2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第五章　一元函数的导数及其应用5-3-2　第1课时　函数的极值

5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值必备知识基础练1.(2021四川眉山高二期末)函数f(x)=4x3ax22bx+2在x=1处有极大值3,则a+b的值等于()A.9 B.6 C.3 D.22.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)3.函数f(x)=(x1)ex的极小值点为()A.(0,1) B.(0,0) C.1 D.04.若函数f(x)=x32ax+a在(0,1)内无极值,则实数a的取值范围是()A.0,B.(∞,0)C.32D.(∞,0]∪35.(多选题)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的值可以是()A.4 B.3 C.6 D.86.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=23是y=f(x)的极值点,则a+b=.7.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为.

8.设函数f(x)=alnx+12x+32x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.关键能力提升练9.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)10.(2021河南开封高三模拟)设函数f(x)=exx+a,若f(x)的极小值为e,则A.12 B.C.32 D.11.(2021安徽皖北名校高二联考)若函数f(x)=x2(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是()A.(∞,2)∪(2,+∞)B.(0,2)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.{2}12.(多选题)(2021江苏吴县中学高二月考)对于函数f(x)=lnxx2,下列说法正确的是A.函数在x=e处取得极大值1B.函数的值域为-C.f(x)有两个不同的零点D.f(2)<f(π)<f(3)13.若函数f(x)=x3+x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为,若恰有两个极值点,则实数a的取值范围是.

14.(2021安徽示范高中高二联考)已知函数f(x)=xax(a+1)lnx(a∈R)(1)当a=2时,求f(x)的极值;(2)若0<a≤1,讨论f(x)的极值.学科素养创新练15.(2021安徽亳州高二期末)已知函数f(x)=xexexa有且仅有两个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.-4e3,C.-4e3,-16.(多选题)(2021江苏盐城一中、大丰高级中学等四校高二期末联考)世界著名的国际科技期刊《Nature》上有一篇名为《TheUniversalDecayofCollectiveMemoryandAttention》的论文,该文以12个不同领域的数据指出双指数型函数f(x)=C1eλ1x+C2eλ2xA.当C1C2>0且λ1≠λ2时函数f(x)有零点B.当C1C2<0且λ1≠λ2时函数f(x)有零点C.当C1C2λ1λ2<0且λ1≠λ2时函数f(x)有极值D.当C1C2λ1λ2>0且λ1≠λ2时函数f(x)有极值参考答案5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值1.B由题意得f'(x)=12x22ax2b,因为f(x)在x=1处有极大值3,所以f'(1)=12-2a-22.D由题图可知,当x<2时,f'(x)>0;当2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=2处取得极大值,在x=2处取得极小值.3.D由题意得f'(x)=ex+(x1)ex=xex,故f(x)在(∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故当x=0时,f(x)的极小值为f(0)=1,故极小值点为0.4.D∵f(x)=x32ax+a,∴f'(x)=3x22a.∵函数f(x)=x32ax+a在(0,1)内无极值,∴f'(x)=3x22a=0在(0,1)内无实数根.∵0<x<1,∴2a<3x22a<32a,∴2a≥0或32a≤0,∴a≤0或a≥32,故选D5.AD由题意知f'(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不相等的根,所以Δ=4a212(a+6)>0,解得a>6或a<3.6.2∵f'(x)=3x2+2ax+b,∴f'(1)=3,∴a+b=24=2.7.(∞,1)∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.当a≥0时,y'>0,函数y=ex+ax在R上单调递增,没有极值点.当a<0时,令y'=ex+a=0,则ex=a,即x=ln(a).当x∈(∞,ln(a))时,y'<0,当x∈(ln(a),+∞)时,y'>0,故x=ln(a)是函数的极值点.又ln(a)>0,∴a>1,即a<1.8.解(1)f'(x)=ax-12由题意知,曲线在x=1处的切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a12+32=0,(2)由(1)知f(x)=lnx+12x+3f'(x)=1x令f'(x)=0,解得x1=1,x2=13(舍去)当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上是减函数;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上是增函数.故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=3,无极大值.9.D由题图可知,当x<2时,f'(x)>0;当2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数在x=2处取得极大值,在x=2处取得极小值.10.B由已知得f'(x)=ex(x+a-1)(x+a)2(x≠a),令f'(x)=0,有x=1a,且当x<1a时,f'(x)<0,当x>1a时,f'(x)>0,则f(x)的极小值为f(1a)=e1a=11.B因为f(x)=x2(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值,且f'(x)=2xa2+ax=2x2-(a+2)x+ax=(2x-a)(x-1)x(x>0),所以f'(12.ABD函数的定义域为(0,+∞),导数为f'(x)=1x令f'(x)=0,解得x=e.当x变化时,函数f(x),f'(x)的变化情况如下表:x(0,e)e(e,+∞)f'(x)+0f(x)单调递增极大值单调递减所以当x=e时,函数有极大值f(e)=12e,故A正确令f(x)=0得lnx=0,即x=1,当x→+∞时,lnx>0,x2>0,则f(x)>0,作出函数y=f(x)的大致图象,如图所示.由图可知函数的值域为-∞,12e,函数只有一个零点,故C错误;又函数f(x)在(e,+∞)上单调递减,且e<3<π<2,则f(2)<f(π)<f(3),故选ABD.13.[1,5)13,1∵f'(x)=3x2+2xa,函数f(x)在区间(1,1)上恰有一个极值点,∴f'(x)=0有两个不等实根且在(1,1)内恰有一个根.又函数f'(x)=3x2+2xa的对称轴为x=13∴应满足f∴3×-132+2若在(1,1)内恰有两个极值点,则应满足f∴3-2-a>014.解(1)因为当a=2时,f(x)=x2x3lnx所以f'(x)=x2-3x由f'(x)=0得x=1或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,2)2(2,+∞)f'(x)+00+f(x)单调递增极大值1单调递减极小值13ln2单调递增所以当x=1时,f(x)取极大值1;当x=2时,f(x)取极小值13ln2.(2)f'(x)=x2①当a=1时,x∈(0,+∞),f'(x)≥0,f(x)单调递增,函数不存在极值.②当0<a<1时,x∈(a,1),f'(x)<0,x∈(0,a)或x∈(1,+∞),f'(x)>0,因此函数在x=a处取得极大值f(a)=a1(a+1)lna,函数在x=1处取得极小值f(1)=1a.综上,当a=1时,f(x)不存在极值;当0<a<1时,极大值为f(a)=a1(a+1)lna,极小值为f(1)=1a.15.D令函数f(x)=xexexa=0,则有xexex=a.令g(x)=xexex,g'(x)=ex+xexex=xex,∴当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增.∴当x=0时,g(x)取得极小值g(0)=1,显然g(1)=0,当x<1时,g(x)<0恒成立.由此可以画出函数g(x)的大致图象如图所示,由图象可得,要使函数f(x)有且仅有两个不同的零点,只需g(0)<a<0,即1<a<0.故选D.16.BC∵函数f(x)=C1eλ1x+C2eλ2x为双指数型函数,∴令f(x)=C1eλ1x+C2eλ2x=0,得C1eλ∵e(λ2-λ1)x>0,∴C1C2>0,即Cf