四川绵阳中学2024届高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

四川绵阳中学2024届高二数学第二学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是()A．110 B．19 C．12．已知等比数列满足，，则（）A．7 B．14 C．21 D．263．已知，则的值是A． B． C． D．4．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是（是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（）A．8万斤 B．6万斤 C．3万斤 D．5万斤5．曲线在点处的切线斜率为（）A． B． C． D．6．双曲线x2A．y=±23x B．y=±47．若满足约束条件则的最大值为（）A．5 B． C．4 D．38．设，且，若能被100整除，则等于（）A．19 B．91 C．18 D．819．某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．720种 B．600种 C．360种 D．300种10．已知为正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知椭圆的左焦点为A． B． C． D．12．在平行四边形中，为线段的中点，若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．_____14．复数（是虚数单位）的虚部是_________15．已知点在函数的图象上，点，在函数的图象上，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，且点，的纵坐标相同，则点的横坐标的值为______.16．若函数且是偶函数，则函数的值域为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求证：．18．（12分）已知集合=，集合=.（1）若，求；（2）若AB，求实数的取值范围.19．（12分）已知数列，其前项和为；（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.20．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且DE＝，平面ABCD⊥平面ADE，∠ADE＝30°（1）求证：AE⊥平面CDE；（2）求AB与平面BCE所成角的正弦值.21．（12分）已知函数（1）试讨论在极值点的个数；（2）若函数的两个极值点为，且，为的导函数，设，求实数的取值范围．22．（10分）已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点,设1)证明：PE⊥BC；2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

分别计算每个销量对应的利润，选出日利润不少于96元的天数，再利用排列组合公式求解.【题目详解】当x=18时：y=18×5=90当x=19时：y=19×5=95当x=20时：y=19×5+1=96当x=21时：y=19×5+2=97日利润不少于96元共有5天，2天日利润是97元故P=C故答案选A【题目点拨】本题考查了频率直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力.2、B【解题分析】

根据等比数列的通项公式可求出公比，即可求解.【题目详解】因为，可解的，所以，故选B.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题.3、D【解题分析】，,又,故选D.4、B【解题分析】

销售的利润为，利用可得，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.【题目详解】设销售的利润为，由题意，得，即，当时，，解得，故，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大，故选B.【题目点拨】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．5、C【解题分析】分析：先求函数的导数，因为函数图象在点处的切线的斜率为函数在处的导数，就可求出切线的斜率．详解：∴函数图象在点处的切线的斜率为1．

故选：C．点睛：本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属基础题．6、D【解题分析】

依据双曲线性质，即可求出。【题目详解】由双曲线x24-y29=1所以双曲线x24-y2【题目点拨】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线x2a2双曲线y2a27、A【解题分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【题目详解】由约束条件作出可行域如图，

联立，可得，

化目标函数为，

由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．

故选：A．【题目点拨】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8、A【解题分析】

将化为，根据二巷展开式展开后再根据余数的情况进行分析后可得所求．【题目详解】由题意得，其中能被100整除，所以要使能被100整除，只需要能被100整除．结合题意可得，当时，能被100整除．故选A．【题目点拨】整除问题是二项式定理中的应用问题，解答整除问题时要关注展开式的最后几项，本题考查二项展开式的应用，属于中档题．9、D【解题分析】

根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案．【题目详解】解：根据题意，分2步进行分析：将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有种情况，②5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况，则有60×5＝300种不同的顺序，故选D．【题目点拨】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10、A【解题分析】

根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【题目详解】①当时，满足，但不成立，即必要性不成立，②若，则，即，即故，成立，即充分性成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【题目点拨】本题主要考查了判断必要不充分条件，解题关键是掌握判断充分条件和必要条件的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.11、B【解题分析】

代入得，解得,由此可得三角形ABF为直角三角形．OF=5，即c=5.由椭圆为中心对称图形可知当右焦点为时，,【考点定位】本题考查椭圆定义，解三角形相关知识以及椭圆的几何性质．12、B【解题分析】分析：利用向量的平行四边形法则，向量共线定理即可得出.详解：，，故选：B.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据积分运算法则求，前者利用公式求解，后者所表示的几何意义是以为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，求出圆的面积乘以四分之一，两者结果做和即可得解．【题目详解】解：，由表示以为圆心，2为半径的圆面积的，∴，，∴，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．14、【解题分析】

根据复数的结果，直接判断出其虚部是多少.【题目详解】因为，所以复数的虚部为.故答案为：.【题目点拨】本题考查复数的虚部的辨别，难度容易.已知复数，则为复数的实部，为复数的虚部.15、【解题分析】

根据题意，设B的坐标为，结合题意分析可得A、C的坐标，进而可得的直角边长为2，据此可得，即，计算可得m的值，即可得答案．【题目详解】根据题意，设B的坐标为，如图：

又由是以A为直角顶点的等腰直角三角形且点A，C的纵坐标相同，

则A、B的横坐标相同，故A的坐标为，C的坐标为，

等腰直角三角形的直角边长为2，

则有，即，

解可得，故答案为：【题目点拨】本题主要考查指数函数性质以及函数值的计算，属于中档题．16、【解题分析】

根据函数为偶函数可构造方程求得，利用基本不等式可求得函数的最小值，从而得到函数值域.【题目详解】由为偶函数可得：即，解得：（当且仅当，即时取等号），即的值域为：本题正确结果：【题目点拨】本题考查函数值域的求解，关键是能够通过函数的奇偶性求得函数的解析式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析；(2)证明见解析【解题分析】

（1）由f（x）含有参数a，单调性和a的取值有关，通过分类讨论说明导函数的正负，进而得到结论；（2）法一：将已知变形，对a分类讨论研究的正负，当与时，通过单调性可直接说明，当时，可得g（x）的最大值为,利用导数解得结论．法二：分析时，且使得已知不成立；当时，利用分离变量法求解证明.【题目详解】（1），①当时，由得，得，所以在上单调递增；②当时，由得，解得，所以在上单调递增，在在上单调递减；（2）法一：由得（*），设，则，①当时，，所以在上单调递增，，可知且时，，，可知（*）式不成立；②当时，，所以在上单调递减，，可知（*）式成立；③当时，由得，所以在上单调递增，可知在上单调递减，所以，由（*）式得，设，则，所以在上单调递减，而，h（1）=1-2=-1<0，所以存在t，使得h（t）=0，由得；综上所述，可知．法二：由得（*），①当时，得，且时，，可知（*）式不成立；②当时，由（*）式得，即，设，则，设，则，所以在上单调递减，又，，所以，（**），当时，，得，所以在上递增，同理可知在上递减，所以，结合（**）式得，所以，综上所述，可知．【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，涉及到了导数的应用、分类讨论、构造函数等方法技巧，属于较难题．18、（1）（2）【解题分析】分析：（1）先化简集合A,B，再求.(2)先化简集合A,B，再根据AB得到，解不等式得到实数的取值范围.详解：（1）当时，，解得.则.由，得.则.所以.（2）由，得.若AB，则解得.所以实数的取值范围是.点睛：（1）本题主要考查集合的运算和集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式组→解不等式组得解集.19、（1）；（2），证明见解析【解题分析】

（1）根据已知条件，计算出的值；（2）由（1）猜想，根据数学归纳法证明方法，对猜想进行证明.【题目详解】（1）计算，，，（2）猜想.证明：①当时，左边，右边，猜想成立.②假设猜想成立.即成立，那么当时，，而，故当时，猜想也成立.由①②可知，对于，猜想都成立.【题目点拨】本小题主要考查合情推理，考查利用数学归纳法证明和数列有关问题，属于中档题.20、（1）详见解析；（2）.【解题分析】

（1）根据线面垂直的判定定理，可直接得出结论成立；（2）以为原点，直线，分别为轴，过点作与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，根据向量夹角的余弦值，即可求出结果.【题目详解】解：（1）证明：平面平面，交线为，且平面，从而，又，由余弦定理得，即又，平面.（2）以为原点，直线，分别为轴，过点作与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系．则，，设，,,所以平面BCE的法向量与平面所成角的正弦弦值【题目点拨】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间向量的方法求线面角，熟记线面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求解，即可得出结果.21、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）对函数求导，讨论导函数的正负，即可得到函数的单调性，从而可求出极值的个数；（2）先求出函数的表达式，进而可得到极值点的关系，可用来表示及，代入的表达式，然后构造函数关于的函数，求出值域即可.【题目详解】解：（1）易知定义域为，.①当时，恒成立，在为增函数，没有极值点；②当时，恒成立，在为增函数，没有极值点；③当时，，由，令得，令得，则在上单调递减，在单调递增，故只有一个极大值点，没有极小值点；④当时，由，令得，令得,则在上单调递增，在单调递减，