(理科)数列通项公式与求和

2014年高考复习数列通项公式求法学生版（理科）巅峰教育：蒋越界一．利用等差等比数列通项公式（公式法）例题分析:例1：设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，求，的通项公式。例2：等差数列的前项和为．求数列的通项。例3：实数列等比数列,成等差数列，求数列的通项。．二．利用数列的前项和，（作差法）例题分析：例1：各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝N*),其中a1=1.Z求数列ak。例2：已知数列的前项和，则其通项=-----；若它的第项满足，则．K=-----例3：设数列满足，．求数列的通项。例4：数列的前项和为，，．求数列的通项例5：已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．求的通项公式。三．利用递推关系1.递推关系其中为常数由递推式得，诸式相加，得，即为（累加法）求数列通项公式。例题分析：例1：数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．求的通项公式．例2：已知数列满足，求数列的通项公式。例3：已知数列满足，且，求数列的通项公式。2.递推关系其中为常数由递推式得，诸式相乘，得，即为（累乘法）求数列通项公式。例题分析：例1：已知数列的首项，其前项和，求数列的通项公式。例2：数列满足且，求数列的通项公式。3.递推关系其中为常数且令，整理得，所以，即，从而，所以数列是等比数列。例题分析：例1：已知数列中，，，求的通项公式。例2：设数列的首项．求的通项公式。例3：已知数列：3，5，7，9，…，，…。另作一数列，使得，且当时，，求数列的通项公式。例4：数列中，设且，求数列的通项公式。4.递推关系其中为常数且，为非常数由递推式两边同除以，得，对此采用3.1中所述的累加法可求。例题分析：例1：在数列中，，其中．求。例2：数列的前项和为且满足，求。5.递推关系其中为常数（1）若时，，即，知为等比数列，对此采用3.1中所述的累加法可求。例题分析：例1：已知数列满足，求数列的通项公式。例2：已知数列中，，求数列的通项公式。（2）若时，存在满足，整理得，有，从而是等比数列，对此采用3.4中所述的方法即可。四．利用倒数变形，,两边取（倒数法）后换元转化为。例题分析：例1：已知数列满足：，求数列的通项公式。例2：数列满足：，且，求。例3：数列满足：，，求数列的通项公式。五．利用归纳猜想例1：设正整数数列满足：，且对于任何，有．求，；（2）求数列的通项．例2：已知点的序列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…（1）写出与之间的关系式（）。（2）设，计算，并求出数列的通项公式。六．利用函数的不动点（方程的特征根）（1）若数列满足，且是方程的最小根，则。例题分析：例1：已知数列满足，求数列的通项公式。（2）若数列满足且。若方程有两个相异实根，则例题分析：例1：已知数列满足，求数列的通项公式。（3）若方程有两个相等实根，且，则。例题分析：例1：已知数列满足，求数列的通项公式。（4）.若数列满足，若是方程的两个相异实根，则例题分析：例1：已知数列满足，求数列的通项公式。例2：已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．（1）求的值（2）已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．(学生版)数列求通项公式1.已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式。2.已知数列的前n项和，其中是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的通项公式；3.已知数列的前项和为，且满足．求数列的通项公式；4.设数列满足，．求数列的通项；5.数列的前项和为，，．求数列的通项；6、.设数列{an}的前项的和Sn=（an-1）(n)．(Ⅰ)求a1；a2；(Ⅱ)求证数列{an}为等比数列．7.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．求数列的通项公式；8.已知数列的前n项和Sn满足(Ⅰ)写出数列的前3项(Ⅱ)求数列的通项公式．9.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项．求数列{an}与{bn}的通项公式；10.已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；11.已知数列满足，求数列的通项公式。2014年高考复习数列通项公式求法教师版（理科）巅峰教育：蒋越界一．利用等差等比数列通项公式(公式法)例题分析：例1：设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，求，的通项公式。解析：设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，．所以，．例2：等差数列的前项和为．求数列的通项。解析：由已知得，，故．例3：实数列等比数列,成等差数列，求数列的通项。解析：设等比数列的公比为，由，得，从而，，．因为成等差数列，所以，即，．所以．故．二.利用数列的前项和，（作差法）例题分析：例1：各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝求数列ak。解析：当，由及，得．当时，由，得．因为，所以．从而．，．故．例2：已知数列的前项和，则其通项；若它的第项满足，则．例3：设数列满足，．求数列的通项。解析：验证时也满足上式，例4：数列的前项和为，，．求数列的通项解析：∵an+1=2Sn,,∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.又∵S1＝a1=1,∴数列｛Sn｝是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*).∴当n2时，an-2Sn-1=2·3n-2(n2),∴an=例5：已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．求的通项公式。解析：由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去．因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为．三．利用递推关系1．递推关系其中为常数（累加法）由递推式得，诸式相加，得，即为累加法求数列通项公式。例题分析：例1：数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．求的通项公式．解析：，，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．当时，由于，，，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以．例2：已知数列满足，求数列的通项公式。解析：当时，当时，也满足上式，故。例3：已知数列满足，且，求数列的通项公式。解析：两边同除以，得，令，有：，且，从而，故。递推关系其中为常数（累乘法）由递推式得，诸式相乘，得，即为累乘法求数列通项公式。例题分析：例1：已知数列的首项，其前项和，求数列的通项公式。解析：由，得，所以故，诸式相乘得，即，当时也满足上式。故。例2：数列满足且，求数列的通项公式。解析：，即，从而。3．递推关系其中为常数且令，整理得，所以，即，从而，所以数列是等比数列。例题分析：例1：已知数列中，，，求的通项公式。解析：．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即的通项公式为，．例2：设数列的首项．求的通项公式。解析：由整理得．又，所以是首项为，公比为的等比数列，得例3：已知数列：3，5，7，9，…，，…。另作一数列，使得，且当时，，求数列的通项公式。解析：由已知得，有，所以，故。例4：数列中，设且，求数列的通项公式。解析：由得，令，有，则，所以，从而，故。4．递推关系其中为常数且，为非常数由递推式两边同除以，得。对此采用累加法可求。例题分析：例1：在数列中，，其中．求。解析：由N可得所以为等数列，其公差为1，首项为0.故所以数列的通项公式为例2：数列的前项和为且满足，求。解析：由有：，两式相减得：即：，两边同除以，得：，令，则，从而。故。5．递推关系其中为常数（1）若时，，即，知为等比数列，对此采用累加法可求。例题分析：例1：已知数列满足，求数列的通项公式。解析：由两边减去得：，所以是公比为，首项为的等比数列，所以，即，即例2：已知数列中，，求数列的通项公式。解析：由两边减去得：，所以是公比为，首项为的等比数列，所以，即，即（2）若时，存在满足，整理得，有，从而是等比数列，对此采用3.4中所述的方法即可。四.利用倒数法变形，,两边取倒数后换元转化为。例题分析：例1：已知数列满足：，求数列的通项公式。解析：取倒数：是等差数列，例2：数列满足：，且，求。解析：将条件变为：1－＝，因此为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得＝。例3：数列满足：，，求数列的通项公式。解析：，所以，令，则，因而是首项为，公差为的等差数列，所以，故。五．利用归纳猜想例1：设正整数数列满足：，且对于任何，有．求，；（2）求数列的通项．解析：由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得因为时，，所以．，所以．又，所以．故，即时，成立．由1，2知，对任意，．例2：已知点的序列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…（1）写出与之间的关系式（）。（2）设，计算，并求出数列的通项公式。解析：（1）当（2）由此推测，下面用数学归纳法证明：②②假设当n=k时公式成立，即成立，那么当n=k+1时公式仍成立综上对任意公式都成立。六．利用函数的不动点（方程的特征根）1.若数列满足，且是方程的最小根，则。例题分析：例1：已知数列满足，求数列的通项式。解析：令，则是其最小根，得，由题意知两边取对数，得，两边同时加1，得：，故是首项为公比为2的等比数列，所以，故。2．若数列满足且。（1）若方程有两个相异实根，则例题分析：例2：已知数列满足，求数列的通项公式。解析：令，得为其两根，所以有，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故。（2）若方程有两个相等实根，且，则。例题分析：例3：已知数列满足，求数列的通项公式。解析：令，得为其根，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，故（3）若数列满足，若是方程的两个相异实根，则例题分析：例4：已知数列满足，求数列的通项公式。解析：令，得为其两根，所以，两边取对数，得，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，故。例5：已知函数，是方程的两个根是的导数．设，（1）求值；（2）已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．解析：(1)求根公式得,(2)∴数列是首项,公比为2的等比数高考（理科）数列求通项公式(教师版)一．用作差法求通项公式1..已知中，，其前项和与满足（）（1）求证：为等差数列（2）求的通项公式解析：（1）∴∴是首项为1，公差为2的等差数列∴（2）∴又∵∴2.已知在正整数数列中，前项和满足（1）求证：是等差数列（2）若，求的前n项和的最小值解析：（1）∴时，整理得：∵是正整数数列∴∴∴是首项为2，公差为4的等差数列∴（2）∴为等差数列∴∴当时，的最小值为二．用累加法的方法求通项公式1．已知满足，求的通项公式。解析：∵∴……对这（）个式子求和得：∴2．已知的首项，（）求通项公式。解析：……∴三．用累乘法求通项公式1.已知：，（）求数列的通项。解析：∴，且求数列通项公式。2.已知中，且求数列通项公式。解析：∴∴四．用构造法（构造等差、等比数列）通项公式1.已知满足，求通项公式。解析：设∴∴是以4为首项，2为公比为等比数列∴∴2.已知中，，，求。解析：由，得∴……∴∴3.已知中，，（）求。解析：由得：∴即是等比数列∴4.已知中，，（）求。解析：由得∴成等差数列，∴5.已知：，时，，求的通项公式。解析：设∴解得：∴∴是以3为首项，为公比的等比数列∴∴五．用倒数法求通项1.已知中，，（）求。解析（）设即∴是等差数列∴2.数列中，，，求的通项。解析：∴设∴∴∴……∴∴∴1.已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式。2.已知数列的前n项和，其中是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的通项公式；3.已知数列的前项和为，且满足．求数列的通项公式；4.设数列满足，．求数列的通项；解析：因为 ①所以 ②所以②式－①式得则则所以 ③由，取n=2得，则，又知，则，代入③得。5.数列的前项和为，，．求数列的通项；6、.设数列{an}的前项的和Sn=（an-1）(n)．(Ⅰ)求a1；a2；(Ⅱ)求证数列{an}为等比数列．解析：(Ⅰ)由,得∴又,即,得.(Ⅱ)当n>1时,得所以是首项,公比为的等比数列．7.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．求数列的通项公式；解析：设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）.8.已知数列的前n项和Sn满足(Ⅰ)写出数列的前3项(Ⅱ)求数列的通项公式．解析：当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：化简得：上式可化为：故数列{}是以为首项,公比为2的等比数列.故∴数列{}的通项公式为：.9.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项．求数列{an}与{bn}的通项公式；10.已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；11.已知数列满足，求数列的通项公式。解析：设 ④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，得 ⑤由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。2014年高考(理科)复习(学生版）数列求和巅峰教育：蒋越界数列求和的常用方法:1.公式法:直接应用等差数列,等比数列的前n项和公式,以及公式等.2.倒序相加法:如果一个数列,与首末两项等”距离”的两项之和等于首末两项之和,可采用把这个和中的项颠倒顺序,然后将两式相加,从而求得.3.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积所构成,则此时可把其前n项和的表示式两边同时乘以公比,然后两式相减,从而求得.4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项(或多项)之差,在求和时一些正负项相互抵消,从而求得其和,5.分组转化法(或并项法):把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化为等差数列或等比数列,然后利用相关的求和公式求得.例题精析考点一：公式法与分组求数列的和例1.求前n项和.1.(2012年高考重庆卷理科11)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和考点二：裂项相消法求数列的和例2.（2010年高考山东卷理科18）已知等差数列满足：，.的前n项和为.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.2.计算=.考点三：错位相减法求数列的和例3.(2012年高考浙江卷理科19)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.（1）求an，bn；（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.变式训练3.(山东省济南市2012年2月高三定时练习)已知数列为等差数列，且，；设数列的前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若为数列的前项和，求问题：错位相减法求数列的和例4.(2012年高考江西卷理科16)已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列的前n项和Tn。课时作业1.(2012年高考重庆卷)在等差数列中，,则的前5项和=()A.7B.15C.20D.252．(2012年高考全国卷)已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为()A．B．C．D．3．（2009年高考湖南卷）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于()A．13B．35C．49D.234．（2011年高考重庆卷理科16)设是公比为正数的等比数列，，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.5.(2011年高考全国新课标卷)等比数列的各项均为正数，且(1)求数列的通项公式.(2)设求数列的前项和.考题回放1.(2012年高考辽宁卷)在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=()(A)58(B)88(C)143(D)1762.(2012年高考天津卷)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和,,则的值为()A．-110B．-90C．90D．1103.(2011年高考安徽卷理科7)若数列的通项公式是,则()（A）15(B)12(C)(D)4.(2012年高考福建卷理科11)数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于()A.1006B.2012C.503D.05.(2011年高考辽宁卷)已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列的前n项和.6.(山东省济南市2012年2月高三定时练习)已知公差大于零的等差数列，且为等比数列的前三项.求的通项公式；设数列的前n项和为，求．(学生版)数列求和综合测试题一、选择题(每小题7分，共35分)1．在等比数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1，a4＝eq\f(1,8)，则该数列的前10项和为()A．2－eq\f(1,28) B．2－eq\f(1,29)C．2－eq\f(1,210) D．2－eq\f(1,211)2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－23．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于()A．126 B．130 C．132 D．1344．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200 B．－200 C．400 D．－4005．数列1·n,2(n－1),3(n－2)，…，n·1的和为()A.eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2) B.eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)C.eq\f(1,3)n(n＋2)(n＋3) D.eq\f(1,3)n(n＋1)(n＋2)二、填空题(每小题6分，共24分)6．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝________.7．已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn＝2－3an，则an＝__________.8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和Sn＝________.9．设关于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝eq\f(1,log3an·log3an＋1)，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn<1.11．(14分)已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差 中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝anlogeq\f(1,2)an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>50成立的最小正整数n的值．12．(14分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,n(an＋3))(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn>eq\f(t,36)总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．高考(理科)复习(教师版）数列求和巅峰教育：蒋越界1.公式法:直接应用等差数列,等比数列的前n项和公式,以及公式等.2.倒序相加法:如果一个数列,与首末两项等”距离”的两项之和等于首末两项之和,可采用把这个和中的项颠倒顺序,然后将两式相加,从而求得.3.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积所构成,则此时可把其前n项和的表示式两边同时乘以公比,然后两式相减,从而求得.4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项(或多项)之差,在求和时一些正负项相互抵消,从而求得其和,5.分组转化法(或并项法):把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化为等差数列或等比数列,然后利用相关的求和公式求得.例题精析考点一：公式法与分组求数列的和例1.求前n项和.解析：设所求的前n项和为，则=（1+2+3++）+=.例2.(2011年高考辽宁卷)已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列的前n项和.解析：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得例3：证明：(1)注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n)代入已知第二条式子得：S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/nnS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)nS(n+1)=S(n)*(2n+2)S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0所以{S(n)/n}是等比数列(2)由(1)知，{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)即S(n)=n*2^(n-1)(*)代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n得a(n+1)=(n+2)*2^(n-1)(n属于N)即a(n)=(n+1)*2^(n-2)(n属于N且n>1)又当n=1时上式也成立所以a(n)=(n+1)*2^(n-2)(n属于N)由(*)式得：S(n+1)=(n+1)*2^n=(n+1)*2^(n-2)*2^2=(n+1)*2^(n-2)*4对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n)例4：答案：（1）a1=S1=1/3(a1-1)a1=-1/2a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/23a2=a2-1+3/22a2=1/2a2=1/4（2）3Sn=an-13S(n-1)=a(n-1)-1相减：3an=an-a(n-1)2an=-a(n-1)an/a(n-1)=-1/2所以{an}为等比数列！1.（2009年高考湖南卷）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于(C)A．13B．35C．49D.232．（2011年高考重庆卷理科16)设是公比为正数的等比数列，，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.解析：（I）设q为等比数列的公比，则由，即，解得（舍去），因此考点二：裂项相消法求数列的和例1.（2010年高考山东卷理科18）已知等差数列满足：，.的前n项和为.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.例2：(山东省济南市2012年2月高三定时练习)已知公差大于零的等差数列，且为等比数列的前三项.求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求．：1计算=.2.(2012年高考全国卷)已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为(A)A．B．C．D．3(2011年高考全国新课标卷)等比数列的各项均为正数，且求(1)数列的通项公式.(2)设求数列的前项和.考点三：错位相减法求数列的和例1.(2012年高考浙江卷理科19)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.（1）求an，bn；（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.例2.(2012年高考江西卷理科16)已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列的前n项和Tn。例3.(山东省济南市2012年2月高三定时练习)已知数列为等差数列，且，；设数列的前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若为数列的前项和，求解析：变式训练1.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，．所以，．（2）．①②②－①得，(教师版)数列求和综合测试题一、选择题1．在等比数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1，a4＝eq\f(1,8)，则该数列的前10项和为(B)A．2－eq\f(1,28) B．2－eq\f(1,29)C．2－eq\f(1,210) D．2－eq\f(1,211)2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(C )A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－23．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于(C )A．126 B．130 C．132 D．1344．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(B )A．200 B．－200 C．400 D．－4005．数列1·n,2(n－1),3(n－2)，…，n·1的和为(A)A.eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2) B.eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)C.eq\f(1,3)n(n＋2)(n＋3) D.eq\f(1,3)n(n＋1)(n＋2)二、填空题6．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(1,3)(4n－1.7．已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn＝2－3an，则an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1.8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和Sn＝eq\f(n,n＋1)9．设关于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为10100三、解答题(共41分)10．(13分)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝eq\f(1,log3an·log3an＋1)，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn<1.解(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2Sn＝3an－3，,2Sn－1＝3an－1－3))(n≥2)．故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1(n≥2)．故数列{an}为等比数列，且公比q＝3.又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n.(2)证明∵bn＝eq\f(1,n(n＋1))＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－e