2024届上海市南汇一中高二数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2024届上海市南汇一中高二数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若方程有三个实数根，且，则的取值范围为（）A． B．C． D．2．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A． B．C． D．3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为12，4，则输出的等于（）A．4 B．5 C．6 D．74．把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（）A．36 B．40 C．42 D．485．的展开式中的系数是（）A．-1152 B．48 C．1200 D．23526．正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值是()A． B．2 C． D．7．曲线在处的切线与直线垂直，则（）A．-2 B．2 C．-1 D．18．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为（）A． B． C． D．9．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点到平面的距离B．直线与平面所成的角C．三棱锥的体积D．△的面积10．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A． B． C． D．11．(2x-3y)9A．-1 B．512 C．-512 D．112．已知函数，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．复数的共轭复数________.（其中为虚数单位）14．函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的部分数值如下表：x

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

5

f（x）

－80

－24

0

4

0

0

16

60

144

则函数y＝lgf（x）的定义域为__________．15．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.16．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质，函数的最小值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知cosA=1-(1)求A；(2)若B=π2，且b=23，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求18．（12分）已知曲线的参数方程为，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)若射线与曲线交于两点，与直线交于点，射线与曲线交于两点，求的面积.19．（12分）已知椭圆（）的左右焦点为、，右顶点为，上顶点为，且.（1）求直线的方向方量；（2）若是椭圆上的任意一点，求的最大值；（3）过作的平行线交椭圆于、两点，若，求椭圆的方程.20．（12分）已知数列的前项的和，满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项的和.21．（12分）某兴趣小组欲研究某地区昼夜温差大小与患感冒就诊人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1到5月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日昼夜温差81013129就诊人数（个）1825282617该兴趣小组确定的研究方案是：先从这5组数据中选取一组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用选取的一组数据进行检验．（1）若选取的是1月的一组数据，请根据2至5月份的数据．求出关于的线性回归方程．（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试判断该小组所得的线性回归方程是否理想？如果不理想，请说明理由，如果理想，试预测昼夜温差为时，因感冒而就诊的人数约为多少？参考公式：,.22．（10分）已知函数，其中.（1）求的单调递增区间；（2）当的图像刚好与轴相切时，设函数，其中，求证：存在极小值且该极小值小于.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

先将方程有三个实数根，转化为与的图象交点问题，得到的范围，再用表示，令，利用导数法求的取值范围即可.【题目详解】已知函数，其图象如图所示：因为方程有三个实数根，所以，令，得，令，所以，所以，令，所以，令，得，当时，，当时，，所以当时，取得极小值.又，所以的取值范围是：.即的取值范围为.故选：B【题目点拨】本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.2、C【解题分析】取BD的中点E，连结CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱锥的侧视图，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面积S=××=，故选C.3、A【解题分析】

分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．详解：模拟程序的运行，可得，不满足结束循环的条件，执行循环体，；不满足结束循环的条件，执行循环体，；不满足结束循环的条件，执行循环体，；满足结束循环的条件，退出循环，输出的值为，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4、A【解题分析】

将情况分为113和122两种情况，相加得到答案.【题目详解】当分的票数为这种情况时：当分的票数为这种情况时：一张票数的人可以选择：不同分法的种数为36故答案选A【题目点拨】本题考查了排列组合，将情况分为两类可以简化运算.5、B【解题分析】

先把多项式化简，再用二项式定理展开式中的通项求出特定项的系数，求出对应项的系数即可.【题目详解】解：，的二项式定理展开式的通项公式为，的二项式定理展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用以及利用二项式展开式的通项公式求展开式中某项的系数问题，是基础题目.6、A【解题分析】试题分析：由得解得，再由得，所以，所以.考点：数列与基本不等式.【思路点晴】本题主要考查等比数列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解决等比数列的首项和公比，也即求出等比数列的基本元，在求解过程中，先对具体的数值条件进行化简，可求出，由此化简第一个条件，可得到；接下来第二步是基本不等式常用的处理技巧，先乘以一个常数，再除以这个常数，构造基本不等式结构来求.7、B【解题分析】分析：先求导，然后根据切线斜率的求法得出切线斜率表达式，再结合斜率垂直关系列等式求解即可.详解：由题可知：切线的斜率为：由切线与直线垂直，故，故选B.点睛：考查切线斜率的求法，直线垂直关系的应用，正确求导是解题关键，注意此题导数求解时是复合函数求导，属于中档题.8、D【解题分析】分析：根据条件概率求结果.详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为，选D.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.9、B【解题分析】

试题分析：将平面延展到平面如下图所示，由图可知，到平面的距离为定值.由于四边形为矩形，故三角形的面积为定值，进而三棱锥的体积为定值.故A，C，D选项为真命题，B为假命题.考点：空间点线面位置关系.10、A【解题分析】由椭圆方程可得焦点坐标为，设与其共焦点的双曲线方程为：，双曲线过点，则：，整理可得：，结合可得：，则双曲线方程为：.本题选择A选项.11、B【解题分析】

(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为【题目详解】(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为2(2x-3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为2故答案选B【题目点拨】本题考查了二项系数和，属于基础题型.12、A【解题分析】

根据分段函数解析式，结合指数幂与对数的运算，即可化简求解.【题目详解】函数则，所以，故选：A.【题目点拨】本题考查了分段函数的求值，指数幂与对数式的运算应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据复数除法法则，分子分母同乘分母的共轭复数化简成的形式，再根据共轭复数的定义求出所求即可．【题目详解】，复数的共轭复数是.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查复数代数形式的乘除运算、共轭复数的定义，考查基本运算求解能力，属于基础题．14、【解题分析】试题分析：由表格可知函数的图象的变化趋势如图所示，则的解为．考点：函数的图象，函数的定义域．15、216【解题分析】

每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分

3

步进行，第一步

,A

、B.

C

三点选三种颜色灯泡共有

种选法；第二步

,

在

A1

、

B1

、

C1

中选一个装第

4

种颜色的灯泡，有

3

种情况；第三步

,

为剩下的两个灯选颜色

,

假设剩下的为

B1

、

C1,

若

B1

与

A

同色

,

则

C1

只能选

B

点颜色；若

B1

与

C

同色

,

则

C1

有A.

B

处两种颜色可选,故为

B1

、

C1

选灯泡共有

3

种选法，得到剩下的两个灯有

3

种情况，则共有

×3×3=216

种方法．故答案为

21616、【解题分析】

函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，连接这三个点构成了三角形ABC，由角DOB为，角DOC为，OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA，求和即可.【题目详解】根据题意画出图像并建系，D为坐标原点函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，设三角形这个等腰三角形的费马点在高线AD上，设为O点即费马点，连接OB，OC，则角DOB为，角DOC为，B（-1，0）C（1，0），A（0，2），OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA=+=2+.故答案为.【题目点拨】这个题目考查了点点距的公式，以及解三角形的应用，解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，注意相等条件的判断；另一类是根据边或角的范围计算，解题时要注意题干信息给出的限制条件.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）A=π3【解题分析】

（1）先利用二倍角公式将题目等式化成关于sinA2的方程，求出sin（2）根据角平分线定义先求出∠BAD，再依锐角三角函数的定义求出AD，最后依据三角形面积公式求出。【题目详解】（1）解：因为1-2sin2A即sinA因为A∈0,π，所以sinA2所以A2=π6因此,A=π（2）因为A=π3，B=π2，所以C=π又因为AD为的角∠BAC平分线，所以∠BAD=π在Rt△ABD中，所以cos∠BAD=ABAD所以S△ADC【题目点拨】本题主要考查了二倍角公式的应用，以及三角形面积的求法。18、（1）；（2）【解题分析】

（1）首先根据曲线的参数方程先化为直角坐标方程，再把直接直角坐标方程化为极坐标方程．根据即可把直线化为直角坐标方程．（2）把射线带入曲线和直线的极坐标方程得出点的坐标，把射线带入曲线的极坐标得出点的坐标．根据即可求出面积．【题目详解】（1）因为曲线的参数方程为所以所以曲线的极坐标方程为：又直线的极坐标方程为所以直线的直角坐标系方程为综上所述：（2）由（1）知曲线的极坐标方程为所以联立射线与曲线及直线的极坐标方程可得所以联立射线与曲线的极坐标方程可得所以所以【题目点拨】本题主要考查了参数方程、直角坐标方程、极坐标方程直接的互化，主要掌握．属于基础题．19、（1）或；（2）；（3）.【解题分析】

（1）根据题意可得，，即直线的方向方量可以为或．（2）在中，设,，即可求解．（3）设椭圆方程为，直线的方程为，利用韦达定理、弦长公式计算．【题目详解】（1），，右顶点，上顶点，则，直线的方向方量为或．（2）在中，设，则当且仅当时，即为上（或下）顶点时，的最大值，最大值为.（3）设椭圆方程为，，直线的方程为，由可得，，，解得，，椭圆方程为【题目点拨】本题考查的知识点比较多，椭圆方程、方向向量、余弦定理、基本不等式、弦长公式等，综合性比较强，需熟记公式；同时本题也需有一定的计算能力.20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据得到，再得到，两式作差，判断出数列为等差数列，进而可得出结果；（2）根据（1）的结果，利用错位相减法，即可求出结果.【题目详解】解：（1）由条件得：,两式相减得：.........①，则有.....②①-②得：，所以数列是等差数列，①当，即①即.（2）①，②两式相减得【题目点拨】本题主要