高三数学一轮提能一日一讲（11月3日）

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．函数f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零点为1，则实数a的值为()A．－2B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．2解析由已知得f(1)＝0，即eq\f(2,31＋1)＋a＝0，解得a＝－eq\f(1,2).故选B.答案B2．已知a是函数f(x)＝2x－logeq\s\do8(\f(1,2))x的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)＝0 B．f(x0)<0C．f(x0)>0 D．f(x0)的符号不确定解析分别作出y＝2x与y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x的图象如图所示，当0<x0<a时，y＝2x的图象在y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x图象的下方，所以f(x0)<0.故选B.答案B3．函数f(x)＝2x－x－eq\r(2)的一个零点所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析由f(0)＝20－0－eq\r(2)<0，f(1)＝2－1－eq\r(2)<0，f(2)＝22－2－eq\r(2)>0，根据函数零点性质知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B.答案B4．(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]解析如图所示，过A作AM⊥BC于M，交DE于N；AM＝40.由相似三角形得：eq\f(DE,BC)＝eq\f(x,40)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AN,AM)＝eq\f(AN,40).解得AN＝x，MN＝40－x，则阴影部分的面积为S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C答案C5．(2012·湖北卷)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4 B．5C．6 D．7解析令f(x)＝xcosx2＝0可得，x＝0或cosx2＝0，故x＝0或x2＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.又x∈[0,4]，则x2∈[0,16]，则k＝0,1,2,3,4符合题意，故在区间[0,4]上的零点个数为6.答案C6．(2013·安徽卷)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是()A．3 B．4C．5 D．6解析由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图所示．由图象可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解，因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为3.答案A二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．(2013·哈尔滨一模)现有含盐7%的食盐水200g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水xg，则x的取值范围是________．解析根据已知条件设y＝eq\f(200×7%＋x·4%,200＋x)×100%，令5%<y<6%，即(200＋x)·5%<200×7%＋x·4%<(200＋x)·6%，解得100<x<400.答案(100,400)8．若函数f(x)＝log2(x＋1)－1的零点是抛物线x＝ay2的焦点的横坐标，则a＝________.解析令f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函数f(x)的零点为x＝1，于是抛物线x＝ay2的焦点的坐标是(1,0)，因为x＝ay2可化为y2＝eq\f(1,a)x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,\f(1,4a)＝1，))解得a＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)9．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．解析g(x)的零点个数不为零，即f(x)图象与直线y＝a的交点个数不为零，画出f(x)的图象可知，a的最小值为1.答案1三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.∴函数f(x)的零点为3和－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．∴b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以0<a<1.因此实数a的取值范围是(0,1)．11．(本小题10分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.再由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200a＋b＝0，,20a＋b＝60，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(200,3).))故函数v(x)的表达式为v(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0≤x≤20，,\f(1,3)200－x，20≤x≤200.))(2)依题意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60x，0≤x≤20，,\f(1,3)x200－x，20≤x≤200.))当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝eq\f(1,3)x(200－x)≤eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋200－x,2)))2＝eq\f(10000,3)，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值eq\f(10000,3).综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值eq\f(10000,3)≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．12．(本小题10分)(2013·河南驻马店一模)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x3＋ax2＋bx，x<1，,cex－1－1，x≥1))在x＝0和x＝eq\f(2,3)处存在极值．(1)求实数a，b的值；(2)当c＝e时，讨论关于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的实根个数．解(1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.因为函数f(x)在x＝0和x＝eq\f(2,3)处存在极值，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′0＝0，,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝0，))解得a＝1，b＝0.(2)由方程f(x)＝kx，知kx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x3＋x2，x<1，,ex－e，x≥1，))0一定是方程的根，所以仅就x≠0时进行研究：方程等价于k＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x<1且x≠0，,\f(ex－e,x)，x≥1.))构造函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x<1且x≠0，,\f(ex－e,x)，x≥1，))对于x<1且x≠0部分，函数g(x)＝－x2＋x的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x＝eq\f(1,2)时取得最大值eq\f(1,4)，其值域是(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4