湖南省2024届高二数学第二学期期末检测试题含解析

湖南省2024届高二数学第二学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A． B． C． D．2．在的展开式中，含的项的系数是（）A．-832 B．-672 C．-512 D．-1923．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知面积为的等腰内接于抛物线，为坐标原点，，为抛物线的焦点，点.若是抛物线上的动点，则的最大值为（）A． B． C． D．5．（）A． B． C．0 D．6．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．36种 B．24种 C．22种 D．20种7．甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为和，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为()A． B． C． D．8．使函数y＝xsinx＋cosx是增函数的区间可能是()A． B．(π，2π)C． D．(2π，3π)9．函数的大致图象是（）A． B．C． D．10．用反证法证明“方程至多有两个解”的假设中，正确的是（）A．至少有两个解 B．有且只有两个解C．至少有三个解 D．至多有一个解11．已知，，则的最小值为（）A． B． C． D．12．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知二项式展开式的第项与第项之和为零，那么等于____________.14．设，过下列点分别作曲线的切线，其中存在三条直线与曲线相切的点是__________．15．重庆市新课程改革要求化学、生物、政治、地理这四门学科为高考选考科目.现在甲、乙、丙三位同学分别从这四门学科中任选两科作为选考科目，则四门学科都有人选的概率为_________.16．设空间向量，，且，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设为虚数单位，为正整数，（1）证明：；（2），利用（1）的结论计算．18．（12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）设是棱上的一点，当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各随机抽取了100件产品作为样本来检测一项质量指标值，若产品的该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图是乙套设备的样本的频率分布直方图．表甲套设备的样本的频数分布表质量指标值频数2103638122（1）将频率视为概率．若乙套设备生产了10000件产品，则其中的合格品约有多少件？（2）填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计附表及公式：，其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知函数．（1）求函数的最小值；（2）当时，记函数的所有单调递增区间的长度为，所有单调递减区间的长度为，证明：．（注：区间长度指该区间在轴上所占位置的长度，与区间的开闭无关．）21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）已知，求证．22．（10分）定义：在等式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列(如三项式的1次系数列是1，1，1).(1)填空：三项式的2次系数列是_______________；三项式的3次系数列是_______________；(2)由杨辉三角数阵表可以得到二项式系数的性质,类似的请用三项式次系数列中的系数表示(无须证明)；(3)求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】试题分析：记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件，则，解得，故选B．考点：对立事件与独立事件的概率．2、A【解题分析】

求出展开式中的系数减2倍的系数加的系数即可.【题目详解】含的项的系数即求展开式中的系数减2倍的系数加的系数即含的项的系数是．故选A.【题目点拨】本题考查二项式定理，属于中档题．3、B【解题分析】

根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【题目详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；当，则，有，满足必要性；所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．【题目点拨】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题．4、B【解题分析】

根据题意求得两点关于对称，得到直线的方程为，由的面积为，求得，再把过点N的直线方程为，代入，求得判别式求得，最后利用抛物线的定义，即可求解.【题目详解】设等腰直角三角形的顶点，且，由，得，所以，即，因为，所以，即两点关于对称，所以直线的方程为，由，解得或，故，所以，因为的面积为，所以，过点N的直线方程为，代入可得，所以由，可得，此时直线的倾斜角为，过M作准线的垂线，垂足为A，则，所以，所以直线的倾斜角为或时，此时的最大值为，故选B.【题目点拨】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中求得两点关于对称，合理利用抛物线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.5、D【解题分析】

定积分的几何意义是圆的个圆的面积，计算可得结果.【题目详解】定积分的几何意义是圆的个圆的面积,∴，故选D.【题目点拨】本题考查定积分，利用定积分的几何意义是解决问题的关键，属基础题6、B【解题分析】根据题意，分2种情况讨论：①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有=12种推荐方法；②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，共有=12种推荐方法；故共有12+12=24种推荐方法，故选B．7、A【解题分析】分析：根据互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式求概率.详解：因为这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为甲考140分以上乙未考到140分以上事件概率与乙考140分以上甲未考到140分以上事件概率的和，而甲考140分以上乙未考到140分以上事件概率为，乙考140分以上甲未考到140分以上事件概率为，因此，所求概率为，选A.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式，考查基本求解能力.8、C【解题分析】

求函数y＝xsinx＋cosx的导函数，根据导函数分析出它的单调增区间．【题目详解】由函数得，=．观察所给的四个选项中，均有，故仅需，结合余弦函数的图像可知，时有，所以答案选C．【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对于函数，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，这是解题关键．此题属于基础题．9、C【解题分析】

根据特殊位置的所对应的的值，排除错误选项，得到答案.【题目详解】因为所以当时，，故排除A、D选项，而，所以即是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B项，故选C项.【题目点拨】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.10、C【解题分析】分析：把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求．详解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，

命题：“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”，

故选C．点睛：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．11、D【解题分析】

首先可换元，，通过再利用基本不等式即可得到答案.【题目详解】由题意，可令，，则，，于是，而，，故的最小值为，故答案为D.【题目点拨】本题主要考查基本不等式的综合应用，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.12、A【解题分析】

设，，，，代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得，，利用斜率计算公式可得．于是得到，化为，再利用，即可解得，．进而得到椭圆的方程．【题目详解】解：设，，，，代入椭圆方程得，相减得，．，，．，化为，又，解得，．椭圆的方程为．故选：．【题目点拨】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

用项式定理展开式通项公式求得第4项和第5项，由其和为0求得．【题目详解】二项式展开式的第项为，第5项为，∴，解得．故答案为：1．【题目点拨】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，属于基础题．14、.【解题分析】

设切点坐标为，求出切线方程，将点代入切线方程，整理得，令，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求得极值，利用数形结合列不等式，将五个点逐一代入检验即可得结果.【题目详解】设切点坐标为，则切线方程为，设切线过点，代入切线方程方程可得，整理得，令，则，过能作出三条直线与曲线相切的充要条件为：方程有三个不等的实数根，即函数有三个不同的零点，故只需，分别把，代入可以验证，只有符合条件，故答案为.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为，极小值为：一个零点或；两个零点或；三个零点.15、【解题分析】

选科门数分三种：第一种只选二门，第二种选3门，第三种是四门都选．可以通过计算前两种的选法或概率得出第三种的选法或概率【题目详解】每人任选两门有种，只有两门学科有人选共有种，有三门学科有人选共有种，（注：减是减去只有两门被选中的情形），所以故答案为：．【题目点拨】本题考查古典概型，考查排列组合的应用，解题关键是求出满足要求的选科数方法数．16、-2.【解题分析】分析：，利用向量共线定理即可得出结论详解：，，且即即m4，n2∴点晴：本题主要考察空间向量的平行，注意熟记平面向量平行垂直的计算，空间向量的平行垂直的计算三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析.(2).【解题分析】分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当时成立，假设当时，命题成立，只需证明当时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.详解：（1）1°当时，左边，右边，所以命题成立2°假设当时，命题成立，即，则当时，所以，当时，命题也成立综上所述，（为正整数）成立（2）由（1）结论得点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.18、（1）;（2）.【解题分析】

以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系（1）由可得异面直线与所成角的余弦值．（2）当平面时，设，要使平面，只需即可．即可得即为的中点，即，由即可求得直线与平面所成角的正弦值．【题目详解】解：以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，.（1），．则异面直线与所成角的余弦值为．（2）当平面时，设.，，，面．要使平面，只需即可．，．即为的中点，即,，平面的法向量为，则．直线与平面所成角的正弦值为.【题目点拨】本题考查了异面直线所成角，考查了线面角.本题的易错点是第二问中，错把当成了线面角.19、（1）8600件；（2）列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．【解题分析】

（1）计算出不合格品率，和不合格品件数，由此求得合格品件数.（2）根据题目所给表格和图像数据，填写好联表，计算出的值，由此判断出“不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．”【题目详解】解：（1）由题图1知，乙套设备生产的不合格品的概率约为，∴乙套设备生产的10000件产品中不合格品约为（件），故合格品的件数为（件）．（2）由题中的表1和图1得到2×2列联表如下：甲套设备乙套设备合计合格品9686182不合格品41418合计100100200将2×2列联表中的数据代入公式计算得的观测值，因为6.105<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．【题目点拨】本小题主要考查用频率估计总体，考查联表独立性检验，考查运算求解能力，属于中档题.20、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）首先求函数的导数，然后判断函数的单调性，最后求最值；（2）根据（1）首先求函数的零点，从而去掉的绝对值，分段求函数的单调区间，最后再比较单调区间的长度.【题目详解】解（1）因为，所以在单调递减，单调递增，所以.（2）由