浙江省金华市金华第一中学2024届数学高二第二学期期末经典模拟试题含解析

浙江省金华市金华第一中学2024届数学高二第二学期期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数满足，则的虚部为A． B． C．1 D．2．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项3．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（）A． B． C． D．4．一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有A．6种 B．12种 C．36种 D．72种5．若复数是纯虚数（是实数，是虚数单位），则等于（）A．2 B．-2 C． D．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．107．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC内，曲和曲线围成一个叶形图阴影部分，向正方形AOBC内随机投一点该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的，则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A． B． C． D．8．已知随机变量服从正态分布，若，则()A． B． C． D．9．已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．10．已知(为虚数单位)，则A． B． C． D．11．已知复数满足方程，复数的实部与虚部和为，则实数（）A． B． C． D．12．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(x)+fA．(-∞,0) B．(0,+∞) C．(-∞,1) D．(1,+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）．①某宾馆每天入住的旅客数量是；②某水文站观测到一天中珠江的水位；③西部影视城一日接待游客的数量；④阅海大桥一天经过的车辆数是.14．i是虚数单位，则复数的虚部为______．15．的二项展开式中，项的系数是__________．（用数字作答）16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a＝________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）若函数的图象与直线相切，求实数的值；（2）设函数在区间内有两个极值点.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数.（1）若函数与相切于点，求的值；（2）若是函数图象的切线，求的最小值.19．（12分）已知函数.（1）若在处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，求的单调区间.20．（12分）已知函数(其中a，b为常数，且，)的图象经过点，．(1)求的解析式；(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．21．（12分）如图，平面，在中，，，交于点，，，，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．22．（10分）如图，在多面体中，四边形是菱形，⊥平面且.(1)求证：平面⊥平面；(2)若设与平面所成夹角为，且，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】，虚部为．【考点】复数的运算与复数的定义．2、C【解题分析】解：n=k时，左边="1"/k+1+1/k+2++1/k+k，n=k时，左边="1"/(k+1)+1+1/(k+1)+2++1/(k+1)+(k+1)="(1/"k+1+1/k+2++1/k+k)-1/k+1+1/2k+1+1/2k+2故选C3、C【解题分析】试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有种取法，∴考点：古典概型及其概率计算公式4、B【解题分析】

分类讨论,利用捆绑法、插空法,即可得出结论.【题目详解】把空着的2个相邻的停车位看成一个整体，即2辆不同的车可以停进4个停车场，由题意,若2辆不同的车相邻,则有种方法

若2辆不同的车不相邻,则利用插空法,2个相邻的停车位空着,利用捆绑法,所以有种方法，不同的停车方法共有：种，

综上,共有12种方法，

所以B选项是正确的.本题考查排列、组合的综合应用,注意空位是相同的,是关键.5、B【解题分析】

利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．【题目详解】∵复数（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是纯虚数，∴，解得a＝﹣1．故选B．【题目点拨】本题考查了复数的乘法运算、纯虚数的定义，属于基础题．6、C【解题分析】

先作出约束条件表示的平面区域，令，由图求出的范围，进而求出的最大值.【题目详解】作出可行域如图：令，由得，点；由得，点，由图知当目标函数经过点时，最大值为4，当经过点时，最小值为，所以的最大值为8.故选：C【题目点拨】本题主要考查了简单线性规划问题，考查了学生的作图能力与数形结合的思想.7、C【解题分析】

欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解．【题目详解】联立得.由图可知基本事件空间所对应的几何度量，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：（A）．所以（A）．故选：．【题目点拨】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、D【解题分析】

随机变量服从正态分布,则,利用概率和为1得到答案.【题目详解】随机变量X服从正态分布,

,

答案为D.【题目点拨】本题考查了正态分布,利用正态分布的对称性是解决问题的关键.9、C【解题分析】

设为边的中点，由双曲线的定义可得，因为正三角形的边长为，所以有，进而解得答案。【题目详解】因为边的中点在双曲线上，设中点为，则，,因为正三角形的边长为，所以有，整理可得故选C【题目点拨】本题考查双曲线的定义及离心率，解题的关键是由题意求出的关系式，属于一般题。10、B【解题分析】

由题得，再利用复数的除法计算得解.【题目详解】由题得，故答案为：B【题目点拨】本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.11、D【解题分析】分析：由复数的运算，化简得到z，由实部与虚部的和为1，可求得的值．详解：因为所以因为复数的实部与虚部和为即所以所以选D点睛：本题考查了复数的基本运算和概念，考查了计算能力，是基础题．12、B【解题分析】

不等式的exfx<1的解集等价于函数g(x)=exf(x)图像在y=1下方的部分对应的x的取值集合，那就需要对函数g(x)=exf(x)的性质进行研究，将fx+f'x【题目详解】解：令g(x)=因为f所以，(故g故gx在R又因为f所以，g所以当x>0，gx<1，即e故选B.【题目点拨】不等式问题往往可以转化为函数图像问题求解，函数图像问题有时借助函数的性质（奇偶性、单调性等）进行研究，有时还需要构造新的函数.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、②【解题分析】

利用离散型随机变量的定义直接求解．【题目详解】①③④中的随机变量的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．故答案为：②【题目点拨】本题考查离散型随机变量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的定义的合理运用，比较基础．14、-1【解题分析】

分子分母同时乘以，进行分母实数化．【题目详解】，其虚部为-1【题目点拨】分母实数化是分子分母同时乘以分母的共轭复数，是一道基础题．15、【解题分析】分析：先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中项的系数.详解：的二项展开式的通项为，，展开式项的系数为故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.16、1【解题分析】由双曲线可知a>0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.点睛：如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解题分析】

求导并设出切点，建立方程组，解出即可；

（ⅰ）求导得，令，则函数在上有两个零点，，由此建立不等式组即可求解；

（ⅱ）由根与系数的关系可得，，且，故，通过换元令，可得，令，由导数研究其最值即可．【题目详解】（1）由得，所以切点为，代入，即，得.（2），，（ⅰ）由题意知方程在内有两个不等实根，可得，解得，故实数的取值范围为.（ⅱ）因为恒成立，所以恒成立，由（ⅰ）知，(，)，当，，所以，则在区间上为单调减函数，故，，令，由得，记，因为，所以在上为减函数，所以在上的取值集合为.因为恒成立，所以，故实数的取值范围为.【题目点拨】本题主要考查导数的综合运用，主要是考查利用导数研究函数的单调性及最值，当有多个变量时，首先应该想到的是减少变量个数，即降元思想，本题属于较难题目．18、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用函数与相切于点，切线即可求的值.（2）若是函数图象的切线，设切点，表达函数的切线方程，表达，构造新函数，求其最小值即可.【题目详解】（1）由函数，则，，.所以，.（2）设切点，则切线方程为，即，亦即，由题意得.∴令.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；∴∴的最小值为.【题目点拨】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值，解题的关键是熟记基本初等函数的导数，属于中档题.19、（1）（2）函数在上递增，在上递减【解题分析】

（1）求导数，将代入导函数，值为0，解得.（2）当时，代入函数求导，根据导数的正负确定函数单调性.【题目详解】解：（1）函数的定义域为又，依题有，解得．（2）当时，，令，解得，（舍）当时，，递增，时，，递减；所以函数在上递增，在上递减．【题目点拨】本题考查了函数的切线，函数的单调性，意在考查学生的计算能力.20、(1)(2)【解题分析】试题分析：（1）把点代入函数的解析式求出的值，即可求得的解析式．（2）由（1）知在上恒成立，设，利用g（x）在上是减函数，能求出实数m的最大值．试题解析：(1)由题意得(2)设在上是减函数在上的最小值因为在上恒成立即得所以实数的取值范围.考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

过D作平行线DH，则可得两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标，求出长，写出的坐标．求出相应向量，（1）由，证得垂直；（2）求出平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值等于向量和夹角余弦值的绝对值．由向量的数量积运算易求．【题目详解】（1）过D作平行线DH，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，为轴，建立空间坐标系，如图，在中，，，，，交于点，，；,，，；（2）由（1）可知，，，设平面BEF的法向量为，所以，，取，，设直线与平面所成角为，所以=.【题目点拨】本题考查证明空间两直线垂直，考查求直线与平面所成的角，解题方法是建立空间直角坐标系，由向量法证明线线垂直，求线面角，这种方法主要考查学生的运算求解能力，思维量很少，解法固定．22、(1)见解析;(2).【解题分析】

（1）根据已知可得和，由线面垂直判定定理可证平面，再由面面垂直判定定理证得平面⊥平面.（2）解法一：向量法，设，以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系，求得的坐标，运用向量的坐标表示和向量的垂直条件，求得平面和平面的的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求的值.解法二：三垂线法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，过点F做FM⊥EC于M，连OM，由已知可以证明FO⊥面AEC，∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角，通过菱形的性质、勾股定理和等面积法求得cos∠FMO，得到答案.解法三：射影面积法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，根据已知条件计算，，二面角的余弦值cosθ=，即可求得答案.【题目详解】（1）证明：连结四边形是菱形，，⊥平面，平面，，，平面，平面，平面，平面⊥平面.（2）解：解法一：设，四边形是菱形，，、为等边三角形，，是的中点，，⊥平面，，在中有，，，以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系如图所示，则所以，，设平面的法向量为，由得设，解得.设平面的法向量为，由得设，解得.设二面角的为，则结合图可知，二面角的余弦值为.解法二：∵EB⊥面ABCD，∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角在Rt△EAB中，cos∠EAB=又AB=2,∴AE=∴EB=DF=1连接AC交BD于O，连接EO、FO菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2矩形BEFD中，FO=EO=,EF=2,EO²+FO²=EF²,∴F