2024届河南省中原名校、大连市、赤峰市部分学校数学高二下期末统考试题含解析

2024届河南省中原名校、大连市、赤峰市部分学校数学高二下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，其中为自然对数的底数，则对任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．2．设i是虚数单位，复数a+i1+i为纯虚数，则实数a的值为A．-1B．1C．-2D．23．圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是()A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm4．已知命题：“，有成立”，则命题为（）A．，有成立 B．，有成立C．，有成立 D．，有成立5．展开式中常数项为()A． B． C． D．6．已知函数则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是()A．[0，1) B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)7．已知定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数，使不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为A． B． C．或 D．或9．双曲线x2A．23 B．2 C．3 D．10．已知变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为A．7 B．8 C．9 D．1011．计算的值是（）A．72 B．102 C．5070 D．510012．已知，，，，且满足，，，对于，，，四个数的判断，给出下列四个命题：①至少有一个数大于1；②至多有一个数大于1；③至少有一个数小于0；④至多有一个数小于0.其中真命题的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且至少有一个数字是奇数的三位偶数，这样的三位数一共有______个.14．若两个正实数满足，则的最小值为________.15．如图，以长方体的顶底为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________16．设离散型随机变量的概率分布如下：则的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数），设点．(Ⅰ)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；(Ⅱ)设直线与曲线相交于两点，求的值．18．（12分）在件产品中，有件正品，件次品，从这件产品中任意抽取件.（1）共有多少种不同的抽法？（2）抽出的件中恰有件次品的抽法有多少种？（3）抽出的件中至少有件次品的抽法有多少种？19．（12分）（1）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？（2）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（t为参数，且t＞0），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求曲线M与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．21．（12分）为了纪念国庆70周年,学校决定举办班级黑板报主题设计大赛,高二某班的同学将班级长米、宽米的黑板做如图所示的区域划分:取中点,连接,以为对称轴,过两点作一抛物线弧,在抛物线弧上取一点,作垂足为,作交于点.在四边形内设计主题,其余区域用于文字排版,设的长度为米.(1)求长度的表达式,并写出定义域；(2)设四边形面积为,求当为何值时,取最大值,最大为多少平方米?22．（10分）甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

，可得在上是偶函数.函数，利用导数研究函数的单调性即可得出结果.【题目详解】解：，在上是偶函数.函数，，令，则，函数在上单调递增，，函数在上单调递增.，，.故选：A.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.2、A【解题分析】a+i1+i=(a+i)(1-i)3、C【解题分析】

设出球的半径，根据题意得三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，结合体积公式求解即可．【题目详解】设球半径为，则由，可得，解得，故选C.【题目点拨】本题主要考查了几何体的体积公式的应用，考查学生空间想象能力以及计算能力，是基础题．4、B【解题分析】

特称命题的否定是全称命题。【题目详解】特称命题的否定是全称命题，所以，有成立的否定是，有成立，故选B.【题目点拨】本题考查特称命题的否定命题，属于基础题。5、D【解题分析】

求出展开式的通项公式，然后进行化简，最后让的指数为零，最后求出常数项.【题目详解】解:，令得展开式中常数项为，故选D.【题目点拨】本题考查了求二项式展开式中常数项问题，运用二项式展开式的通项公式是解题的关键.6、D【解题分析】试题分析：函数的零点就是方程的根，作出的图象，观察它与直线的交点，得知当时，或时有交点，即函数有零点.考点：函数的零点．点评：本题充分体现了数形结合的数学思想．函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点，做题时注意三者之间的等价转化．7、C【解题分析】

对函数求导，分别求出和的值，得到，利用导数得函数的最小值为1，把存在实数，使不等式对于任意恒成立的问题转化为对于任意恒成立，分离参数，分类讨论大于零，等于零，小于零的情况，从而得到的取值范围。【题目详解】由题可得，分别把和代入与中得到，解得：；，，即当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；要存在实数，使不等式对于任意恒成立，则不等式对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立；（1）当时，显然不等式不成立，舍去；（2）当时，不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立，即，解得：；（3）当时，不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立，即，解得：；综述所述，实数的取值范围是故答案选C【题目点拨】本题考查函数解析式的求法，利用导数求函数最小值，分类参数法，考查学生转化的思想，分类讨论的能力，属于中档题。8、C【解题分析】分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB，求出AB的长，圆心到直线y=﹣x+a的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到实数a的值．详解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，又圆心坐标为（0，0），半径R=1，∴AB=.∴圆心到直线y=﹣x+a的距离d=AB==，∴|a|=1，∴a=±1．故答案为C．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.9、A【解题分析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为b，所以距离为b=23考点：双曲线与渐近线．10、C【解题分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得答案．【题目详解】作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，有最大值为9，故选．【题目点拨】本题主要考查简单的线性规划问题的解法。11、B【解题分析】

根据组合数和排列数计算公式，计算出表达式的值.【题目详解】依题意，原式，故选B.【题目点拨】本小题主要考查组合数和排列数的计算，属于基础题.12、A【解题分析】

根据对，，，取特殊值，可得②，④不对，以及使用反证法，可得结果.【题目详解】当，时，满足条件，故②，④为假命题；假设，由，，得，则，由，所以矛盾，故①为真命题，同理③为真命题．故选：A【题目点拨】本题主要考查反证法，正所谓“正难则反”，熟练掌握反证法的证明方法，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、54【解题分析】

运用排列组合，先求出偶数的可能一共有多少个，然后减去三个数字都是偶数的情况【题目详解】当个位是偶数的时候共有种可能三个数字都是偶数时，有种可能则满足题意的三位数共有种故答案为【题目点拨】本题考查了排列组合的数字的排序问题，只要按照题目要求进行分类求出一共的情况，然后减去不符合情况即可得出结果14、8【解题分析】试题分析：由（当且仅当即时等号成立）.考点：基本不等式.15、【解题分析】

根据的坐标，求的坐标，确定长方体的各边长度，再求的坐标.【题目详解】点的坐标是，，，，，故答案为:.【题目点拨】本题考查向量坐标的求法，意在考查基本概念和基础知识，属于简单题型.16、【解题分析】分析：离散型随机变量的概率之和为1详解：解得：。点睛：离散型随机变量的概率之和为1，是分布列的性质。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：，直线的参数方程化为普通方程为：（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）利用两角和的余弦公式化简曲线的极坐标方程，然后两边乘以转化为直角坐标方程.利用加减消元法消掉参数，求得直线的普通方程.(Ⅱ)写出直线标准的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，化简后根据直线参数方程的几何意义，求得的值.【题目详解】解：(Ⅰ)曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：，即；直线的参数方程化为普通方程为：．(Ⅱ)直线的参数方程化为标准形式为，①将①式代入，得：，②由题意得方程②有两个不同的根，设是方程②的两个根，由直线参数方程的几何意义知：．【题目点拨】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查参数方程转化为普通方程，考查直线标准参数方程的求法，考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.18、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）从这件产品中任意抽出件，是组合问题，利用组合数的定义可得出结果；（2）抽出的件中恰好有件次品是指件正品，件次品，利用组合计数原理和分步计数原理可得出结果；（3）在件产品中任意抽出件的抽法种数减去件产品全是正品的抽法种数，用间接法求解．【题目详解】（1）从这件产品中任意抽出件，共有种不同的抽法；（2）抽出的件中恰好有件次品的抽法，是指件正品，件次品，有种不同的抽法；（3）抽出的件中至少有件次品的抽法种数，可以在件产品中任意抽出件的抽法种数减去件产品全是正品的抽法种数，因此，共有种不同的抽法.【题目点拨】本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．19、（1）64；（2）36【解题分析】

（1）根据题意，分析可得3个小球，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步分析：①，将3个小球分成2组，②，在4个盒子中任选2个，分别放入分好组的两组小球，由分步计数原理计算可得答案．【题目详解】（1）根据题意，3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则3个小球有种不同的放法；（2）根据题意，分2步分析：①将3个小球分成2组，有种分组方法，②在4个盒子中任选2个，分别放入分好组的两组小球，有种选法，则恰有2个空盒的放法有种．【题目点拨】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20、（1）曲线的普通方程为（或）曲线的直角坐标方程为.（2）交点极坐标为.【解题分析】

（1）先求出，再代入消元将曲线的参数方程化为普通方程，根据将，，.曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求曲线与曲线交点的直角坐标，再化为极坐标.（1）∵，∴，即，又，∴，∴或，∴曲线的普通方程为（或）.∵，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为.（2）由得，∴（舍去），，则交点的直角坐标为，极坐标为.【题目点拨】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互