2024届湖南长沙县三中高二数学第二学期期末经典试题含解析

2024届湖南长沙县三中高二数学第二学期期末经典试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设命题，，则为（）A．， B．，C．， D．，2．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高（单位：）与体重（单位：）数据如下表：1651651571701751651551704857505464614359若已知与的线性回归方程为，那么选取的女大学生身高为时，相应的残差为（）A． B．0.96 C．63.04 D．3．由曲线xy=1，直线y=x,x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为（）A．116B．92C．14．集合，则（）A． B． C． D．5．已知，，，若、、三向量共面，则实数等于（）A． B． C． D．6．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为A．0.24 B．0.26 C．0.288 D．0.2927．在复平面内，复数(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．（）A．＋2 B．＋4 C．＋2 D．＋49．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数=（）A．2 B．3 C．4 D．610．袋中有大小和形状都相同的个白球、个黑球，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是（）A． B． C． D．11．已知三个正态分布密度函数（,）的图象如图所示则（）A．B．C．D．12．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．5，10，15，20，25B．2，4，8，16，32C．1，2，3，4，5D．7，17，27，37，47二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设随机变量ξ服从二项分布，则等于__________14．若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．15．若＝，则x的值为_______．16．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（log23）＝_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数的最小值为.（1）求的值；（2）若不等式恒成立，求的取值范围.18．（12分）已知数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：.19．（12分）随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.（1）根据已有数据，完成下列列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取4人，记经常使用网络搜题的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据：20．（12分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，过点且倾斜角为的直线与交于不同的两点.（1）求曲线的普通方程；（2）求的中点的轨迹的参数方程（以为参数）.21．（12分）已知函数.(Ⅰ)当时,解不等式;(Ⅱ)若,对任意都有恒成立,求实数的取值范围.22．（10分）已知集合，．(1)分别求，；(2)已知集合，若，求实数a的取值集合．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.【题目详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，.故选：.【题目点拨】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.2、B【解题分析】

将175代入线性回归方程计算理论值，实际数值减去理论数值得到答案.【题目详解】已知与的线性回归方程为当时：相应的残差为：故答案选B【题目点拨】本题考查了残差的计算，意在考查学生的计算能力.3、C【解题分析】试题分析：由题意得，由xy=1和y=x，解得交点坐标为(1,1)，所以围成的封闭图形的面积S==(1考点：定积分求解曲边形的面积．4、B【解题分析】,，故选B.5、C【解题分析】

由题知，、、三个向量共面,则存在常数，使得，由此能求出结果.【题目详解】因为，，，且、、三个向量共面,所以存在使得.所以，所以，解得.故选:C.【题目点拨】本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算.6、C【解题分析】

首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率.【题目详解】因为摸一次球，是白球的概率是，不是白球的概率是，所以，故选C.【题目点拨】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.7、D【解题分析】分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可.详解：由复数的运算法则有：，则，其对应的点位于第四象限.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、A【解题分析】

根据题意，先利用定积分性质可得，，然后利用微积分基本定理计算，利用定积分的几何意义计算，即可求出答案。【题目详解】因为，，，所以，故选A。【题目点拨】本题主要考查利用定积分的性质、几何意义以及微积分基本定理计算定积分。9、B【解题分析】

先阅读理解题意，再结合题意类比推理可得：设，解得，得解．【题目详解】解：依题意可设，解得，故选：．【题目点拨】本题考查类比推理，属于基础题．10、D【解题分析】

分别计算第一次取到白球的概率和第一次取到白球且第二次取到白球的概率，根据条件概率公式求得结果.【题目详解】记“第一次取到白球”为事件，则记“第一次取到白球且第二次取到白球”为事件，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率：本题正确选项：【题目点拨】本题考查条件概率的求解问题，易错点是忽略抽取方式为不放回的抽取，错误的认为每次抽到白球均为等可能事件.11、D【解题分析】

正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【题目详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为，则对应的函数的图像的对称轴为：，∵正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等故选D．【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．12、D【解题分析】此题考查系统抽样系统抽样的间隔为：k=50答案D点评：掌握系统抽样的过程二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用独立重复试验的概率计算出、、、，再将这些相加可得出.【题目详解】由于，所以，，，，，因此，，故答案为：.【题目点拨】本题考查二项分布独立重复试验的概率，解这类问题要注意将基本事件列举出来，关键在于灵活利用独立重复试验的概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。14、【解题分析】

由题，“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，可得答案.【题目详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以，故答案为.【题目点拨】本题考查了不要不充分条件，属于基础题.15、4或9.【解题分析】分析：先根据组合数性质得，解方程得结果详解：因为＝，所以因此点睛：组合数性质：16、【解题分析】

利用周期及奇偶性可将f（log23）化为，而，则答案可求．【题目详解】∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上周期为2的偶函数，∴f（log23）＝f（﹣log23）＝f（﹣log23+2），∵，且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，∴．故答案为：．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性及周期性的应用，考查指数及对数的运算，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】分析：（1）分类讨论的取值情况，去绝对值；根据最小值确定的值．（2）代入的值，由绝对值不等式确定表达式；去绝对值解不等式即可得到最后取值范围．详解：（1），所以最小值为，即.（2）由（1）知，恒成立，由于，等号当且仅当时成立，故，解得或.所以的取值范围为.点睛：本题综合考查了分类讨论解绝对值不等式，根据绝对值不等式成立条件确定参数的范围，属于中档题．18、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】试题分析：(1)由时，利用，结合等差数列的定义和通项公式即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，运用裂项相消法求和，化简整理，然后利用放缩法可证明.试题解析：(1)当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-=2n+1.当n=1时,也符合上式,故an=2n+1.(2)因为==,故Tn==【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19、（1）列表见解析，在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关；（2）分布列见解析，【解题分析】

（1）根据样本频数分布表的数据即可完成列联表，再利用列联表求出观测值，根据独立性检验的思想解求解.（2）根据二项分布求出随机变量的概率，列出分布列即可求解.【题目详解】（1）由题意得：经常使用网络搜题偶尔或不用网络搜题合计男生222850女生381250合计6040100∵∴在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关.（2）依题意，.；.的分布列为：01234【题目点拨】本题考查了独立性检验的基本思想、二项分布以及数学期望，属于基础题.20、（1）（2）（为参数，）.【解题分析】

（1）根据变换原则可得，代入曲线的方程整理可得的方程；（2）写出直线的参数方程，根据与曲线有两个不同交点可确定倾斜角的范围；利用直线参数方程中参数的几何意义和韦达定理得到，求得后，代入直线参数方程后即可得到所求的参数方程.【题目详解】（1）由得：，代入得：，的普通方程为.（2）由题意得：的参数方程为：（为参数）与交于不同的两点，即有两个不等实根，即有两个不等实根，，解得：.设对应的参数分别为，则，且满足，则，.又点的坐标满足的轨迹的参数方程为：（为参数，）.【题目点拨】本题考查根据坐标变换求解曲线方程、动点轨迹方程的求解问题；求解动点轨迹的关键是能够充分利用直线参数方程中参数的几何意义，结合韦达定理的形式求得直线上的动点所对应的参数，进而代入直线参数方程求得结果.21、(Ⅰ)(−∞,−5)∪（1,+∞)；(Ⅱ)(0,6]【解题分析】

(Ⅰ)由题知当a=−1时,不等式等价于|x+3|+|x+1|>6，根据绝对值的几何意义能求出不等式的解集．

(Ⅱ)由,对任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可，转化成函数最值问题建立不等关系式，由此能求出a的取值范围．【题目详解】(Ⅰ)∵函数，∴当a=−1时,不等式等价于|x+3|+|x+1|>6，根据绝对值的几何意义：|x+3|+|x+1|>6可以看作数轴上的点x到点−3和点−1的距离之和大于6，则点x到点−3和点−1的中点O的距离大于3即可，∴点x在−5或其左边及1或其右边，即x<−5或x>1.∴不等式的解集为(−∞,−5)∪（1,+∞).(Ⅱ)∵,对任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可.由可得，，设，根据二次函数性质，，∴，解得，又，∴∴a的取值范围是(0,6].【题目点拨】本题考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法：(1)数形结合:利用绝对值不等式的几何意义[即(x,0)到(a,0)与(b,0)的距离之和]求解.(2)分类讨论:利