2024届广东第二师范学院番禺附中数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

2024届广东第二师范学院番禺附中数学高二第二学期期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线与曲线相切，则实数k的值为（）A． B．1 C． D．2．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为()A． B．C． D．3．方程至少有一个负根的充要条件是A． B． C． D．或4．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是A． B． C．(1,0) D．(1，)5．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（）A． B． C． D．6．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则（）A．- B．1或2 C．1 D．27．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（）A．17 B．18 C．18．用，，，，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A．个 B．个 C．个 D．个9．中国古代数学的瑰宝——《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体——鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体.现有四面体为一个鳖擩，已知平面，，若该鳖擩的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）A． B． C． D．10．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（）A． B．C． D．11．已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含项的系数是（）A．-40 B．-20 C．20 D．4012．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若,则在的展开式中,项的系数为_________14．设，，，则的最小值为__________.15．从1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),⋯，概括出第n个式子为_______．16．命题：“，使得”的否定是_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.(1)当时，求函数的值域；(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．18．（12分）如图，在以为顶点的多面体中，面，，，，，（Ⅰ）请在图中作出平面，使得平面，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面.19．（12分）已知数列满足：，且.（Ⅰ）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.20．（12分）已知函数，且在和处取得极值.（I）求函数的解析式.（II）设函数，是否存在实数，使得曲线与轴有两个交点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．（12分）为了研究广大市民对共享单车的使用情况,某公司在我市随机抽取了111名用户进行调查，得到如下数据：每周使用次数1次2次3次4次5次6次及以上男4337831女6544621合计1187111451认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑共享单车”.(1)分别估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率；(2)请完成下面的2×2列联表,并判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关.不喜欢骑共享单车喜欢骑共享单车合计男女合计附表及公式：k2=nP(1.151．111.151.1251.1111.1151.111k2.1722.7163.8415.1246.6357.87911.82822．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．(1)解不等式；(2)若函数的最小值为，且，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】由得，设切点为，则，，，，对比，，，故选D.2、D【解题分析】

执行循环，根据判断条件确定结束循环，输出结果.【题目详解】第1步：a＝7-2n＝5，a＞0成立，S＝S＋a＝5，n＝2；第2步：a＝7-2n＝3，a＞0成立，S＝S＋a＝8，n＝3；第3步：a＝7-2n＝1，a＞0成立，S＝S＋a＝1，n＝4；第4步：a＝7-2n＝－1，a＞0不成立，退出循环，输出S＝1．选D.【题目点拨】本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断能力，属基础题.3、C【解题分析】试题分析：①时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则；若方程有两个负的实根，则必有．②若时，可得也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则．反之，若，则方程至少有一个负的实根，因此，关于的方程至少有一负的实根的充要条件是．故答案为C考点：充要条件，一元二次方程根的分布4、B【解题分析】

由题圆，则可化为直角坐标系下的方程,，，，圆心坐标为（0，-1），则极坐标为，故选B.考点：直角坐标与极坐标的互化.5、A【解题分析】

由已知可知件产品中有件次品，件正品，设“前两次抽到正品”为事件，“第三次抽到次品”为事件，求出和，即可求得答案.【题目详解】由已知可知件产品中有件次品，件正品，设“前两次抽到正品”为事件，“第三次抽到次品”为事件；则∴故选：A.【题目点拨】本题是一道关于条件概率计算的题目，关键是掌握条件概率的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6、C【解题分析】分析：由为偶数，且，即可得结果.详解：幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，为偶数，且，解得，故选C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.7、A【解题分析】

设事件A为：至少有1个景点未被选择，事件B为：恰有2个景点未被选择,计算P(AB)和P(A),再利用条件概率公式得到答案.【题目详解】设事件A为：至少有1个景点未被选择，事件B为：恰有2个景点未被选择P(AB)=P(B故答案选A【题目点拨】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.8、B【解题分析】

利用分类计数原理，个位数字为时有；个位数字为或时均为，求和即可.【题目详解】由已知得：个位数字为的偶数有，个位数字为的偶数为，个位数字为的偶数有，所以符合条件的偶数共有.故选：B【题目点拨】本题考查了分类计数运算、排列、组合，属于基础题.9、B【解题分析】分析：把此四面体放入长方体中，BC，CD，AB刚好是长方体的长、宽、高，算出长方体体对角线即可.详解：把此四面体放入长方体中，BC，CD，AB刚好是长方体的长、宽、高，则，，故.故选：B.点睛：本题主要考查了转化与化归思想的运用.10、B【解题分析】试题分析：函数，的图象上所有点向左平移个单位长度得，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得，选B.考点：三角函数图像变换11、D【解题分析】

由题意先求得a＝﹣1，再把（2x+a）5按照二项式定理展开，即可得含x3项的系数．【题目详解】令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2•（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．二项式（x+1）（2x+a）5＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故展开式中含x3项的系数是﹣40+80＝40故选D．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12、B【解题分析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：由定积分求得，写出二项展开式的通项为，进而可求解的系数.详解：由，所以二项式为，则二项式的展开式的通项为，当时，，即的系数为.点睛：本题主要考查了定积分的计算和二项式定理的应用，其中熟记微积分基本定理和二项展开式的通项的合理运用是解答的关键，着重考查了推理和运算能力.14、.【解题分析】

把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．【题目详解】由，得，得，等号当且仅当，即时成立．故所求的最小值为．【题目点拨】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．15、1-4+9-16+...【解题分析】

分析：根据前面的式子找规律写出第n个式子即可.详解：由题得1-4+9-16+点睛：（1）本题主要考查不完全归纳，考查学生对不完全归纳的掌握水平和观察分析能力.(2)不完全归纳得到的结论，最好要检验，发现错误及时纠正.16、，【解题分析】

直接利用特称命题的否定解答即可.【题目详解】因为特称命题的否定是全称命题,所以命题：“，使得”的否定是：，.故答案为：，.【题目点拨】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2).【解题分析】

（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t＝∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数的取值范围．【题目详解】(1)h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，，故函数h(x)的值域为[0,2]．(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，得(3－4)(3－)＞k·，令，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0,2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0,2]时，恒成立，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为－3.所以k＜－3.综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．【题目点拨】本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值。意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力。18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）取中点，连接，则平面即为所求平面；根据长度关系和平行关系可知四边形是平行四边形，得；又，利用线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得平面平面，根据面面平行性质可证得结论；（Ⅱ）易知是边长为的正三角形，从而根据角度关系可求得，结合，可利用线面垂直判定定理证得结论.【题目详解】（Ⅰ）如图，取中点，连接，则平面即为所求平面理由如下：，且四边形是平行四边形平面，平面平面，平面，平面平面平面，平面，且平面平面平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）四边形是平行四边形，则，是边长为的正三角形，，即平面，平面平面，平面，平面【题目点拨】本题考查线面平行和面面平行判定定理与性质定理的应用、线面垂直关系的证明问题，考查学生对于基础定理的掌握情况，属于常考题型.19、（Ⅰ），，，猜想.（Ⅱ）证明见解析【解题分析】

（Ⅰ）令，可得，，的值，根据，可猜想数列的通项公式；（Ⅱ）①当时，猜想显然成立；②假设当时猜想成立，通过证明当时，猜想也成立，从而得到证明.【题目详解】解：（Ⅰ）由递推公式可得，，，猜想.（Ⅱ）下面用数学归纳法证明猜想成立.①当时，猜想显然成立；②假设当时猜想成立，即，则时，由，得，即当时，猜想也成立，由①②可知，对任意均成立.【题目点拨】本题主要考查归纳推理及用数学归纳法证明猜想成立.20、(1)（2）存在，且或时，使得曲线与轴有两个交点.【解题分析】试题分析：解：（1），因为在和处取得极值，所以和是＝0的两个根，则解得经检验符合已知条件故（2）由题意知，令得，或，随着变化情况如下表所示：

1

（1，3）

3

－

0

+

0

－

递减

极小值

递增

极大值

递减

由上表可知：极大值＝，又取足够大的正数时，；取足够小的负数时，，因此，为使曲线与轴有两个交点，结合的单调性，得：，∴或，即存在，且或时，使得曲线与轴有两个交点.考点：导数的运用点评：根据导数的符号判定函数的单调性是解题的关键，同时能利用其极值于x轴的关系的求解交点问题，属于中档题．21、（1）男用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为911，女用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为23（2）填表见解析，没有【解题分析】

(1)利用古