工程力学 课件-第9-11章-梁的平面弯曲-强度计算、刚度计算、组合变形

工程力学1梁平面弯曲的概念与计算简图2梁的内力与内力方程3梁的内力图

剪力图和弯矩图4截面的几何性质章节目录|CONTENT5梁平面弯曲时横截面上的正应力正应力强度计算第九章

梁的平面弯曲-强度计算6梁平面弯曲时横截面上的切应力切应力强度计算7提高梁强度的措施弯曲的概念受力特点：杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶（其矢量垂直于杆轴）作用。MeMeABF梁平面弯曲的概念与计算简图——以弯曲为主要变形的杆件通称为梁。梁变形特点：1、直杆的轴线在变形后变为曲线；2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。MeMeABF梁平面弯曲的概念与计算简图最基本、常见的弯曲问题——对称弯曲

弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，因而一定是平面弯曲。梁变形后的轴线与外力在同一平面内纵向对称面变形前的轴线变形后的轴线横截面对称轴梁平面弯曲的概念与计算简图

特定条件下，发生非对称弯曲的梁变形后其轴线所在平面也会跟外力所在平面相重合，因而也属于平面弯曲。（1）梁不具有纵对称面；（2）梁有纵对称面，但外力没有作用在纵对称面内，从而变形后轴线所在平面与梁的纵对称面不一致。非对称弯曲——yzFzyFqxq梁平面弯曲的概念与计算简图梁的计算简图静定梁

支座反力可以由静力平衡方程求解的梁超静定梁

支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁梁平面弯曲的概念与计算简图梁按支承方法的分类悬臂梁简支梁外伸梁固定梁半固定梁连续梁梁平面弯曲的概念与计算简图均匀分布荷载Me集中力偶集中力作用在梁上的载荷形式梁平面弯曲的概念与计算简图梁横截面上的内力——剪力和弯矩取左侧分离体分析任一横截面m-m上的内力mmxaABFFBFAFAFSyAmmxxCM剪力弯矩梁的内力与内力方程

使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。Fs＞0Fs＜0M＞0M＜0弯曲内力符号规定：剪力“左上右下”为正弯矩“上压下拉”为正梁的内力与内力方程

求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4横截面上的剪力和弯矩。解：求支反力

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA例题：梁的内力与内力方程截面1—1截面2—2M1FS1FC111FAM2FS2FC222

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA梁的内力与内力方程截面3—3截面4—433C3M3FFS3FAFS4M44C4FB4梁的内力与内力方程

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA内力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa（1）横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。剪力值=截面左侧（或右侧）所有外力的代数和弯矩值=截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩代数和

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F梁的内力与内力方程（2）截面左侧梁段向上的外力→正剪力→正弯矩顺时针外力偶→正弯矩截面右侧梁段向上的外力→负剪力→正弯矩顺时针外力偶→负弯矩梁的内力与内力方程内力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F（3）在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力大小；在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶矩大小。梁的内力与内力方程内力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F

求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的内力。1212343455梁的内力与内力方程课堂练习：剪力方程和弯矩方程剪力方程弯矩方程——反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式梁的内力与内力方程

图示悬臂梁受集度为q的均布荷载作用。试写出梁的剪力方程和弯矩方程。解：以自由端为坐标原点，列剪力方程和弯矩方程：ABxlBxFS(x)M(x)梁的内力与内力方程例题：

图示简支梁受集度为q的均布荷载作用。试写出梁的剪力方程和弯矩方程。解：（1）求支反力（2）列剪力方程和弯矩方程xFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAq梁的内力与内力方程例题：

图示简支梁受集中荷载F作用。试写出梁的剪力方程和弯矩方程。解：（1）求支反力（2）列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出xBlAFabCFBFA梁的内力与内力方程例题：AC段CB段xBlAFabCFBFAFAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)梁的内力与内力方程

图示简支梁在C点受矩为Me

的集中力偶作用。试写出梁的剪力方程和弯矩方程。解:（1）求支反力Me

FA

FBBlACab梁的内力与内力方程例题：（2）列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：弯矩方程——两段：AC段：CB段：FA

FBBlACabxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)梁的内力与内力方程

图示悬臂梁AB，自由端受力F的作用，试写出梁的剪力方程和弯矩方程。x梁的内力与内力方程课堂练习：根据弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系其中分布荷载集度q(x)

以向上为正，向下为负。q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系梁的内力与内力方程剪力图和弯矩图

显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。梁的内力图

剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图绘制方法：（1）根据剪力方程和弯矩方程绘制；（2）利用载荷集度与剪力、弯矩之间的微分关系绘制。梁的内力图

剪力图和弯矩图

图示悬臂梁受集度为q的均布荷载作用。试画出梁的剪力图和弯矩图。解：（1）列剪力方程和弯矩方程：ABxlBxFS(x)M(x)例题：（2）作剪力图和弯矩图弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的上方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。xqlFS

ABl

Mxql22梁的内力图

剪力图和弯矩图剪力方程弯矩方程梁的内力图

剪力图和弯矩图

图示简支梁受集度为q的均布荷载作用。试画出梁的剪力图和弯矩图。解：（1）列剪力方程和弯矩方程xFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAq例题：ql

2FS

BlAq（2）作剪力图和弯矩图ql28l/2M梁的内力图

剪力图和弯矩图剪力方程弯矩方程解：（1）列剪力方程和弯矩方程AC段CB段梁的内力图

剪力图和弯矩图

图示简支梁受集中荷载F作用。试画出梁的剪力图和弯矩图。xBlAFabCFBFA例题：（2）作剪力图和弯矩图FS

FblxFalFabMxlFBlAabC梁的内力图

剪力图和弯矩图剪力方程弯矩方程解:（1）剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：弯矩方程——两段：AC段：CB段：梁的内力图

剪力图和弯矩图

图示简支梁在C点受矩为Me

的集中力偶作用。试画出梁的剪力图和弯矩图。Me

FA

FBBlACab例题：（2）剪力图和弯矩图当b>a时发生在C截面右侧BlACabFslxMelMxMealMeb梁的内力图

剪力图和弯矩图剪力方程弯矩方程梁的内力图

剪力图和弯矩图

图示悬臂梁AB，自由端受力F的作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。x课堂练习：根据弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系画梁的内力图q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系梁的内力图

剪力图和弯矩图不同均布荷载下FS

图和M

图的特征：FS

图M

图集中力作用处集中力偶作用处

FS=0的截面或FS发生突变的截面弯矩M(x)为极值。

梁的内力图

剪力图和弯矩图几种常见荷载下FS

图和M

图的特征：利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：1．求支座反力；2．分段确定剪力图和弯矩图的形状；3．计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；4．确定和。梁的内力图

剪力图和弯矩图B3aACMe=3qa2axq

试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系绘制图示梁的剪力图和弯矩图。FAFB解：支反力为梁的内力图

剪力图和弯矩图例题：AC段：

q=0，

剪力图为水平直线；剪力值（1）剪力图xFAFBB3aACMe=3qa2axqxAM(x)FS(x)FAFS5qa/3梁的内力图

剪力图和弯矩图CB段：q=常量<0，

剪力图为向右下方倾斜的斜直线；因C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故FS5qa/3xqa/38a/3梁的内力图

剪力图和弯矩图xFAFBB3aACMe=3qa2axq（2）弯矩图AC段：剪力=常量弯矩图→斜率为正值的斜直线弯矩值：支座A：MA=0C截面左侧:B3aACMe=3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3Mx5qa2/3梁的内力图

剪力图和弯矩图CB段：

q=负常量弯矩图→曲率为负(向下凸)的抛物线C点处有集中力偶作用→弯矩图突变支座B：MB=0B3aACMe=3qa2axqFS5qa/3xqa/38a/3x4qa2/3Mx5qa2/3梁的内力图

剪力图和弯矩图存在的截面，即弯矩M(x)在此处有极值（抛物线的顶点）。

FS5qa/3xqa/38a/3qa2/18x4qa2/3Mx5qa2/3梁的内力图

剪力图和弯矩图AyzyzdAO静矩（或一次矩）形心坐标公式均质等厚薄板的重心坐标C截面的几何性质截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，故静矩与坐标轴有关常用单位：m3

或mm3

。值可为正、负或0截面对形心轴的静矩为零

若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴

组合图形形心坐标计算公式：截面的几何性质

试确定图示梯形面积对底边的静矩，及其形心位置。解：图形对底边的静矩形心位置abhzyOC1xC2x截面的几何性质例题：极惯性矩.惯性矩.惯性积截面的几何性质极惯性矩惯性矩惯性积极惯性矩与惯性矩的关系极惯性矩、惯性矩、惯性积的性质：1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯性矩，是对点定义的。2、惯性矩和极惯性矩永远为正，惯性积可能为正、为负、为零。3、任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。截面的几何性质4、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。yy5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积6、极惯性矩、惯性矩和惯性积的量纲均为长度的四次方。截面的几何性质极惯性矩、惯性矩、惯性积的性质：惯性半径：dAzyOzy

任意形状的截面图形对某轴的惯性半径定义为图形对某轴的惯性矩与图形面积之比的平方根，即惯性半径的特征：1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。2.惯性半径的单位为m。3.惯性半径的数值恒取正值。截面的几何性质

试计算图中矩形截面对于其对称轴z和y的惯性矩。解：取平行于z轴的狭长条，则

dA=bdy同理y

dyyhCzb(1)计算图形对z轴的惯性矩(2)计算图形对y轴的惯性矩截面的几何性质例题：惯性矩.惯性积的平行移轴公式

在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小

但图形对形心轴的惯性积不一定是最小截面的几何性质求图示圆对其切线AB的惯性矩。BAdzyO（1）求图形对形心轴的惯性矩（2）求图形对其切线AB的惯性矩解：截面的几何性质例题：试计算T形截面对形心轴的惯性矩。C21202020120yzC1zcC(yc)截面的几何性质课堂练习：内力应力梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算纯弯曲横力弯曲梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算纯弯曲时梁横截面上的正应力1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。实验现象：几何方面梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算平面假设

梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴转动。中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层。中性层:中性层中性轴Me

Me

梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算r——中性层的曲率半径CABryO1O2B1dq}dxMe

Me

mmnnaabb梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算物理方面

不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。当s<sp，且拉、压弹性模量相同时，有即直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。zOyzdAsdAy梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算静力学方面即中性轴z是形心轴。对称弯曲时此条件将自动满足。zOyzdAsdAy得梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。EIz称为梁的弯曲刚度。梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算zOyzdAsdAy弯曲正应力计算公式梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算将zOyzdAsdAy代入得中性轴

z

为横截面的对称轴时称为弯曲截面系数yzzybh梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算中性轴

z不是横截面的对称轴时Ozyyt，maxyc，max梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算简单截面的弯曲截面系数⑴矩形截面zybh梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算yzd⑵圆形截面梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算(4)型钢截面：参见型钢表式中DOdyz⑶空心圆截面梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算

如图所示悬臂梁，横截面为直径等于200mm的实心圆，试计算梁内横截面上最大正应力。分析：ＤL30kN·m30kN·m

纯弯曲解：（1）计算W（2）计算

max梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算例题：纯弯曲理论的推广横力弯曲时：1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算弹性力学的分析结果：对于细长梁（l/h>5

），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。Fl4lF梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算横力弯曲计算公式

长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，求B截面上a、b、c各点的正应力。梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算例题：（压）梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算解：（1）画弯矩图，确定B截面弯矩（2）计算各点正应力梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立：材料的许用弯曲正应力中性轴为横截面对称轴的等直梁梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Ozyyt，maxyc，max为充分发挥材料的强度，最合理的设计为梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算

铸铁梁受荷载情况如图示。已知：T形截面的形心坐标yc＝61mm，截面对形心轴的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度[σ＋]=50MPa，抗压强度[σ－]=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算例题：C截面B截面综上，梁的强度条件满足，安全！梁平面弯曲时横截面上的正应力

正应力强度计算解：（1）确定截面弯矩（2）计算危险截面的应力梁横截面上的切应力推导思路：近似方法不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程横截面上切应力分布规律的假设横截面上弯曲切应力的计算公式分离体的平衡梁平面弯曲时横截面上的切应力

切应力强度计算矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律m'mn'nnm'mdxbytt'A1ABB1hzyOx1、横截面上的τ方向与FS平行2、τ沿截面宽度是均匀分布的梁平面弯曲时横截面上的切应力

切应力强度计算其中：FS→横截面上的剪力；Iz

→整个横截面对于中性轴的惯性矩；b

→与剪力垂直的截面尺寸，即矩形的宽度；矩形截面梁弯曲切应力计算公式

→横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对

中性轴的静矩梁平面弯曲时横截面上的切应力

切应力强度计算矩形横截面上弯曲切应力的变化规律梁平面弯曲时横截面上的切应力

切应力强度计算

t沿矩形截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。tmaxzyOtmax

矩形截面简支梁受力如图所示。求σmax,τmax。梁平面弯曲时横截面上的切应力

切应力强度计算例题：解：（1）确定最大弯矩、最大剪力（2）根据公式计算最大正应力、最大切应力工字形截面梁(1)、腹板上的切应力梁平面弯曲时横截面上的切应力

切应力强度计算zyOtmaxtmintmax(2)、翼缘上的切应力翼缘上最大切应力小于腹板上最大切应力，工程上一般不考虑。圆截面梁切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与y轴对称；与y轴相交各点处的切应力其方向与y轴一致。关于其切应力分布的假设：1、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点；2、这些切应力沿y方向的分量ty沿宽度相等。zyOtmaxkk'O'd最大切应力tmax

在中性轴z处梁平面弯曲时横截面上的切应力

切应力强度计算梁的切应力强度条件

一般tmax发生在FS,max所在截面的中性轴处，该位置s=0。不计挤压，则tmax所在点处于纯剪切应力状态。梁的切应力强度条件为对等直梁，有EtmaxFtmaxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁平面弯曲时横截面上的切应力

切应力强度计算梁上smax所在点处于单轴应力状态，其正应力强度条件为梁上任意点G和H→平面应力状态，若这种应力状态的点需校核强度时不能分别按正应力和切应力进行，而必须考虑两者的共同作用（强度理论）。Csmax

DsmaxGtsHtsEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2梁平面弯曲时横截面上的切应力

切应力强度计算强度足够横力弯曲梁的强度条件：

最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；

最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；梁平面弯曲时横截面上的切应力

切应力强度计算合理配置梁的荷载和支座控制强度条件：M↓Wz↑辅梁lFl4FFl4l4l2

Fl8提高梁强度的措施合理选取截面形状1、尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数与面积比值W/A增大。yzzybhz2、对于由拉伸和压缩强度相等的材料制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。提高梁强度的措施3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作拉、压应力分别达到（或接近）材料的许用拉应力[st]和许用压应力[sc]。Ozyy1y2提高梁强度的措施合理设计梁的外形

考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截面梁。

若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的许用应力，则称为等强度梁（鱼腹梁）。(a)

l2Fh(x)b(b)Fl2提高梁强度的措施工程力学1梁的变形与位移的概念2挠曲线近似微分方程3用积分法求梁的位移4用叠加法求梁的位移章节目录|CONTENT5梁的刚度计算6提高梁刚度的措施第十章

梁的平面弯曲-刚度计算xy挠曲线m-mn-nyΔxx（连续、光滑平坦的平面曲线）yz梁变形的表示方法θ梁的变形与位移的概念（1）挠度y

：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移。

（3）转角θ：横截面绕中性轴转过的角度（角位移）。符号规定：向上为正，向下为负。符号规定：逆时针为正，顺时针为负。（2）轴向位移Δx：横截面形心在轴线方向的线位移。略去不计

挠曲线曲线性质：挠曲线方程xyxy(x)oθ(x)θ(x)（2）挠曲线上任一点的切线斜率等于梁上该截面的转角值。（1）挠曲线上任一点的纵坐标等于梁上该截面的挠度值；挠度和转角之间的关系

梁的变形与位移的概念中性层曲率表示的弯曲变形公式数学中的曲率公式挠曲线微分方程

挠曲线近似微分方程在小变形条件下正负号确定：（1）线弹性范围（2）小变形条件（3）平面弯曲适用条件：

挠曲线近似微分方程C、D为积分常数，由位移的边界与连续条件确定。积分一次，积分二次，

积分法过程用积分法求梁的位移边界条件（2）铰支座的约束条件（1）固定端的约束条件

用积分法求梁的位移（3）交界处的连续条件

悬臂梁AB受力如图所示，已知：梁的刚度为EI,梁长度为l。

求：挠曲线方程及转角方程，|y|max、|θ|max解：（1）弯矩方程（2）列挠曲线近似微分方程并积分积分得：

用积分法求梁的位移例题：（3）由边界条件确定积分常数（4）确定挠曲线方程及转角方程（5）求最大挠度和转角

用积分法求梁的位移

悬臂梁AB受力如图所示，已知：梁的刚度为EI,梁长度为l。求：挠曲线方程及转角方程，|y|max、|θ|max解：（1）列弯矩方程（2）写挠曲线微分方程并积分（3）利用边界条件确定积分常数；

例题：用积分法求梁的位移（4）挠曲线方程及转角方程在两端A、B，截面转角数值相等，符号相反，绝对值最大：5、求最大挠度和转角

用积分法求梁的位移写出梁的弯矩方程；积分法求位移步骤如下：求挠曲线近似微分方程，并积分；利用边界条件和连续条件，确定出积分常数；求挠曲线方程、转角方程及其它待求量。用积分法求梁的位移试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程（抗弯刚度为EI

）解：（1）写出弯矩方程；AC段：CB段：用积分法求梁的位移例题：（2）列出挠曲线微分方程，并积分；AC段：CB段：用积分法求梁的位移（3）列出边界条件、连续性条件，确定积分常数：可得

当须分段表示弯矩方程时，需用连续条件、边界条件一起确定积分常数。

用积分法求梁的位移（4）列出转角方程和挠曲线方程积分法适用于求任意截面的挠度和转角。用积分法求梁的位移AC段：CB段：

悬臂梁AB受力如图所示，已知：梁的刚度为EI,梁的跨度为l。求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。q用积分法求梁的位移课堂练习：叠加法：

当梁上同时作用几种载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得这些载荷共同作用时的变形。叠加法应用条件：各种载荷与变形量之间成线性关系；小变形叠加法适用性：主要用于求指定截面的变形。用叠加法求梁的位移1、将作用在梁上的复杂载荷分解成几种简单载荷作用的情况；使用叠加法的计算步骤：3、将挠度和转角分别叠加，即可求出复杂载荷作用下所求截面的挠度和转角。2、确定各种简单载荷作用下所求截面的挠度和转角；用叠加法求梁的位移

桥式起重机的大梁自重为集度q的均布载荷，吊重F为作用于梁中点的集中力。试求大梁跨度中点的挠度。（梁的长度l和抗弯刚度EI已知）xyABl/2Cl/2qFxyABCql/2l/2xyABCFl/2l/2

用叠加法求梁的位移例题：解：均布载荷q引起中点的挠度：集中载荷F引起中点的挠度：q和F共同作用引起中点的挠度：xyABCql/2l/2

xyABCFl/2l/2

用叠加法求梁的位移

如图所示，梁AC段的挠曲线方程为

,则该段的转角方程为

。截面B的转角和挠度分别为

、

。用叠加法求梁的位移例题：与为许可值，可查设计手册。其中，为保证梁的正常工作，需要对其最大转角和最大挠度加以限制即要求满足刚度条件：梁的刚度计算（1）改变加载方式

除外加载荷外，梁的位移y、

还与梁的弯曲刚度EI成反比，与跨长l的n次方成正比，因此，提高刚度的措施还有：

提高梁刚度的措施（3）减少梁的跨度或增加支承(改变结构)。（2）升高EI

各种钢材E相差不大，主要提高I，在截面面积A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。如工字形、箱形等截面。PP提高梁刚度的措施工程力学1组合变形的概念和实例2杆件承受轴向拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算3梁斜弯曲时的强度计算4平面应力状态应力分析章节目录|CONTENT5广义胡克定律第十一章

组合变形6强度理论和相当应力7圆轴承受弯扭组合变形时的强度计算组合变形:构件在荷载作用下，同时发生两种或两种以上的基本变形工程实用:烟囱，传动轴，吊车梁的立柱烟囱：自重引起轴向压缩

+水平方向的风力而引起弯曲，传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲

+扭转

立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩=轴向压缩

+纯弯曲组合变形的概念和实例组合变形强度计算的步骤:1.外力分析

将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的静力等效力系。2.内力分析

分别做出各基本变形的内力图，确定构件危险截面位置及其相应内力分量。3.应力分析

按危险截面上的内力值，分析危险截面上的应力分布，确定危险点所在位置，按叠加原理画出危险点的应力状态图。4.强度分析

根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度理论进行强度计算。

叠加法：将作用于杆件上的荷载简化，简化后的每一荷载只产生一种基本变形；每一种基本变形下杆件的应力和位移，结果叠加起来。屋架传来的压力吊车传来的压力自重风力组合变形的概念和实例横向力与轴向力共同作用

略去由轴向力引起的弯矩,按叠加原理分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，求其代数和，即得在拉伸(压缩)和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。

图示由两根槽钢组成杆件的计算图，在其纵对称面内有横向力F和轴向拉力Ft共同作用，分析杆在拉伸与弯曲组合变形时的强度计算。FtFtF2hh2

xyz杆件承受轴向拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算

在拉力Ft作用下，杆各个横截面上有相同的轴力FN=Ft,拉伸正应力

t在各横截面上的各点处均相等

在横向力F作用下，杆跨中截面上的弯矩为最大，Mmax=Fl/4。跨中截面是杆的危险截面。该截面上的最大弯曲正应力

t=FANFtFtF2hh2

xyz

WmaxM=b

WmaxM杆件承受轴向拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算

按叠加原理，杆件的最大正应力是危险截面下边缘各点处的拉应力,值为当b＞t当t=bb当＜t

正应力沿截面高度的分布情况：

注意:当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。

危险点处为单轴应力状态，故可将最大拉应力与材料的许用应力相比较，以进行强度计算。

杆件承受轴向拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算

一矩形截面折杆尺寸如图所示，已知F＝50kN，α＝30°。求B点横截面上的应力。解：B点处的内力为B点处的应力为

杆件承受轴向拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算例题：

厂房立柱的下端与基础固定，其形状、尺寸、加载方式如图所示（图中长度单位为毫米）。试求柱横截面上的最大正应力。杆件承受轴向拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算课堂练习：FF1F2载荷偏离纵向对称面两个纵向对称面同时作用有载荷非对称弯曲问题梁斜弯曲时的强度计算纵向对称面梁斜弯曲时的强度计算当F1和F2共同作用时，应用叠加法应根据弯距在该点造成的应力方向,再叠加危险点：m-m截面上角点B有最大拉应力，

D有最大压应力；可见，B、D点就是危险点，离中性轴最远强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为梁斜弯曲时的强度计算

一般生产车间所用的吊车大梁,两端由钢轨支撑，可以简化为简支梁，如图所示。图中l＝4m，大梁由32a热轧普通工字钢制成，许用应力[σ]＝160MPa。起吊的重物重量F＝80kN，且作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角α＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。梁斜弯曲时的强度计算例题：（1）将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加解：梁斜弯曲时的强度计算（2）确定两个平面弯曲的最大弯矩（3）计算最大正应力并校核强度查表：（4）讨论，若

α=0，则结论：吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊，不允许在大梁的侧面斜方向起吊！！！不安全！！！梁斜弯曲时的强度计算

一般情况下，受力构件内一点处的应力较为复杂，强度条件的建立需解决的问题：1、了解过该点各不同方位截面上的应力变化规律，从而确定该点的最大应力;2、应力的组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起材料破坏的共同因素，从而确定许用应力。

关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说，即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度条件。最大应力通过一点处的应力状态来确定。平面应力状态应力分析

构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面上的应力表示。一点处的应力状态目的：通过应力状态分析求出该点处的

max、

max及其作用面，从而更好地进行强度分析。特点:单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。单元体如何取？

在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、dy和dz，如图所示。dydzdxzxy平面应力状态应力分析ssttttAF(a)

adcbAa'b'd'c'(b)

adcbAttttss

该应力状态则称为平面应力状态平面应力状态应力分析斜截面上的应力已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应力。斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为

，称为

截面。efanaxyzabcdtxty(a)sxsytysysxtxdabctxtytxx(b)sxsxsysytyy平面应力状态应力分析应力的正负和斜截面夹角的正负规定：α角

由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。正应力拉应力为正压应力为负切应力使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。平面应力状态应力分析公式推导：平面应力状态应力分析例题：某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成30o和－60o角，试求此二斜面ab和bc上的应力。在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。平面应力状态应力分析主应力和最大切应力平面应力状态应力分析求导，求极值：主应力主应力方位最大切应力按照值排序1、各向同性材料的广义胡克定律

对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得.(1)、单向应力状态的广义胡克定律广义胡克定律1(2)、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法++23广义胡克定律123123312广义胡克定律123广义胡克定律★分析：1、即2、当时，即为二向应力状态：3、当时，即为单向应力状态；即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。广义胡克定律4、若单元体上作用的是一般的应力时，则单元体不仅有线变形，而且有角变形。其应力-应变关系为：xzy广义胡克定律5、若平面单元体上作用的是一般的应力时，则单元体不仅有线变形，而且有角变形。其应力-应变关系为：广义胡克定律例题：某点的应力状态如图所示,当σx,σy,σz不变,τx增大时,关于εx值的说法正确的是____.A.不变B.增大C.减小D.无法判定εx仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大时，线应变不变。广义胡克定律ss1、概述

1)单向应力状态：强度条件：强度理论和相当应力2)纯剪应力状态：强度条件：t强度理论和相当应力3）复杂应力状态txsx

研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这就是强度理论的研究内容。不可以!强度理论和相当应力4）材料破坏的形式(常温、静载)

塑性屈服：

脆性断裂：铸铁：拉伸、低碳钢：拉伸、例如：例如：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关。没有明显的塑性变形发生突然断裂产生显著的塑性变形构件丧失正常的工作能力扭转等；扭转等；强度理论和相当应力脆性断裂塑性断裂5）强度理论最大拉应力理论最大伸长线应变理论最大切应力理论形状改变能密度理论第一类强度理论第二类强度理论强度理论和相当应力强度条件：1）最大拉应力理论(第一强度理论)假设: