2024届山西省大同市铁路第一中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024届山西省大同市铁路第一中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．2．直线的斜率为（）A． B． C． D．3．已知ξ服从正态分布，a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件 D．充要条件4．名同学合影，站成了前排人，后排人，现摄影师要从后排人中抽人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为（）A． B． C． D．5．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．6．若直线和椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．7．已知函数，若集合中含有4个元素，则实数的取值范围是A． B． C． D．8．如图,阴影部分的面积是（）A． B． C． D．9．已知是定义在上的偶函数，且当时，都有成立，设，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．10．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()A． B． C． D．11．已知命题p：若复数，则“”是“”的充要条件；命题q：若函数可导，则“”是“x0是函数的极值点”的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．12．下列函数中，值域为的偶函数是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．二项展开式，两边对求导，得，令，可得，类比上述方法，则______．14．在直三棱柱中，.有下列条件：①；②；③.其中能成为的充要条件的是__________．（填上序号）15．下图所示的算法流程图中，输出的表达式为__________．16．如图是一个算法流程图，若输入值，则输出值为2的概率为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数，m为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)=．若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数，.（1）若，求的极值；（2）若恰有三个零点，求的取值范围.19．（12分）新高考最大的特点就是取消文理分科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全文（选择政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男生，女生各25人进行模拟选科.经统计，选择全文的人数比不选全文的人数少10人.（1）估计在男生中，选择全文的概率.（2）请完成下面的列联表；并估计有多大把握认为选择全文与性别有关，并说明理由；选择全文不选择全文合计男生5女生合计附：，其中.P（）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）如图，在极坐标系中，，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是线段，曲线是线段，曲线是弧.（1）分别写出，，，的极坐标方程；（2）曲线由，，，构成，若点，（），在上，则当时，求点的极坐标.21．（12分）设函数f（x）＝x2+bln（x+1），其中b≠1．（1）若b＝﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．22．（10分）如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由题意结合正态分布的对称性得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.【题目详解】随机变量服从正态分布，则正态分布的图象关于直线对称，结合有，解得：.本题选择C选项.【题目点拨】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.2、A【解题分析】

将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率．【题目详解】将直线方程化为斜截式可得，因此，该直线的斜率为，故选A．【题目点拨】本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法：（1）若直线的倾斜角为且不是直角，则直线的斜率；（2）已知直线上两点、，则该直线的斜率为；（3）直线的斜率为；（4）直线的斜率为.3、A【解题分析】试题分析：由，知．因为二项式展开式的通项公式为＝，令，得，所以其常数项为，解得，所以“”是“关于的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A．考点：1、正态分布；2、二项式定理；3、充分条件与必要条件．4、C【解题分析】分析：首先从后排的7人中选出2人，有C72种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A52，利用乘法原理可得结论．详解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有C72种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A52，∴不同的调整方法有C72A52，故选：C点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．5、A【解题分析】

先利用定积分计算阴影部分面积，再用阴影部分面积除以总面积得到答案.【题目详解】曲线分别是，的一部分则阴影部分面积为：总面积为：【题目点拨】本题考查了定积分，几何概型，意在考查学生的计算能力.6、B【解题分析】

根据椭圆1（b＞0）得出≠3，运用直线恒过（0，2），得出1，即可求解答案．【题目详解】椭圆1（b＞0）得出≠3，∵若直线∴直线恒过（0，2），∴1,解得，故实数的取值范围是故选：B【题目点拨】本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．7、D【解题分析】

先求出，解方程得直线与曲线在上从左到右的五个交点的横坐标分别为，再解不等式得解.【题目详解】.由题意，在上有四个不同的实根.令，得或，即或.直线与曲线在上从左到右的五个交点的横坐标分别为.据题意是，解得.故选D.【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.8、C【解题分析】由定积分的定义可得，阴影部分的面积为.本题选择C选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．9、B【解题分析】

通过可判断函数在上为增函数，再利用增函数的性质即可得到，，的大小关系.【题目详解】由于当时，都有成立，故在上为增函数，,,而，所以，故答案为B.【题目点拨】本题主要考查函数的性质，利用函数性质判断函数值大小，意在考查学生的转化能力，分析能力和计算能力，难度中等.10、A【解题分析】由函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，得0<a<1.y＝loga|x|在上为单调递减，排除B,C,D又因为y＝loga|x|为偶函数，函数图象关于y轴对称，故A正确.故选A.11、C【解题分析】

利用复数相等和函数极值点的概念可判断p，q的真假；利用真值表判断复合命题的真假．【题目详解】由复数相等的概念得到p：真；若函数可导，则“”是“x0是函数的极值点”是错误的，当是导函数的变号零点，即在这个点附近，导函数的值异号，此时才是极值点，故q：假，为真.∴由真值表知，为真，故选C．【题目点拨】本题考查真值表，复数相等的概念，求极值的方法．由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．12、C【解题分析】试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

依据类比推理观察式子的特点，可得，然后进行求导并对取特殊值，可得结果.【题目详解】，两边对求导，左边右边令，．故答案为：【题目点拨】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合，难点在于找到式子，属中档题.14、①③【解题分析】分析：由题意，对所给的三个条件，结合直三棱柱中，，作出如图的图象，借助图象对的充要条件进行研究.详解：若①，如图取分别是的中点，可得，由直三棱柱中，可得都垂直于侧面，由此知都垂直于线，又，所以平面，可得，又由是中点及直三棱柱的性质知，故可得，再结合垂直于线，可得面，故有，故①能成为的充要条件，同理③也可，对于条件②，若，可得面，，若，由此可得平面形，矛盾，故不为的充要条件，综上，①③符合题意，故答案为①③.点睛：本题主要考查直棱柱的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的性质，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.15、【解题分析】

根据流程图知当，满足条件，执行循环体，，依此类推，当，不满足条件，退出循环体，从而得到结论．【题目详解】，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，…依此类推，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环体，输出，故答案为．【题目点拨】本题主要考查了循环结构应用问题，此循环是先判断后循环，属于中档题．16、【解题分析】分析：先根据流程图确定分段函数解析式，再求输出值为2的对应区间，最后根据几何概型概率公式求结果.详解：因为，所以输出值为2的对应区间为[0,2],因此输出值为2的概率为点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、．【解题分析】分析：先求圆心C到直线l的距离d＝，再解不等式即得m的范围.详解：圆C的普通方程为(x－m)2＋y2＝1．直线l的极坐标方程化为ρ(cosθ＋sinθ)＝，即x＋y＝，化简得x＋y－2＝2．因为圆C的圆心为C(m，2)，半径为2，圆心C到直线l的距离d＝，所以d＝＜2，解得2－2＜m＜2＋2．点睛：(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)判断直线与圆的位置关系常用的是几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系：①②③18、（1）极大值为，极小值为.（2）【解题分析】分析：（1）若，则，，根据利用导数函数的极值的方法即可，（2），分类讨论，若恰有三个零点，则的极大值大于零，极小值小于零，即可求出的取值范围..详解：（1）若，则，，所以，当或时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以的极大值为，的极小值为.（2），当时，恒成立，在上单调递减，至多一个零点，不合题意；当时，令，则，所以，当或时，；当时，；所以在和单调递增，在单调递减，所以的极大值为，的极小值为.恰有三个零点，所以，所以，即；综上，的取值范围为.点睛：本小题考查导数与函数的单调性、极值，函数的零点等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等19、（1）；（2）列联表见解析，，理由见解析.【解题分析】

（1）利用古典概型概率公式求解即可；（2）由题先求得选择全文的有20人,不选全文的有30人,即可完成列联表,再代入公式求解,并与7.879比较即可.【题目详解】（1）由题中数据可知,男生总共25人,选择全文的5人,故选择全文的概率为（2）因为选择全文的人数比不选全文的人数少10人,男生、女生共有50人,所以选择全文的有20人,不选全文的有30人,由此完成列联表:选择全文不选择全文全计男生52025女生151025合计203050因为,所以至少有的把握认为选择全文与性别有关.【题目点拨】本题考查古典概型的概率,考查利用独立性检验解决实际问题,考查数据处理能力.20、（1）线的极坐标方程为：，的极坐标方程为：，，的极坐标方程分别为：，；（2），.【解题分析】

（1）在极坐标系下，在曲线上任取一点，直角三角形中，，曲线的极坐标方程为：，同理可得其他.（2）当时，，，当，，计算得到答案.【题目详解】（1）解法一：在极坐标系下，在曲线上任取一点，连接、，则在直角三角形中，，，，得：.所以曲线的极坐标方程为：又在曲线上任取一点，则在中，，，，，，由正弦定理得：，即：，化简得的极坐标方程为：同理可得曲线，的极坐标方程分别为：，解法二：（先写出直角坐标方程，再化成极坐标方程.）由题意可知，，，的直角坐标方程为：，，，，所以，，，的极坐标方程为：，，，（2）当时，，，当时，，，所以点的极坐标为，【题目点拨】本题考查了极坐标的计算，意在考查学生对于极坐标的理解和计算能力.21、（1）4﹣12ln2（2）【解题分析】

（1）当b＝﹣12时令由得x＝2则可判断出当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，2]时，f（x）单调递增故f（x）在[1，2]的最小值在x＝2时取得；（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值即f（x）在定义域内与X轴有三个不