浙江省嘉兴市南湖区第一中学2024届数学高二下期末达标测试试题含解析

浙江省嘉兴市南湖区第一中学2024届数学高二下期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，若，则x的值为（）A． B． C． D．2．下列函数中既是奇函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．y＝ B．y＝x2+1 C．y＝ D．y＝3．已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A）若，垂直于同一平面，则与平行（B）若，平行于同一平面，则与平行（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面4．函数的图象可能是（）A． B．C． D．5．设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若，则，）A．7539 B．7028 C．6587 D．60386．已知顶点在轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为（）A． B． C． D．7．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A．60 B．48 C．36 D．248．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则9．已知复数z满足，则复数等于()A． B． C． D．i10．在复平面内，复数，则对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知随机变量的取值为，若，，则（）A． B． C． D．12．设椭机变量X～N(3,1)，若P(X＞4)＝p，则P(2＜X＜4)＝A．＋p B．1－p C．1－2p D．－p二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设随机变量，且，则实数的值为_______.14．设某弹簧的弹力与伸长量间的关系为，将该弹簧由平衡位置拉长,则弹力所做的功为_______焦.15．已知函数，则函数的最大值为__________．16．用0，1，2，3，4可以组成_______个无重复数字五位数.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在正四棱锥P-BCD中，正方形ABCD的边长为32，高OP=6，E是侧棱PD上的点且PE=13PD，F是侧棱PA上的点且PF=12(1)求平面EFG的一个法向量n；(2)求直线AG与平面EFG所成角θ的大小；(3)求点A到平面EFG的距离d．18．（12分）如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函数.（1）解关于的不等式；（2）对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知复数，(其中是虚数单位).(1)当为实数时，求实数的值；(2)当时，求的取值范围.21．（12分）已知函数（1）计算；（2）若在上单调递减，求实数的范围22．（10分）已知函数，.（1）若在区间上单调，求的取值范围；（2）设，求证：时，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】此题考查向量的数量积解：因为，所以选D.答案：D2、A【解题分析】

由函数的奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可得到符合题意的函数．【题目详解】对于A，y＝f（x）＝2x﹣2﹣x定义域为R，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，当x＜0时，由y＝2x，y＝﹣2﹣x递增，可得在区间（﹣∞，0）上f（x）单调递增，故A正确；y＝f（x）＝x2+1满足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，故B不满足条件；y＝f（x）＝（）|x|满足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，故C不满足题意；y为奇函数，且在区间（﹣∞，0）上f（x）单调递减，故D不满足题意．故选：A．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的奇偶性和单调性，考查判断能力，属于基础题．3、D【解题分析】由，若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故不正确；由，若，平行于同一平面，则，可以平行、重合、相交、异面，故不正确；由，若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线；由项，其逆否命题为“若与垂直于同一平面，则，平行”是真命题，故项正确.所以选D.考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.4、A【解题分析】

求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.【题目详解】解：当时，，则，若，，，若，，，则恒成立，即当时，恒成立，则在上单调递减，

故选：A.【题目点拨】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.5、C【解题分析】

由题意正方形的面积为，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为又由随机变量服从正态分布，所以正态分布密度曲线关于对称，且，又由，即，所以阴影部分的面积为，由面积比的几何概型可得概率为，所以落入阴影部分的点的个数的估计值是，故选C．【题目点拨】本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6、C【解题分析】

由双曲线实轴长为4可知由渐近线方程，可得到然后利用即可得到焦点坐标．【题目详解】由双曲线实轴长为4可知由渐近线方程，可得到即所以又双曲线顶点在轴上，所以焦点坐标为．【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题．7、D【解题分析】

由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为，得解．【题目详解】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为，故选：D．【题目点拨】本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题．8、C【解题分析】

根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断．【题目详解】对于A选项，若，，则与平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；对于B选项，若，且，，，根据直线与平面平行的判定定理知，，，但与不平行；对于C选项，若，，在平面内可找到两条相交直线、使得，，于是可得出，，根据直线与平面垂直的判定定理可得；对于D选项，若，在平面内可找到一条直线与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知，只有当时，才与平面垂直．故选C．【题目点拨】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．9、D【解题分析】

把给出的等式通过复数的乘除运算化简后,直接利用共轭复数的定义即可得解.【题目详解】,,.故选:D.【题目点拨】本题考查了复数的代数形式的乘除运算,考查共扼复数,是基础题.10、A【解题分析】

化简复数，计算，再计算对应点的象限.【题目详解】复数对应点为：故答案选A【题目点拨】本题考查了复数的计算，共轭复数，复数对应点象限，意在考查学生的计算能力.11、C【解题分析】

设，，则由，，列出方程组，求出，，即可求得．【题目详解】设，，①，又②由①②得，，，故选：C.【题目点拨】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12、C【解题分析】分析：根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由P（X＞4）=p的概率可求出P（2＜X＜4）．详解：∵随机变量X～N（3，1），观察图得，P（2＜X＜4）=1﹣2P（X＞4）=1﹣2p．故选：C．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

随机变量的正态曲线关于对称，即0与关于对称，解出即可。【题目详解】根据题意有故填9【题目点拨】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的几何意义，属于基础题。14、【解题分析】

用力沿着力的方向移动，则所做的功为，代入数据求得结果.【题目详解】弹力所做的功为：焦本题正确结果：【题目点拨】本题考查函数值的求解，关键是能够明确弹力做功的公式，属于基础题.15、【解题分析】

对求导，然后令，判断的单调性，再根据的值确定函数的最大值．【题目详解】，，令，，，令，则，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在，上单调递增，函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，当，即，时，，函数的最大值为．故答案为．【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值和三角函数求值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．16、96【解题分析】

利用乘法原理，即可求出结果．【题目详解】用0、1、2、3、4组成一个无重复数字的五位数共有4×4×3×2×1=96种不同情况,故选：A．【题目点拨】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）n=(0,1，2)（2）直线AG与平面EFG所成角θ=arcsin（3）6【解题分析】

(1)建立空间直角坐标系，求出EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，-2)，设平面EFG的一个法向量n=(x,y，z)，由n⋅EF(2)求出AG=(-8,2，2)，由sinθ=|cos<AG,n(3)求出EA=(6,2，-4)，由点A到平面EFG的距离d=【题目详解】(1)∵在正四棱锥P-BCD中，正方形ABCD的边长为32，高OP=6E是侧棱PD上的点且PE=13PD，F是侧棱PAG是△PBC的重心.如图建立空间直角坐标系．∴D(0,-6,0)，P(0,0，6)，E(0,-2,4)，A(6,0，0)，B(0,6，0)，C(-6,0，0)，G(-2,2，2)，EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，设平面EFG的一个法向量n=(x,y，z)则n⋅EF=3x+2y-z=0平面EFG的一个法向量n=(0,1，2)(2)AG=(-8,2，则sinθ=|∴直线AG与平面EFG所成角θ=arcsin(3)EA=(6,2，∴点A到平面EFG的距离d=|【题目点拨】本题主要考查了平面的法向量、线面角、点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系及数形结合思想，属于中档题．18、（1）见解析（2）【解题分析】分析：（1）通过取AD中点M，连接CM，利用，得到直角；再利用可得；而,DE平面ADEF，所以可得面面垂直．（2）以AD中点O建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面CAE与直线BE向量，根据直线与法向量的夹角即可求得直线与平面夹角的正弦值．详解：（1）证明：取的中点，连接，，，由四边形为平行四边形，可知，在中，有，∴.又，，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知平面平面，如图，取的中点为，建立空间直角坐标系，，，，，，，.设平面的法向量，则，即，不妨令，得.故直线与平面所成角的正弦值.点睛：本题考查了空间几何体面面垂直的综合应用，利用法向量法求线面夹角的正弦值，关键注意计算要准确，属于中档题．19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由题意，分类讨论即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出，利用基本不等式求出，利用恒成立问题的解决办法即可得解.【题目详解】（1）由题意，则不等式可转化为或或，整理可得，故不等式的解集为.（2）由于，当时，等号成立；而，当且仅当，即，时，等号成立.要使不等式恒成立，则，解得，实数的取值范围为.【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式和基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于中档题.20、(1)1；(2).【解题分析】试题分析：(1)整理计算，满足题意时，，即.(2)由题意结合复数的模的定义和二次函数的性质可得的取值范围是.试题解析：(1)，所以，当为实数时，，即.(2)因为，所以，又因为，所以当时，，当时，.所以.21、（1）（2）【解题分析】

（1）直接求导得到答案.（2）在上恒成立，即恒成立，得到答案