应用数理统计-杨虎-第三章习题及答案

习题三2.设总体的分布密度为：为其样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量.现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值.解计算其最大似然估计：其矩估计为：所以：，.3.设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：组中值5152535455565频数365245150100704525如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计..解最大似然估计：.4.某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.解设灯泡的寿命为,,极大似然估计为：根据样本数据得到：.经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.5.为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布)，其化验结果如下：大肠杆菌数/升0123456升数1720102100试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？解设为每升水中大肠杆菌个数，，，由3题〔2〕问知，的最大似然估计为，所以所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大.7.设是总体X的样本，设有下述三个统计量：指出中哪几个是总体均值a=EX的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？解，所以无偏，方差最小.8.设是来自总体X的样本，并且EX=，DX=，是样本均值和样本方差，试确定常数，使是的无偏估计量.解所以.9.设，是的两个独立的无偏估计量，并且的方差是的方差的两倍.试确定常数c1,c2，使得为的线性最小方差无偏估计量.解：设当，上式到达最小，此时.10.设总体X具有如下密度函数，是来自于总体X的样本，对可估计函数，求的有效估计量，并确定R-C下界.解因为似然函数所以取统计量得=，所以是无偏估计量令由定理知T是有效估计量，由所以C-R方差下界为.11.设是来自于总体X的样本，总体X的概率分布为：求参数的极大似然估计量；试问极大似然估计是否是有效估计量？如果是，请求它的方差和信息量；试问是否是相合估计量？〔书上没有这个问题〕解1〕得到最大似然估计量2〕所以所以是无偏估计量，，由定理得到是有效估计量信息量3〕所以，T也是相合估计量.12从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值的90%置信区间，1〕假设=0.01cm；2〕假设未知；解因为计算所以置信区间为计算所以置信区间为.13随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为95%的置信区间.解由题意标准差的置信度为0.95的置信区间为计算得所以置信区间为.14.随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根，测得其电阻()为：A批导线：0.143，0.142，0.143，0.137B批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140设测试数据分别服从和，并且它们相互独立，又均未知，求参数的置信度为95%的置信区间.解由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：置信区间为计算得所以.15.有两位化验员A、B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测定，其测定值的方差依次为0.5