2024届浙江省杭州市北斗联盟数学高二第二学期期末统考试题含解析

2024届浙江省杭州市北斗联盟数学高二第二学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过点且与直线垂直的直线方程是（）A． B．C． D．2．已知x1+i=1-yi，其中x,y是实数，i是虚数单位，则x+yiA．1+2iB．1-2iC．2+iD．2-i3．已知函数满足，与函数图象的交点为，则=（）A．0 B． C． D．4．某校1000名学生中,型血有400人,型血有250人,型血有250人,型血有100人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个容量为60人的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则型血、型血、型血、型血的人要分别抽的人数为（）A．24,15,15,6 B．21,15,15,9 C．20,18,18,4 D．20,12,12,65．已知函数，，若关于的方程有6个不相等的实数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．函数的单调递减区间是（）A． B． C．， D．，7．双曲线的焦点坐标是A． B． C． D．8．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数和偶函数,使得函数是偶函数；命题2：存在函数、及区间，使得、在上均是增函数,但在上是减函数；命题3：存在函数、（定义域均为），使得、在处均取到最大值，但在处取到最小值.那么真命题的个数是()．A． B． C． D．9．在区间[0,2]上随机取两个数x，y，则xy∈[0,2]的概率是（）．A．1-ln22B．3-2ln10．设a∈R，则“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要11．曲线与直线及直线所围成的封闭图形的面积为()A． B． C． D．12．函数的图象在处的切线方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．复数的虚部为______．14．在区间上随机地取三个不同的整数,则“这三个数是一个钝角三角形的三边长”的概率为______．15．已知变量满足约束条件,则目标函数的最小值为__________．16．在空间四边形中，若分别是的中点，是上点，且，记，则_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）在复数范围内解方程；（2）已知复数z满足，且，求z的值.18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位．曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.19．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,直线的参数方程为,（为参数），圆的标准方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线和圆的极坐标方程；(2)若射线与直线的交点为,与圆的交点为,且点恰好为线段的中点,求的值.20．（12分）如图，在中，角所对的边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若点在边上，且是的平分线，，求的长.21．（12分）已知f(x)=ln（1）若a=1，求函数H(x)=f(x)-g(x)的单调区间；（2）若函数H(x)=f(x)-g(x)在其定义域上不单调，求实数a的取值范围；22．（10分）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

先求出所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简整理即得解.【题目详解】由题得直线的斜率为所以直线的方程为，即：故选B【题目点拨】本题主要考查相互垂直的直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2、D【解题分析】∵x1+i=x(1-i)3、B【解题分析】

由题意知函数的图象和函数的图象都关于直线对称，可知它们的交点也关于直线对称，于此可得出的值。【题目详解】设，由于，则函数的图象关于直线对称，且函数的图象也关于直线对称，所以，函数与函数的交点也关于直线对称，所以，，令，则，所以，，因此，，故选：B.【题目点拨】本题考查函数的交点坐标之和，考查函数图象的应用，抓住函数图象对称性是解题的关键，同时也要注意抽象函数关系与性质之间的关系，如下所示：（1），则函数的周期为；（2）或，则函数的对称轴为直线；（3），则函数的对称中心为.4、A【解题分析】

根据分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等可得出每种血型的人所抽的人数.【题目详解】根据分层抽样的特点可知，型血的人要抽取的人数为，型血的人要抽取的人数为，型血的人要抽取的人数为，型血的人要抽取的人数为，故答案为A.【题目点拨】本题考查分层抽样，考查分层抽样中每层样本容量，解题时要充分利用分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等来计算，考查计算能力，属于基础题．5、A【解题分析】令g(x)=t,则方程f(t)=λ的解有3个，由图象可得，0<λ<1.且三个解分别为，则，，均有两个不相等的实根，则△1>0,且△2>0,且△3>0，即16−4(2+5λ)>0且16−4(2+3λ)>0,解得，当0<λ<时,△3=16−4(1+4λ−)>0即3−4λ+>0恒成立，故λ的取值范围为(0,).故选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．6、A【解题分析】

函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以求出函数的定义域，再算出函数的导数，最后解不等式，可得出函数的单调减区间．【题目详解】解：因为函数，所以函数的定义域为，求出函数的导数：，；令，，解得，所以函数的单调减区间为故选：．【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于简单题，在做题时应该避免忽略函数的定义域而导致的错误．7、C【解题分析】分析：由题意求出，则，可得焦点坐标详解：由双曲线，可得，故双曲线的焦点坐标是选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.8、D【解题分析】对于命题1，取，，满足题意；对于命题2，取，，满足题意；对于命题3，取，，满足题意；即题中所给的三个命题均为真命题，真命题的个数是.本题选择D选项.9、C【解题分析】试题分析：由题意所有的基本事件满足0≤x≤20≤y≤2，所研究的事件满足0≤y≤2x，画出可行域如图，总的区域面积是一个边长为2的正方形，其面积为4，满足0≤y≤2x的区域的面积为考点：几何概型10、C【解题分析】

先由两直线平行解得a的值，再通过检验是否重合可得a=3，从而得两命题的关系.【题目详解】若直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行，可得：aa-1=2×3，解得当a=3时，两直线分别为：3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，满足平行；当a=-2时，两直线分别为：x-y+3=0和x-y+3=0，两直线重合；所以“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的充要条件.故选C.【题目点拨】本题主要考查了两直线平行求参数值的问题。已知两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为：已知l1:A1x+11、D【解题分析】联立曲线与两条直线的方程组成的方程组可得三个交点分别为，结合图形可得封闭图形的面积为，应选答案D．12、A【解题分析】

先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程.【题目详解】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）,由题得，所以切线方程为y+2=-1·(x-1),即：故选：A【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用复数的除法将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部.【题目详解】由复数的除法法则得，因此，复数的虚部为.故答案为.【题目点拨】本题考查复数虚部的求解，一般利用复数四则运算法则将复数表示为一般形式即可，考查计算能力，属于基础题.14、【解题分析】分析：由题意，从的六个数字中随机取出3个数，共有种方法，设三角形的三边分别为，列举其中满足的共有5种，利用古典概型概率的计算公式即可求解．详解：由题意，在区间中随机地取三个不同的整数，即从的六个数字中随机取出3个数，共有种方法，设三角形的三边分别为，其中满足的共有：，共有5种，所以概率为．点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中中正确理解题意，确定基本时间的额总数和得出事件中所包含的基本时间的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．15、4【解题分析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义和数形结合即可得到答案详解：作出不等式组对应的平面区域如图：由可得：平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最小，解得，即此时故目标函数的最小值为点睛：本题主要考查的知识点是线性规划的应用，画出可行域，转化目标函数，将其转化为几何意义，在轴的截距问题即可解答。16、【解题分析】

由条件可得【题目详解】因为，分别是的中点所以所以故答案为：【题目点拨】本题考查的是空间向量的线性运算，较简单.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或或；（2）4或.【解题分析】

（1）设代入方程利用复数相等的定义求解。（2）设代入和求解。【题目详解】（1）设，则，∴，解得：或或，∴或或。（2）设，则，，∴或。又，由解得（舍去）或，由，解得，综上，4或。【题目点拨】本题考查复数的运算，解题时可设代入已知条件，利用复数相等的定义转化为实数问题求解。18、（1）；;（2）【解题分析】

（1）消参数得的普通方程，根据得的直角坐标方程（2）根据直线与圆位置关系得最值.【题目详解】（1）因为，所以，即（2）因为圆心到直线距离为，所以点到直线距离的最大值为【题目点拨】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.19、（1）.（2）【解题分析】分析：（1）将直线的参数方程利用代入法消去参数，可得直线的直角坐标方程，利用，可得直线的极坐标方程，圆的标准方程转化为一般方程，两边同乘以利用利用互化公式可得圆的极坐标方程；（2）联立可得，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得，将代入，解方程即可得结果.详解：（1）在直线的参数方程中消去可得，，将，代入以上方程中，所以，直线的极坐标方程为.同理，圆的极坐标方程为.（2）在极坐标系中，由已知可设，，.联立可得，所以.因为点恰好为的中点，所以，即.把代入，得，所以.点睛：消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.20、(1)；(2).【解题分析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.21、（1）H(x)单增区间为(0,1)，单减区间为(1,+∞)（2）a>0【解题分析】

（1）求出导函数H'(x)，由H'(x)>0确定增区间，由H'(x)<0确定减区间；（2）H'(x)在定义域内有零点，且在零点两侧符号相反．由此可求参数a的取值范围．【题目详解】（1）定义域x∈(0,+∞)，∵a=1,H(x)=f(x)-g(x)=∴∴H(x)单增区间为(0,1)，单减区间为(1,+∞)（2）∵H(x)=∵H(x)在(0,+∞)上不单调.∴H'(x)=0H'(x)=0得∴2a>0即a>0【题目点拨】本题考查用导数研究函数的单调性．函数f(x)的导函