小学数学典型应用题30题汇总（例题+答案）

归一问题

【含义】

在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标

准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】

总量♦份数=1份数量

1份数量义所占份数=所求几份的数量

另一总量+（总量+份数）=所求份数

【解题思路和方法】

先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例题1:

3头牛4天吃了24千克的草料，照这样计算5头牛6天吃草

_____千克。

解：

1、根据题意先算出1头牛1天吃草料的质量：24+3+4=2（千

克）。

2、那么5头牛一天吃2义5=10（千克）的草料。

3、那么6天就能吃10X6=60（千克）草料。

例题2：

5名同学8分钟制作了240张正方形纸片。如果每人每分钟制作

的数量相同，并且又来了2位同学，那么再过15分钟他们又能做

张正方形纸片？

解：

1、可以先算出5名同学1分钟能制作正方形纸片的数量，240+

8=30（张）。

2、再算出1名同学1分钟制作的数量，30+5=6（张）。

3、现在有5+2=7（名）同学，每人每分钟做6张，要做15分钟,

那么他们能做7X6X15=630（张）正方形纸片。

例题3：

某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样计算，增加3

台同样的车床后，如果要生产6300个零件，需要小时完成？

解：

1、4台车床5小时生产零件600个，则每台车床每小时生产零

件600+4+5=30（个）。

2、增加3台同样的车床，也就是4+3=7（台）车床，7台车床每

小时生产零件7X30=210（个）。

3、如果生产6300个零件，需要6300+210=30（小时）完成。

归总问题

【含义】

解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求

的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几

天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时走的总路程等。

【数量关系】

1份数量义份数=总量

总量+1份数量=份数

总量:另一份数=另一每份数量

【解题思路和方法】

先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例题1:

王大伯家的干草够8只牛吃一个星期的，照这样计算，这些草够

4只牛吃（）天？

解：

1、可以算出这些草够1只牛吃多少天，用8*7=56（天）。

2、算4只牛能吃多久，用56+4=14（天）。

例题2：

小青家有个书架共5层，每层放36本书。现在要空出一层放碟

片，把这层书平均放入其它4层中，每层比原来多放（）本书。

解：

方法一：

1、根据题意可以算出书架上有5X36=180（本）书。

2、现在还剩下5T=4（层）书架。

3、所以每层书架上有180+4=45（本）书。比原来多45-36=9（本）

书。

方法二：

也可以这样考虑，就是要把其中一层的36本书平均分到其他4

层，所以每层比原来多放36+4=9（本）书。

例题3：

一个长方形的水槽可容水480吨，水槽装有一个进水管和一个排

水管。单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可以把

满水池排空，两管齐开需要多少小时把满池水排空？

解：

1、要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出

进水速度和排水速度，进水每小时-480+8=60（吨）；排水每小时480

4-6=80（吨）。

2、当两管齐开，排水速度大于进水速度，即每小时排80-60=20

（吨）。

3、再根据总水量就可以求出排空满池水所需的时间。480+20=24

（小时）。

年龄问题

【含义】

已知两个或多个人年龄关系，求各自年龄或年龄关系，这类应用

题叫做和倍问题。

【数量关系】

大数=（和+差）+2

小数=（和一差）+2

总和+（几倍+1）=较小的数

总和-较小的数=较大的数

较小的数X几倍=较大的数

两个数的差+（几倍-1）=较小的数

较小的数X几倍=较大的数

【解题思路和方法】

年龄问题具有年龄同增同减，年龄差不变的特性。年龄问题都可

以转化为和差、和倍、差倍问题。简单的题目直接利用公式，复杂的

题目变通后利用公式。

例题1:

爸爸今年38岁，妈妈今年36岁，当爸爸42岁时，妈妈岁。

解：

1、本题考查的年龄差不变（简单），不管过了多少年年龄差是不

变的。

2、爸爸比妈妈大2岁，根据不管过了多少年年龄差是不变的，

当爸爸42岁时，妈妈是40岁。

例题2：

姐姐今年15岁，妹妹今年12岁，当她们的年龄和是39岁时一,

那时妹妹岁。

解：

方法一：

1、利用年龄同增同减的思路。

2、姐妹俩今年的年龄之和是：15+12=27（岁），年龄之和到达39

岁时需要的年限是：（39-27）4-2=6（年）。

3、那是妹妹的年龄是12+6=18（岁）。

方法二：

1、利用年龄差不变的思路。

2、两姐妹的年龄差为15-12=3（岁），再根据小数=（和一差）・

2的公式，可以求出妹妹的年龄为（39-3）4-2=18（岁）。

例题3：

爸爸今年50岁，哥哥今年14岁，年前，爸爸的年龄是哥

哥的5倍。

解：

1、不管过了多少年，年龄差是不变的，当爸爸的年龄是哥哥的5

倍时，年龄差仍是50-14=36（岁）。

2、问什么时候爸爸的年龄是哥哥的5倍，实际上年龄差就是哥

哥的5-1=4倍。

3、根据两个数的差+（几倍-1）=较小的数，可以求出哥哥当

时的年龄是（50-14）4-4=9（岁）。

4、再根据题意可求出14-9=5（年）前。

植树问题

【含义】

按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其

中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】

线形植树：

一端植树：

棵数=间隔数=距离+棵距

两端植树：

棵数=间隔数+1=距离+棵距+1

两端都不植树：

棵数=间隔数T=距离・棵距T

环形植树：

棵数=间隔数=距离+棵距

正多边形植树：

一周总棵数=每边棵数X边数一边数

每边棵树=一周总棵数+边数+1

面积植树：

棵数=面积+（棵距义行距）

【解题思路和方法】

先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例题1：

植树节到了，少先队员要在相距72米的两幢楼房之间种8棵杨

树。如果两头都不栽，平均每两棵树之间的距离应是多少米？

解：

1、本题考察的是植树问题中的两端都不栽的情况，解决此类问

题的关键是要理解棵数比间隔数少lo

2、因为棵数比间隔数少1,所以共有8+1=9个间隔，每个间隔距

离是72+9=8米。

3、所以每两棵树之间的距离是8米。

例题2：

一小学举行运动会，在操场周围插上彩旗。已知操场的周长是500

米，每隔5米插一根红旗，每两面红旗之间插一面黄旗，那么一共插

红旗多少面，一共插黄旗多少面。

解：

1、本题考查的是植树问题中封闭图形间隔问题，本题中只要抓

住棵数=间隔数，就能求出插了多少面红旗和黄旗。

2、棵数=间隔数，一共插红旗500+5=100（面），这一百面红

旗中一共有100个间隔，所以一共插黄旗100面。

例题3：

多多从一楼爬楼梯到三楼需要6分钟，照这样计算，从三楼爬到

十楼需要多少分钟？

解：

1、本题考查的是植树问题中锯木头、爬楼梯问题的情况。需要

理解爬的楼层、锯的次数与层数、段数之间的关系，所在楼层=爬的

层数+1;木头段数=锯的次数+1。

2、从一楼爬楼梯到三楼，需要爬2层，需要6分钟，所以每层

需要6+2=3（分钟）。因此从三楼爬到十楼，需要（10-3）X3=21（分

钟）。

相遇问题

【含义】

两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应

用题叫做相遇问题。这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】

相遇时间=总路程+（甲速+乙速）

总路程=（甲速+乙速）X相遇时间

【解题思路和方法】

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利

用线段图分析可以让解题事半功倍。

例题1:

欢欢和乐乐在一条马路的两端相向而行，欢欢每分钟行60米，

乐乐每分钟行80米，他们同时出发5分钟后相遇。这条马路长（）。

解：

根据公式总路程=（甲速+乙速）X相遇时间，可以求出这条马

路长（60+80）X5=700（米）。

例题2：

甲乙两车分别以不变的速度从AB两地同时出发，相向而行。到

达目的地后立即返回。已知第一次相遇地点距离A地50千米，第二

次相遇地点距离B地60千米，AB两地相距千米。

解：

1、本题考查的是二次相遇问题，灵活的运用画线段图的方法来

分析是解决这类问题的关键。

2、画线段图

第一次

甲50千米

乙

AitfeB地

60千米

第二）欠

3、从图中可以看出，第一次相遇时甲行了50千米。甲乙合行了

一个全程的路程。

从第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了两个全程的路程。由

于甲乙速度不变，合行两个全程时，甲能行50X2=100（千米）。

4、因此甲一共行了50+100=150（千米），从图中看甲所行路程刚

好比AB两地相距路程还多出60千米。

所以AB两地相距150-60=90（千米）。

例题3：

欢欢和乐乐在相距80米的直跑道上来回跑步，乐乐的速度是每

秒3米，欢欢的速度是每秒2米。如果他们同时分别从跑道两端出

发，当他们跑了10分钟时，在这段时间里共相遇过次。

解：

1、根据题意，第一次相遇时，两人共走了一个全程，但是从第

二次开始每相遇一次需要的时间都是第一次相遇时间的两倍。（线段

图参考例2。）

2、根据“相遇时间=总路程+速度和”得到，欢欢和乐乐首次相

遇需要80+（3+2）=16（秒）。

3、因为从第一次相遇结束到第二次相遇，欢欢和乐乐要走两个

全程，所以从第二次开始每相遇一次需要的时间是16秒的2倍，也

就是32秒,则经过第一次相遇后，剩下的时间是600T6=584（秒）,

还要相遇584+32=18.25（次），所以在这段时间里共相遇过18+1=19

（次）。

追及问题

【含义】

两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时

出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行

进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面

的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】

追及时间=追及路程+（快速一慢速）

追及路程=（快速一慢速）X追及时间

【解题思路和方法】

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利

用线段图分析可以让解题事半功倍。

例题1：

某警官发现前方100米处有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃

跑。警官赶紧以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上这个匪

徒。

解：

1、从警官追开始到追上匪徒，这就是一个追及过程。根据公式:

路程差♦速度差=追及时间。

2、路程差为100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度

差为1米/秒。所以追及的时间为100+1=100（秒）。

例题2：

甲乙二人同时从400米的环形跑道的起跑线出发，甲每秒跑6米，

乙每秒跑8米，同向出发。那么甲乙二人出发后（）秒第一次相

遇？

解：

1、由题可知，甲乙同时出发后，乙领先，甲落后，那么两人第一

次相遇时，乙从后方追上甲，所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道长

度，即追及路程为400米。

2、由追及时间=总路程+速度差可得：经过4004-（8-6）=200

（秒）两人第一次相遇。

例题3：

小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时

和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，

面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。那么甲、乙两地相距多

远？

解：

1、根据题意，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题。首

先是小轿车和面包车的相遇问题；其次是面包车和大客车的相遇问题;

然后是小轿车与大客车的追及问题。最后通过小轿车与面包车共行甲、

乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地距离。

2、画线段图，图上半部分是小轿车和面包车相遇时三车所走的

路程。图下半部分是第一次相遇30分钟之后三车所走的路程。

3、由图可知，当面包车与小轿车相遇时，大客车与小轿车的路

程差为小轿车与大客车30分钟所走的路程。有小轿车与大客车的速

度差，有距离，所以可以求出车辆行驶的时间。

（42+48）X0.54-（60-42）=2.5（小时）。

4、由于小轿车与面包车相遇，共行一个行程，所以AB两地路程

为（60+48）X2.5=270（千米）。

行船问题

【含义】

行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与

水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度;

水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆

水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】

（顺水速度+逆水速度）+2=船速

（顺水速度一逆水速度）+2=水速

顺水速=船速义2—逆水速=逆水速+水速X2

逆水速=船速X2一顺水速=顺水速一水速义2

【解题思路和方法】

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利

用线段图分析可以让解题事半功倍。

例题1:

某船在同一条河中顺水船速是每小时20千米，逆水船速是每小

时10千米，这条河的水流速度是每小时千米？

解：

顺水船速=船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，

顺水船速比逆水船速多2个水流速度，

因此，水流速度=（2070）+2=5（千米/时）。

例题2：

某条大河水流速度是每小时5千米，一艘静水船速是每小时20

千米的货轮逆水航行5小时能到达目的地，这艘货轮原路返回到出发

地需要多少小时？

解：

1、逆水速度=静水船速-水流速度，所以货轮逆水速度是20-

5=15（千米/时），行驶5小时共行了15X5=75（千米）。

2、原路返回时是顺水航行，顺水速度是静水船速+水速，即

20+5=25（千米/时）,所以返回用时75+25=3（小时）。

例题3：

小船在两个码头间航行，顺水需4小时，逆水需5小时，若一只

木筏顺水漂过这段距离需小时？

解：

1、我们可以假设一个路程。假设两个码头之间的距离是200千

米，顺水需4小时，则顺水的速度是每小时200+4=50（千米），逆水

需5小时，则逆水的速度是每小时200+5=40（千米）。

2、根据“水速=（顺水行驶速度-逆水行驶速度）+2”得到，水

流速度是每小时（50-40）4-2=5（千米）。

3、一只木筏顺水漂过的速度就是水流速度，所以木筏顺水漂过

这段距离需要200+5=40（小时）。

列车问题

【含义】

与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】

火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）+车速

火车追及：追及时间=（甲车长+乙车长+距离）+（甲车速一

乙车速）

火车相遇：相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）+（甲车速+

乙车速）

【解题思路和方法】

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利

用线段图分析可以让解题事半功倍。

例题1：

一列火车全长126米，全车通过611米的隧道需要67秒，火车

的速度是多少米/秒？

解:

1、本题考查的是火车过桥的问题，解决本题的关键是知道火车

完全经过隧道所走的路程是车身长+隧道长，进而求出车速。

2、因此火车的速度为：（126+6H）+67=11（米/秒）。

例题2：

在两行轨道上有两列火车相对开来，一列火车长208米，每秒行

18米，另一列火车每秒行19米，两列火车从相遇到完全错开用了12

秒钟，那么另一列火车长多少米？

解：

两列火车从相遇到完全错开，所行路程之和刚好是它们的车身长

度之和。根据“路程和=速度和X时间”可得，另一列火车长为（18+19）

X12-208=236（米）。

例题3：

一列火车通过一座长90米的桥需要24秒，如果火车的速度加快

1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒。原来火车每秒行多少

米？

解：

1、根据“火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用

了18秒”可知，如果火车用原来的速度通过222米的隧道，则要用

18X2=36（秒）。

2、隧道比大桥长222-90=132（米），火车要多用36-24=12（秒）

行驶这132米，根据速度=路程+时间，可以求出原来火车每秒行132

4-12=11（米）。

时钟问题

【含义】

就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、

两针成一线、两针夹角为60度等，这类问题可转化为行程问题中的

追及问题。

【数量关系】

分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为5.5度/分。通常按

追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】

将两针重合，两针垂直，两针成一线，两针夹角60°等为“追及

问题”后可以直接利用公式。

例题1：

钟面上从时针指向8开始，再经过多少分钟，时针正好与分针

第一次重合？（精确到1分）

解：

1、此类题型可以把钟面看成一个环形跑道，那么本题就相当于

行程问题中的追及问题，即分针与时针之间的路程差是240°。

2、分针每分钟比时针多转6°-0.5°=5.5°,所以需要240+5.5

仁44（分钟）。也就是从8时开始，再经过44分钟，时针正好与分针

第一次重合。

例题2：

从早晨6点到傍晚6点，钟面上时针和分针一共重合了多少次？

解：

我们可以把钟面看成一个环形跑道，这样分针和时针的转动就可

以转化成追及问题，从早晨6点到傍晚6点，一共经过了12小时，

12个小时分针要跑12圈，时针只能跑1圈，分针比时针多跑

（圈），而分针每比时针多跑1圈，就会追上时针一次，也就是和时

针重合1次，所以12小时内两针一共重合了11次。

例题3：

一部记录中国军队时代变迁的纪录片时长有两个多小时，小明发

现，纪录片播放结束时，手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、

分针的位置交换了一下，这部纪录片时长多少分钟？（精确到1分）

解：

1、解决本题的关键是认识到时针与分针合走的路程是1080°,

进而转化成相遇问题来解决。

2、两个多小时，分针与时针位置正好交换，所以分针与时针所

走的路程和正好是三圈，也就是分针和时针合走了360°X3=1080°,

而分针和时针每分钟的合走6°+0.5°=6.5°,所以合走1080°需要

10804-6.5^166（分钟），即这部纪录片时长166分钟。

和差问题

【含义】

已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫

和差问题。

【数量关系】

大数=（和+差）+2

小数=（和一差）+2

【解题思路和方法】

简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

例题1：

两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水

果重____千克，第二筐水果重____千克。

解：

因为第一筐比第二筐重

1、根据大大数=（和+差）+2的数量关系，可以求出第一筐水果

重（150+⑻+2=84（千克）。

2、根据小数=（和一差）4-2的数量关系，可以求出第二筐水果重

（150-18）4-2=66（千克）。

例题2：

登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家120

名，原来第一组人太多，所以从第一组调了20人到第二组，这时第

一组和第二组人数一样多，那么原来第二组有（）名专家。

解：

1、原来从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数

一样多，说明原来第一组比第二组多20+20=40（人）

2、根据小数=（和一差）:2的数量关系，第二组人数应该为（120-

40）4-2=40（人）。

例题3：

某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间

多10人，第二车间比第三车间多15人，三个车间各有多少人？

解：

1、第一车间比第二车间多io人，第二车间比第三车间多15人，

那么第一车间就比第三车间多25人，因此第三车间的人数是（280-

25-15）4-3=80（人）。

2、据此可得出第一、二车间的人数。

和倍问题

【含义】

已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之

几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】

总和+（几倍+1）=较小的数

总和-较小的数=较大的数

较小的数义几倍=较大的数

【解题思路和方法】

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例题1：

甲、乙两仓库共存粮264吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的10倍。

甲仓库存粮吨，乙仓库存粮吨。

解：

1、根据“甲仓库存粮是乙仓库存粮的10倍”，把甲仓库存粮数

看成“大数”，乙仓库存粮数看成“小数”。

2、根据和倍公式总和+（几倍+1）=较小的数，即可求乙仓库存

粮264+（10+1）=24（吨）。

3、根据和倍公式较小的数X几倍=较大的数，即可求甲仓库存

粮24X10=240（吨）。

例题2：

已知苹果、梨、桃子的总质量为40千克，苹果的质量是桃子的

4倍，梨的质量是桃子的3倍，求苹果、梨、桃子的质量。

解：

1、根据“苹果的质量是桃子的4倍，梨的质量是桃子的3倍”,

把桃子看成1倍数，则苹果是4倍数，梨是3倍数。

2、根据“苹果、梨、桃子的总质量为40千克”和和倍公式：总

和+（几倍+1）=较小的数可求出桃子的质量，404-（4+3+1）=5（千克）。

3、根据桃子质量可以求出苹果和梨的质量。

例题3：

欢欢、乐乐和多多一共带了148元去公园。已知欢欢带的钱数比

乐乐的2倍多1元，多多带的钱数比欢欢多2倍,那么多多带了（）

7Lo

解：

1、在三个量的和倍问题中，我们可以选择其中一个标准量，然

后通过三个量之间的和倍关系进行计算即可。需要注意，多2倍就是

3倍。

2、由题可知，三人里乐乐的钱数最少。我们可以把乐乐看成标

准量，那么欢欢就是2份标准量再加1元。

3、多多比欢欢多两倍，就是2X3=6份标准量再加1X3=3（元）。

4、那么他们三个合起来就是1+2+6=9份标准量再加1+3=4（元）。

5、所以标准量是（148-4）-7-9=16（元），即乐乐带了16元。

6、根据乐乐的钱数可以求出欢欢带了16X2+1=33（元），所以多

多带了33X3=99（元）。

差倍问题

【含义】

已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之

几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】

两个数的差个（几倍-1）=较小的数

较小的数义几倍=较大的数

【解题思路和方法】

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例题1：

莉莉的科技书比故事书多16本，科技书是故事书3倍，莉莉有

科技书（）本。

A、8B、12C、16D、24

解：

1、解决差倍问题，可以画线段图解决，也可以直接套用公式解

决。

2、把故事书的本数看作1倍数，科技书的本数就是3倍数，科

技书比故事书多16本，所以根据差倍公式两个数的差个（几倍—1）

=较小的数，可以求出故事书有16+2=8本。

3、根据差倍公式较小的数X几倍=较大的数，可以求出科技书有

8X3=24本。

例题2：

甲桶油是乙桶油4倍，如果从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油

的重量就相等了，则原来甲桶有油一千克，乙桶有油一千克。

解：

1、根据题意，从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等

了，说明原来甲桶油比乙桶油多15X2=30（千克）。

2、根据差倍公式两个数的差个（几倍-1）=较小的数，可以求出

乙桶有油30+（4-1）=10（千克）。

3、根据差倍公式较小的数又几倍=较大的数，可以求出甲桶原有

油10X4=40（千克）。

例题3：

每件成品需要5个甲零件，2个乙零件。开始时，甲零件的数量

是乙零件数量的2倍，加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量

一样多，那么还可以加工个成品。

解：

1、加工一个成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（个），加工30个

成品，甲零件比乙零件多用3X30=90（个）。根据“加工了30个成品

之后甲零件和乙零件的数量一样多”说明原来甲零件比乙零件多90

个。

2、把乙原来的零件数看成1倍，甲就是这样的2倍，甲比乙多

1倍，对应90个，求出乙原来有90个（2-1）=90（个）

3、那么甲原来有90X2=180（个）零件。

4、每件成品需要5个甲零件，2个乙零件，那么加工30个成品，

甲零件用了5X30=150（个），乙零件用了2X30=60（个），所以甲零

件还剩180-150=30（个），乙零件还剩90-60=30（个）。剩下的甲零

件还能做30+5=6（个）成品，剩下的乙零件还能做30+2=15（个）

成品。因为每件成品需要甲、乙两种零件共同完成，所以剩下的零件

数还可以加工6个成品。

盈亏问题

【含义】

根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈）,

一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这

类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】

一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分

配总量=（盈+亏）:分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总量=（大盈一小盈）子分配差

参加分配总量=（大亏一小亏）个分配差

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例题1:

小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟；如果

每分钟走70米，则可提前5分钟到校，小明家到学校的路程是多少

米？

解：

1、分析题意，类比“盈亏问题”，我们可以把“迟到3分钟”转

化为比计划路程少行50X3=150（米），把“提前5分钟”转化为比计

划路程多行70X5=350（米），这时题目被转化成了“一盈一亏”问题。

2、根据公式，求出原计划到校的时间：（350+150）4-（70-50）

=25（分钟）。

3、所以小明家到学校的路程：50X（25+3）=1400（米），或者70

X（25-5）=1400（米）。

例题2：

若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余

12块；若每人擦6块，正好擦完。擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有

多少块?

解:

1、由题意可知，本题属于分配不均型的盈亏问题，需要将题目

条件转化成一般盈亏问题。“其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，

则余12块”可以转化为“每人擦5块，则余10块二

2、这样就转化为了双盈问题，擦玻璃的有：（10-0）+（6-5）

=10人,玻璃共有10X5+10=60块。

例题3：

动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子分10个

桃子，则有两只猴子没有分到；如果有两只猴子分8个桃子，其余猴

子分9个，则还差3个桃子。一共有多少只猴子？

解：

1、分析题意，题中有两种分配方式，联系“盈亏问题”，我们可

以把“两只猴子没有分到”理解为桃子的数量少2X10=20（个），再

把“有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子”理

解为每只猴子分9个，则还少（9-8）X2+3=5（个）。

2、这时把题目看成“双亏问题”，求出猴子的数量：（20-5）4-

（9-8）=15（只）。

工程问题

【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者

之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数

量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件

工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】

工作量=工作效率X工作时间

工作时间=工作量+工作效率

工作时间=工作总量+（甲工作效率+乙工作效率）

【解题思路和方法】解答工程问题的关键是把工作总量看作单

位“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内

完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、

工作时间三者之间的关系列出算式。

例题1:

一项工程，甲队独做要12天完成，乙队独做要15天完成，两

队合做4天可以完成这项工程的（）。

解：

1、本题考察的是两个人的工程问题，解决本题的关键是求出

甲、乙两队的工作效率之和。进而用工作效率义工作时间=工作量。

1

2、甲队的工作效率为：1+12=运，乙队的工作效率为：1+15=

12_1

话，两队合做4天，可以完成这项工程的（运+话）X4=5o

例题2：

一项工程，甲、乙两队合作30天完成。如果甲队单独做24天

后，乙队再加入合做，两队合做12天后，甲队因事离去，由乙队继

续做了15天才完成。这项工程如果由甲队单独做，需要多少天完

成？

解:

1、我们可以将“甲队单独做24天后，乙队再加入合做，两队

合做12天后，甲队因事离去，由乙队继续做了15天才完成"转化

为“甲、乙两队合做27天，甲再单独做9天”，由此可以求出甲9

1-—x27=——^9=—

天的工作量为：3010,甲每天的工作效率为：1090,

1」=9（K天）

这项工程如果由甲队单独做，需要90。

例题3：

有一项工程，甲单独做需要6小时，乙单独做需要8小时，丙

单独做需要10小时，上午8时三人同时开始，中间甲有事离开，如

果到中午12点工程才完工，则甲上午离开的时间是几时几分？

解：

1、根据题意，知道了甲乙丙的工作时间可求出相应的工作效

率。甲的工作量是全部工作量减去乙丙的工作量，所以甲的工作时

间也可以求出来，即甲上午离开的时间也可以求出来。

-11

2、甲的工作量=1-（8+W）X4=io；

1

甲的工作效率为：1+6=%

113

所以甲的工作时间为：石+6=5（小时）

所以甲离开的时间是8时36分。

百分数问题

【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。

百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分

数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数

只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分

子可以是小数；百分数有一个专门的记号。在实际中和常用到

“百分点”这个概念，一个百分点就是1%,两个百分点就是2%。

【基础知识】百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用

很广泛，常见的百分率有：

增长率=增长数+原来基数X100%

合格率=合格产品数个产品总数X100%

出勤率=实际出勤人数;应出勤人数又100%

出勤率=实际出勤天数个应出勤天数X100%

缺席率=缺席人数+实有总人数X100%

发芽率=发芽种子数+试验种子总数X100%

成活率=成活棵数+种植总棵数又100%

出粉率=面粉重量♦小麦重量X100%

出油率=油的重量+油料重量义100%

废品率=废品数量+全部产品数量X100%

命中率=命中次数+总次数又100%

烘干率=烘干后重量个烘前重量X100%

及格率=及格人数+参加考试人数X100%

【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之

间的数量关系:

百分数=比较量+标准量

标准量=比较量+百分数

【解题思路和方法】一般有三种基本类型：（1）求一个数是另

一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；

（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例题1：

在植树节里，某校六年级学生在校园内种树8棵，占全校植树

数的20%,则该校在植树节里共植树多少棵？

解：

已知六年级学生的种树棵数以及所种棵数占全校植树数的比

值，直接用除法运算即可。所以：84-20%=40（棵）

例题2：

商店新上架了一批连衣裙，第一天卖出总数的25%,第二天卖

出45件，第三天卖出的是前两天卖出的总和的三分一，最后剩下

20件，则商店原先进了多少件连衣裙？

解：

1、把这批连衣裙的总数看作单位“1”，已知第三天卖出的是

1

前两天卖出的总和的三分之一，也就是第三天卖出了25%的）和45

11

的），由此可以求出与（45+45X3+20）对应的分率。

2、根据已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数，

用除法解答。

（45+45X3+20）+（1-25%~25%X3）=120（件）

例题3：

一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，白子占总数的

40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占总数的75%,则原来这堆棋子

一共有多少枚？

解：

1、本题考察的是百分数应用题的相关知识，解决本题的关键是

当一种棋子变化时，抓住另一种棋子的数量不变，统一不变量的份

数，进而解决问题。

2、由条件可知，当拿走49枚黑子时，此时白子的数量没有变

化，那么拿走49枚黑子前，黑子与白子的数量比为（1-40%）：

40%=3：2=9：6,拿走49枚黑子后，黑子与白子的数量比为（「

75%）：75%=1：3=2：6,所以拿走的49枚黑子相当于9-2=7

（份），故每一份是49+7=7（枚）棋子

3、拿走49枚棋子之前，黑子有7X9=63（枚），白子有7X

6=42（枚）。

4、再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的数量没有

变化，所以原来黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原来

这堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。

方阵问题

【含义】

将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知

条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】

(1)方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数=(每边人数

-1)X4每边人数=四周人数+4+1

(2)方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数=每边人数又每边人数

空心方阵：总人数=外每边的人数平方一内每边的人数平方内

每边人数=外每边人数一层数X2

(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，贝IJ：总人数=

(每边人数一层数)义层数X4

【解题思路和方法】

方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自

乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例题1：

一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队

列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。那

么参加团体操表演的运动员一共有多少人？

解：

1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每

边有多少人即可。

2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的

人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数

X2-lo所以开始每边有（23+1）4-2=12（人），参加表演的有12

X12=144（人）□

例题2：

欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子

16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？

解法1:

1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间

的关系，算出每一层的棋子数。

2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。知道最外一层每

边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚

数，就可以求出各层的总数。最外一层的棋子的枚数：（16-1）X

4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）X4=52（枚），第三

层棋子的枚数：（16-2-2-1）X4=1IX4=44（枚），摆这个方阵共

用了60+52+44=156（枚）棋子。

解法2:若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数

=（每边人数一层数）X层数X4。则：（16-3）X3X4=156（枚）

例题3：

一个实心方阵由81人组成，这个方阵的最外层有多少人?

解：

方阵的行数和列数相同，9X9=81,所以这是一个9行9列的方

阵。最外层人数与一边人数的关系：一边人数义4-4=一层人数。所

以最外层的人数是9义4-4=32（人）。

牛吃草问题

【含义】

“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问

题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】

草总量=原有草量+草每天生长量X天数

【解题思路和方法】

解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例题1:

这是一片新鲜的牧场，现有400份草，每天都均匀地生长6份

草。若一开始放26头奶牛，每头奶牛每天吃1份草。这片牧场的草

够奶牛吃多少天？

解：

1、本题考查的是牛吃草的问题，解决本题的关键是要求出每天

新增加的草量，在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余

的牛吃原有的草。

2、由题目可知：原有的草量+新长的草量=总的草量。

奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新长的草。原有的草量是

不变的。每天新长的草量是匀速的，每天都长6份，每头奶牛每天

吃1份，新长的草刚好够6头奶牛吃的量，那么剩下的20头奶牛吃

的就是原有的草，每天吃20份，4004-20=20（天），够吃20天。

例题2：

一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。5台抽水机连续

20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽

干，需要多少台同样的抽水机？

解：

设每台抽水机每天可抽1份水。

5台抽水机20天抽水:5X20=100（份）

6台抽水机15天抽水：6X15=90（份）

每天入库的水量：（100-90）;（20-15）=2（份）

原有的存水量：100-20X2=60（份）

需抽水机台数：604-6+2=12（台）

答：要求6天抽干，需要12台同样的抽水机。

例题3：

某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一

样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30

分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那

么需多少分钟？

解：

1、本题考查的是牛吃草的问题，“旅客”相当于“草”，检票

口相当于“牛”。

2、由题目可知，旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前

已经排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。设1个

检票口1分钟检票的人数为1份。那么4个检票口30分钟检票

4X30=120（份），5个检票口20分钟检票5X20=100（份），多花

了10分钟多检了120-100=20（份），那么每分钟新增顾客数量为

204-10=2（份）。那么原有顾客总量为：120-30X2=60（份）。同

时打开7个检票口，我们可以让2个检票口专门通过新来的顾客，

其余的5个检票口通过原来的顾客，需要60+5=12（分钟）。

鸡兔同笼问题

【含义】

这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只头和多少

只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知

鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二

鸡兔同笼问题。

【数量关系】

第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数=（实际脚数一

2X鸡兔总数）子（4-2）假设全都是兔，则有鸡数=（4X鸡兔总

数一实际脚数）+（4-2）

第二鸡兔同笼问题：假设全是鸡，则有兔数=（2义鸡兔总数一

鸡与兔脚之差）+（4+2）假设全是兔，则有鸡数=（4义鸡兔总数

+鸡与兔脚之差）+（4+2）

【解题思路和方法】

解此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设

都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，

然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使

问题得到解决。

例题1：鸡和兔在一个笼子里，共有35个头，94只脚，那么鸡

有多少只，兔有多少只？

假设笼子里全部都是鸡，每只鸡有2只脚，那么一共应该有35

X2=70（只）脚，而实际有94只脚，这多出来的脚就是把兔子当作

鸡多出来的，每只兔子比鸡多2只脚，一共多了94-70=24（只），

则兔子有24+2=12（只），那么鸡有35-12=23（只）。

例题2：动物园里有鸵鸟和长颈鹿共70只，其中鸵鸟的脚比长

颈鹿多80只，那么鸵鸟有多少只，长颈鹿有多少只？

解：

假设全部都是鸵鸟，则一共有70X2=140（只）脚，此时长颈

鹿的脚数是0,鸵鸟脚比长颈鹿脚多140只，而实际上鸵鸟的脚比

长颈鹿多80只，因此鸵鸟脚与长颈鹿脚的差数多了140-80=60

（只），这是因为把其中的长颈鹿换成了鸵鸟。把每一只长颈鹿换

成鸵鸟，鸵鸟的脚数将增加2只，长颈鹿的脚数减少4只，那么鸵

鸟脚数与长颈鹿脚数的差就增加了6只，所以换成鸵鸟的长颈鹿有

604-6=10（只），鸵鸟有70-10=60（只）。

例题3：李阿姨的农场里养了一批鸡和兔，共有144条腿，如

果鸡数和兔数互换，那么共有腿156条。鸡和兔一共有多少只？

解：

根据题意可得：前后鸡的总只数=前后兔的总只数。把1只鸡和

1只兔子看做一组，共有6条腿。前后鸡和兔的总腿数有

144+156=300（条），所以共有300+6=50（组）,也就是鸡和兔的

总只数有50只。

抽屉问题

【含义】

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，如367个人中

至少有两个人是同一天过生日，这类问题在生活中非常常见，它所

依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。抽屉原理又名狄利克雷原

则，是符合某种条件的对象存在性问题有力工具。

【数量关系】

基本的抽屉原则是：如果把n+1个物体（也叫元素）放到n个

抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，元素的个数是抽屉个

数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k+1）个或更多的元

素。

【解题思路和方法】

目前,处理抽屉原理问题最基本和常用的方法是运用“最不利原

则”，构造“最不利”“点最背”的情形。

例题1：不透明的箱子中有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各20

个，一次至少摸出多少个球才能保证摸出两个相同颜色的球？

解：

解决这个问题要考虑最不利的情况，因为有4种颜色，想要摸

出两个相同颜色的球。那么最不利的情况就是，每种颜色的各摸出

一个，这时再摸一个球，一定与前几个球有颜色相同的。因此至少

要摸4+1=5（个）球。

例题2：袋子中有2个红球，3个黄球，4个蓝球，5个绿球，

一次至少摸出多少