要从终边相同的角去处理，正切函数结合定义处理（1）终边相同的角正弦函数值相等：sinα+2kπ（2）终边相同的角余弦函数值相等：cosα+2kπ（3）正切函数值相等的情况：tanα+kπ=tanα单调性：正弦函数和余弦函数的单调性结合角的终边余单位圆交点的坐标来观察，正切函数的单调性从定义来观察，一个比值关系。问题引入：如图1，在单位圆中，当角α由−π2增加到π2如图2，在单位圆中，当角α由π2增加到3π2如图3，在单位圆中，当角α由0增加到π时，点P的横坐标怎样变化？说明了余弦函数的哪个性质？如图4，在单位圆中，当角α由−π增加到0时，点P如图5，在单位圆中，当角α由−π2增加到π2如图6，在单位圆中，当角α由π2增加到3π2归纳总结：正弦函数的单调性：对任意的k∈Z，正弦函数在区间正弦函数在区间π2余弦函数的单调性：对任意的k∈Z，余弦函数在区间余弦函数在区间π+2k正切函数的单调性：正切函数只有单调递增区间，没有单调递减区间。对任意的k∈Z，正切函数在区间对点练习若函数y=sinx和函数y=cosx在区间D上都单调递增，则区间D可以是（）A、0,B、πC、πD、3例题讲解求函数y=lgsinx−解：对数的真数大于零，二次根式的被开方数不小于零由题意可知，定义域满足不等式组：sinx−22解得：2k所以函数的定义域为：x求下列函数的单调区间，并求出其最大值和最小值以及对应的自变量的取值y=2sinx,xy=−解：（1）根据单位圆可知：在x∈π6所以当x=π2时，取得最大值，最大值为因为2sinπ6=1,2sin（2）根据单位圆可知：y=cosx在x∈−π所以：y=−12cosx,x在x∈所以：当x=0时，取得最小值，最小值为：−因为−12cos−求函数y=2sin解：注意分析使用换元法，换元法注意新元范围令t=sinα,t∈−1,1，则y=2sin（变成了一个定区间内的最值问题：主要考虑对称轴）对称轴为直线：t=−54，所以在区间所以当t=−1时，取得最小值为：−4当t=1时，取得最大值为：6求下列各式的值cossin解：（1）原式=cos8（2）原式==比较下列各组值的大小sin21πcos2π3与tan2与tan3解：先将角转化成0,2因为：sin又因为：0<π5<2π5<π2因为π2<2π3<4因为π2<2<3<π已知函数y1=a−bcosxb>0的最大值是32，最小值是解：因为函数y1=a−bcosxb>0的最大值是由题意可知：a+b=32a−b=−12已知函数fx=2asinx+b的定义域为−π3,2π解：因为−π3≤x≤2π3，所以当a>0时，f所以：2a+b=1−3当a<0时，f所以：−3a+b=1综上所