山东省青岛经济开发区致远中学2024届数学高二下期末学业水平测试试题含解析

山东省青岛经济开发区致远中学2024届数学高二下期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题：，成立的一个充分但不必要条件为（）A． B．C． D．2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，203．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．34．双曲线x2A．y=±23x B．y=±45．函数在上的最小值和最大值分别是A． B． C． D．6．已知集合，则A． B．C． D．R7．已知是虚数单位，若复数满足，则的虚部为（）A．-1 B． C．1 D．-38．某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男生当选的人数记为，则的数学期望为（）A． B． C． D．9．设复数z满足，则z的共轭复数（）A． B． C． D．10．某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数，x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是()A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为1011．已知集合，若，则＝()A．或 B．或 C．或 D．或或12．对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．不等式的解集为________14．设为数列的前项和，，，则______.15．不等式的解为______．16．已知，是单位向量.若，则向量，夹角的取值范围是_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）有6本不同的书:(1)全部借给5人,每人至少1本,共有多少种不同的借法?(2)全部借给3人,每人至少1本,共有多少种不同的借法?18．（12分）如图，在四棱锥中，已知底面为菱形，，，为对角线与的交点，底面且（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19．（12分）若，求证：．20．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点.（1）求椭圆的标准方程以及的取值范围；（2）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形.21．（12分）（1）当时，求证：；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）设函数,（1）求函数的单调区间：（2）记的最小值为，求的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

命题p的充分不必要条件是命题p所成立的集合的真子集，利用二次函数的性质先求出p成立所对应的集合，即可求解．【题目详解】由题意，令是一个开口向上的二次函数，所以对x恒成立，只需要，解得，其中只有选项A是的真子集．故选A．【题目点拨】本题主要考查了充分不必要条件的应用，以及二次函数的性质的应用，其中解答中根据二次函数的性质，求得实数的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2、A【解题分析】

由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.【题目详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.3、D【解题分析】

因为线性回归方程=0.7x+0.35，过样本点的中心，，故选D.4、D【解题分析】

依据双曲线性质，即可求出。【题目详解】由双曲线x24-y29=1所以双曲线x24-y2【题目点拨】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线x2a2双曲线y2a25、A【解题分析】

求出f（x）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．【题目详解】函数，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）递减，在（，]递增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值分别是：．故选：A．【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题．6、D【解题分析】

先解出集合与，再利用集合的并集运算得出.【题目详解】，，，故选D.【题目点拨】本题考查集合的并集运算，在计算无限数集时，可利用数轴来强化理解，考查计算能力，属于基础题．7、D【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算可得z＝1﹣3i，从而可得答案．【题目详解】,∴复数z的虚部是-3故选：D【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．8、C【解题分析】分析：先写出的取值，再分别求的概率，最后求的数学期望.详解：由题得所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)离散型随机变量的数学期望9、B【解题分析】

算出，即可得.【题目详解】由得，，所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解.10、B【解题分析】分析：根据密度函数的特点可得：平均成绩及标准差，再结合正态曲线的对称性可得分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，从而即可选出答案.详解：密度函数，该市这次考试的数学平均成绩为80分该市这次考试的数学标准差为10，从图形上看，它关于直线对称，且50与110也关于直线对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.故选B.点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及利用几何图形的对称性求解.11、C【解题分析】或．故选C．点睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素元素的限制条件，明确集合的类型，是数集，是点集还是其它集合．2、求集合的交、交、补时，一般先化简，再由交、并、补的定义求解．3、在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．12、D【解题分析】

根据可画出满足题意的点所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【题目详解】由定义可知，若曲线为边长为的等边三角形，则满足题意的点构成如下图所示的阴影区域其中，，，，，，又又阴影区域面积为：即点集所表示的图形的面积为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可.【题目详解】由，得，解得故答案为.【题目点拨】本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力.14、4【解题分析】

由已知条件可判断出数列为等比数列，再由可求出首项，再令即可求出的值.【题目详解】，且，，即，则数列为等比数列且公比为，，，在中令得：故答案为：4【题目点拨】本题考查了已知的关系求数列通项，以及等比数列前项和公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.15、或或或【解题分析】

利用组合数公式得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的取值.【题目详解】，由组合数公式得，得，整理得，即，解得，由题意可知且，因此，不等式的解为或或或.故答案为：或或或.【题目点拨】本题考查组合不等式的求解，解题的关键就是利用组合数公式列出不等式，考查运算求解能力，属于中等题.16、【解题分析】

设向量、的夹角为，在不等式两边平方，利用数量积的运算律和定义求出的取值范围，于此可求出的取值范围．【题目详解】设向量、的夹角为，，两边平方得，、都是单位向量，则有，得，，，因此，向量、的夹角的取值范围是，故答案为．【题目点拨】本题考查平面数量积的运算，考查平面向量夹角的取值范围，在涉及平面向量模有关的计算时，常将等式或不等式进行平方，结合数量积的定义和运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1800；（2）540【解题分析】分析：（1）将6本书中某两本书合在一起组成5份,借给5人,即可得到答案；（2）将6本书分成三份有3种分法，第一种是一人4本，一人1本，一人1本；第二种是一人3本，一人2本，一人1本；第三种是每人各2本；然后再将分好的三份借给3人即可.详解：(1)将6本书中某两本书合在一起组成5份,借给5人,共有=1800种借法.(2)将6本书分成三份有3种分法.第一种是一人4本,一人1本,一人1本;第二种是一人3本,一人2本,一人1本;第三种是每人各2本;然后再将分好的三份借给3人,有=540种借法.点睛：分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．18、（1）；（2）【解题分析】

根据底面为菱形得，利用线面垂直的性质可得，，从而以为坐标原点建立空间直角坐标系；（1）利用异面直线所成角的空间向量求法可求得结果；（2）分别得到两个平面的法向量，根据二面角的空间向量求法可求得结果.【题目详解】底面为菱形又底面，底面，以为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系则，，，（1）设为异面直线与所成的角，又，异面直线与所成的角的余弦值为：（2）平面平面的法向量取设平面的法向量为，又，则，令，则，设为两个平面所成的锐二面角的平面角，则：平面与平面所成锐二面角的余弦值为：【题目点拨】本题考查利用空间向量法求解角度问题，涉及到异面直线所成角、平面与平面所成角的求解问题，考查学生的运算和求解能力，属于常规题型.19、见解析【解题分析】

引入函数，展开，其中，，是整数，，注意说明的唯一性，这样有，，然后计算即可.【题目详解】证明：因为，所以，由题意，首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的．假设，则，而，矛盾。所以满足条件的是唯一的．下面我们求及的值：因为，显然．又因为，故，即．所以令，，则，，又，所以．【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，解题关键是引入函数，展开，其中，，是整数，，于是可表示出.本题有一定的难度.20、（1）（2）见解析.【解题分析】（1）设椭圆方程为则∴椭圆方程∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m又∴l的方程为：由∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴m的取值范围是（2）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可设可得而∴k1＋k2=0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.点睛：解答本题的第一问是，直接依据题设条件建立含方程组，通过解方程组求出基本量，进而确定椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助交点的个数建立不等式求出参数的取值范围；求解第二问时，依据题意先将问题转化为证明直线的斜率之和为0的问题来处理，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助坐标之间的关系进行推证而获解．21、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）根据不等式的特征，分，，，构造，研究其单调性即可.（2）将当时，恒成立，转化为时，恒成立，当时，显然成立，当且时，转化为，，利用（1）的结论求解.【题目详解】（1）当时，原不等式左边与右边相等，当时，原不等式，等价于，令，所以，所以在上递增，，所以，当时，原不等式，等价于，令，所以，所以在上递增，，所以，综上：当时，；（2）因为当时，恒成立，所以当时，恒成立，当时，显然成立，当且时，恒成立，由（1）知当且时，，所以，所以.实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查导数于函数的单调性研究不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的