圆与扇形-2021年中考数学真题分项汇编（浙江专用）（解析版）

专题08圆与扇形

一、填空题

1.（2021•浙江杭州市）如图，已知的半径为1,点P是外一点，且OP=2.若PT是的切线，T为

切点，连接OT,则PT=.

【答案】y/3

【分析】

根据圆的切线的性质，得NO7P=90。，根据圆的性质，得07=1,再通过勾股定理计算，即可得到答案.

【详解】

是。。的切线，7为切点

二NO7P=90°

PT^^OP1-OT2

,/GO的半径为1

OT=\

；•PT=4OP，-OTT爰-I=.

故答案为：百.

【点睛】

本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、勾股定理的性质，从而完成求解.

2.（2021•浙江台州市）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30。，得到线段AC.若A8=12,则点3经过的路径BC

长度为,（结果保留兀）

【答案】2兀

【分析】

直接利用弧长公式即可求解.

【详解】

故答案为：2%.

【点睛】

本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键.

3.（2021•浙江宁波市）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图，分别

与。。相切于点C,D,延长AC,B£>交于点P.若NP=120°,。0的半径为6cm,则图中co的长为

cm.（结果保留"）

【答案】2兀

【分析】

连接。C、O£>,利用切线的性质得到NOCP=NO。尸=90°,根据四边形的内角和求得NCO£>=60°,再利用弧

长公式求得答案.

【详解】

连接OC、OD,

vAC,BD分别与QO相切于点C,D,

/OCP=NODP=90。,

,/NP=120°，ZOCP+ZODP+ZP+ZCOD=360°，

ZCOD=60°,

CD的长=6（^-6=%（cm）,

1oU

故答案为：27r.

【点睛】

此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是

解题的关键.

4.（2021•浙江温州市）若扇形的圆心角为30。，半径为17,则扇形的弧长为.

【答案】--TC

6

【分析】

根据弧长公式/=3求解即可.

180

【详解】

:扇形的圆心角为30。，半径为17,

307xl717

，扇形的弧长=----TC.

1806

17

故答案为：—

6

【点睛】

本题考查了弧长计算，熟记弧长公式是解题的关键.

5.（2021.浙江温州市）如图，与AOLB的边相切，切点为B.将AQW绕点3按顺时针方向旋转得到

△O'AB',使点。'落在上，边A'B交线段A0于点C.若NA'=25。，则NOCB=度.

【答案】85

【分析】

连结OO',先证△80。为等边三角形,求出乙4。8=/。8。=60。，由与△Q4B的边AB相切，可求/CBO==30。,

利用三角形内角和公式即可求解.

【详解】

解：连结OO',

•••将△。钻绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B',

：.BO'=BO=OO',

...△800为等边三角形，

ZOBO'=60°,

,/。。与AOU5的边AB相切，

：.ZOBA=ZO'BA'=()0o,

ZCBO=90°-ZOBO'=90°-60°=30°,

'：ZA'=25°

：.//'O6=90°-N4'=90°-25°=65°

ZAOB=ZA'O'B=65°,

：.ZOCB=180°-ZCOB-N08C=180°-65°-30°=85°.

故答案为85.

【点睛】

本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质，等

边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键.

6.(2021•浙江嘉兴市)如图，在AABC中，ZBAC=30°，Z4Cfi=45°,AB=2，点P从点A出发沿A8方向

运动，到达点8时停止运动，连结CP,点A关于直线CP的对称点为A'，连接AC,A'P.在运动过程中，点A'

到直线AB距离的最大值是；点P到达点5时，线段W尸扫过的面积为.

【答案】书R11+当卜-1-6

【分析】

(1)通过分析点4的运动轨迹，是以点C为圆心，CA为半径的圆上，从而求解；

(2)画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解

【详解】

解：(1)由题意可得点4的运动轨迹是以点C为圆心，CA为半径的圆上，

；点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，44cB=45°，点A关于直线CP的对称点为A'，

NACA，最大为90°

当C4UAB时，点4到直线A8的距离最大，如图

过点8作BE1AC

VABAC=30°,ZACB=45°,AB=2,

.•.在心△48E中，BE=l,AE=6,

在RfABCE中,BE=CE=l

CA'=CA=y/3+1

又：CA」AB

在放AACF中，CF=J_AC=@^^

22

.'.A'尸=A'C-C尸

2

即点A'到直线AB距离的最大值是避土!•；

2

点P到达点B时，线段4尸扫过的面积为：

S扇形A'CA一2s△ABC="(f+l)__2X；x(V3+1)X1=[1+等＞一1一百

故答案为：包J1+且]-1—0

2I2}

【点睛】

本题考查轨迹，含30。直角三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问

题，属于中考常考题型.

二、单选题

7.（2021•浙江衢州市）已知扇形的半径为6,圆心角为150°.则它的面积是（）

3

A.一乃B.3万C.5万D.15万

2

【答案】D

【分析】

已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式5=如上直接计算即可.

360

【详解】

故选：D

【点睛】

本题考查扇形面积公式的知识点，熟知扇形面积公式及适用条件是解题的关键.

8.（2021・浙江绍兴市）如图，正方形ABC。内接于点尸在AB上，则/尸的度数为（）

口

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】

连接。8,OC,由正方形A8CO的性质得400=90°,再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论.

【详解】

解：连接OB,OC,如图，

D

•••正方形48co内接于00,

4OC=9（）°

NBPC=-ZBOC=-x90°=45°

22

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

9.（2021.浙江嘉兴市）已知平面内有和点A,B,若OO半径为2cm,线段。4=3cm,OB=2cm,则直

线AB与。。的位置关系为（）

A.相离B.相交C.相切D.相交或相切

【答案】D

【分析】

根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

【详解】

解：的半径为2cm,线段。A=3cm,线段0B=2cm,

即点A到圆心0的距离大于圆的半径，点B到圆心0的距离等于圆的半径，

点A在0。外.点8在OO上，

直线A8与。0的位置关系为相交或相切，

故选：D.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键.

10.（2021•浙江省宁波市）如图，已知点。是3c的外心，NA=40°,连结BO,CO,则NBO。的度数是

（）.

o

B七-------------------

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】

结合题意，根据三角形外接圆的性质，作再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案.

【详解】

△A6c的外接圆如下图

VZA=40°

；•ZJBOC=2ZA=80°

故选：c.

【点睛】

本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解.

11.（2021.浙江丽水市）如图，是OO的直径，弦CD_LQ4于点E,连结若。。的半径为

m,NAQZ）=Na,则下列结论一定成立的是（）

2

A.OE=mtanaB.CD=2msinaC.AE=m-cosaD.S^COD=m-sina

【答案】B

【分析】

根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答.

【详解】

解：是。。的直径，弦CD_LQ4于•点E,

DE=-CD

2

在用AEDO中，OD=m,ZAOD=Za

・DE

..tana=-----

OE

：.0E=*包故选项4错误，不符合题意;

tana2tana

、.DE

又sin。=---

OD

，DE=OD^ina

CD=2OE=2m・sina，故选项B正确，符合题意;

OE

又cosa-

~OD

OE-OD*cosa=m»cosa

AO=DO-m

AAE=AO-OE^m-mcosa,故选项C错误，不符合题意；

CD=2m«sina,OE-m«cosa

11,

•*.S.=—CDxOE=—x2/n»sinax/j/cosa=m~sina»cosa,故选项。错误，不符合题意；

rnr）22

故选B.

【点睛】

本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角

函数的定义.

12.（2021.浙江省温州市）如图，已知在矩形ABCD中，AB=1,8C=百，点P是A。边上的一个动点，连结5P，

点C关于直线的对称点为G，当点P运动时，点G也随之运动.若点P从点A运动到点。，则线段CG扫过

的区域的面积是（）

「3百

A.nB.3D.2兀

42

【答案】B

【分析】

先判断出点。在以8c为直径的圆弧上运动，再判断出点Ci在以3为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点尸

与点A重合时，点P与点。重合时，点Ci运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可.

【详解】

解：设8P与CG相交于Q,则N8QC=90。,

当点P在线段运动时，点Q在以8c为直径的圆弧上运动,

延长CB到E,使8E=BC,连接EC,

VC,Cl关于PB对称.

NEGC=N8QC=90。，

.•.点G在以8为圆心，8c为直径的圆弧上运动，

当点P与点A重合时，点G与点E重合，

当点P与点。重合时，点Ci与点厂重合，

PCAB16

此时，tan/PBC

/./P8C=30°,

:./FBP=/PBC=30°,CQ=-BC^—，BQ=y/3CQ=-,

222

oo

ZFB£=180°-30-30=120°,SRrF=-CC,xBQ==^~,

皿2224

线段cc扫过的区域的面积是i20%x（G）[S=乃+述.

360H4

故选：B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩

形的性质和轴对称的性质是解题的关犍.

13.（2021•浙江金华市）如图，在R/AABC中，NACB=9O。，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形

S.

的顶点E,EG,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为5，AAbC面积为邑，则U■的值是（)

【答案】C

【分析】

先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根

据直角三角形斜边中线的性质得到S2=；AS2,再由勾股定理解得。尸=；A82,解得S1=54B2•万，据此解

题即可.

【详解】

解：如图所示，•••正方形的顶点瓦凡都在同一个圆上，

，圆心O在线段的中垂线的交点上，即在RhASC斜边48的中点，且AC=MC,BC=CG,

：.AG=AC+CG=AC+BC,BM=BC+CM=BC+AC,

：.AG=BM,

又.：OG=OM,OA=OB,

/.△AOGQ^BOM,

:・NCAB=/CBA,

*.•ZACB=90°,

AZCAB=ZCBA=45°,

OC=-AB,

2

：.S,=-ABOC=-AB-AB=-AB-

22224

OF2=AO1+AF2=(-AB)2+AB2=-AB2

24

S.=7rOF2=-AB2-7T,

'4

故选：C.

【点睛】

本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌

握相关知识是解题关键.

三、解答题

14.（2021•浙江衢州市）如图，在AABC中，CA=CB,BC与OA相切于点£>,过点A作4C的垂线交CB的延

长线于点E,交0A于点F,连结8F.

BDC

(1)求证：BF是G)A的切线.

(2)若BE=5,AC=20,求EF的长.

【答案】(1)见解析；(2)3

【分析】

(1)连接AD，根据题意证明△AMMaABD，即可证明B尸是。A的切线；

(2)根据题意即(1)的结论可得列比例求出阳的长，根据勾股定理求所即可.

【详解】

(1)证明如图，连接AO，

.CA=CB,

/CAB=ZABC，

-,-AE1AC,

：.ZCAB+ZEAB^90°

又QeA切8c于点。，

ZA£>B=90°，

:.ZABD+ZBAD=90°,

:.ZBAE=ZBAD.

又AF=AD<

:./\ABF丝△ABD(SAS),

:.ZAFB^ZADB=9QP,

是OA的切线.

(2)山(1)得：ZAFB=ZFAC=90°,

:.BF//AC,

.△BEF^/\CEA,

BEBF

"'CE~~CA'

-,-CB=CA=20,BE=5,

.___5____B_F_

,5+20-^0'

:.BF=4.

EF=ylBE2-BF2=552-42=3-

【点睛】

本题主要考查圆切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟知知识

点、作出合理辅助线是解决本题的关键.

15.(2021•浙江杭州市)如图，锐角三角形ABC内接于OO,NB4C的平分线4G交O。于点G,交边于点

F，连接8G.

⑴求证：

(2)已知43=。，AC=AF^h,求线段FG的长(用含“，。的代数式表示).

⑶已知点E在线段Af上(不与点A,点尸重合)，点。在线段AE上(不与点A,点£重合)，ZABD=ZCBE,

求证：BG°=GEGD.

【答案】⑴见解析；⑵尸G=j；(3)见解析

【分析】

(1)由题目已知角平分线相等得到两个相等，同弧所对的两个圆周角相等，从而证明两三角形相似；

(2)山(1)中的相似可以得到线段成比例，再由FG=AG-A厂即可求得：

(3)要证BG2=GEGD即证ADGBS/\BGE,已知条件有一对角相等,利用外角关系可以证明ZBDG=NEBG，

从而得证.

【详解】

(1)因为AG平分N3AC,

所以/R4G=NE4C,

又因为NG=NC,

所以△ABGs/XAf'C.

_uAABAG

(2)由(1),知一

AF~AC

因为AC=AE,

所以AG=A8,

所以EG=AG—AF=a—h.

(3)因为NC4G=NCBG，

又因为NB4G=/C4G，

所以NBAG=NCBG，

因为NABD=NCBE，

所以ZBDG=ZBAG+ZABD=ZCBG+ZCBE=AEBG，

又因为NDGB=NBGE,

所以ADGBSABGE，

,.,GDBG

所C以1——=——，

BGGE

所以BG?=GEGO.

【点睛】

本题考查了圆的圆周角概念，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，解题关键是要根据已知条件

找到相似的两个三角形并通过角度的转换从而证明相似.

16.（2021•浙江台州市）如图，BD是半径为3的。。的一条弦，80=40,点A是。。上的一个动点（不与点B,

。重合），以A,B,。为顶点作平行四边形ABCD

（1）如图2,若点A是劣弧8。的中点.

①求证：平行四边形ABC。是菱形；

②求平行四边形ABCD的面积.

（2）若点A运动到优弧80上，且平行四边形ABC。有一边与。。相切.

①求AB的长；

②直接写出平行四边形ABC。对角线所夹锐角的正切值.

【答案】①证明见解析；②80；（2）①AB的长为|后或4&；②|行

【分析】

（1）①利用等弧所对的弦相等可得AD=45,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；②连接AO,交BD

于点E,连接0。，根据垂径定理可得OE=BE=2也，利用勾股定理求出0E的长，即可求解；

（2）①分情况讨论当8与。。相切时、当BC与。。相切时，利用垂径定理即可求解；②根据等面积法求出A”

的长度，利用勾股定理求出。，的长度，根据正切的定义即可求解.

【详解】

解：（1）①：点A是劣弧80的中点，

,"AD=AB'

；•AD=AB，

四边形ABCD是平行四边形，

平行四边形A8C。是菱形：

②连接A。，交BD于点E,连接。£>,

：点A是劣弧50的中点，0A为半径,

AOA1BD,0A平分8。，

DE=BE=2V2.

•••平行四边形ABC。是菱形，

••.E为两对角线的交点，

在Rt^OOE中，OE=Jor>2一。后2=]

•*-AE=2,

S成口=gBD.AEx2=8\/2；

(2)①如图，当CD与。。相切时，连接并延长，交AB于点、F,

与。0相切，

/.DF工CD,

AB=2BF，

•••四边形A8C。是平行四边形，

•••ABHCD,

DF工AB，

在RtABDF中，BF2=3£>2一。=32一（O尸+3）2,

在尸中，BF?=B<?2一。尸2=9一。尸2,

,7

•••32—（。尸+3）一=9一。尸2,解得。尸=§,

二BF=-y/2,

3

O

/.AB=2BF=-42

3i

如图，当8c与相切时，连接8。并延长，交A。于点G,

4i-7

同理可得4G=DG=—J2,0G=~,

33

所以AB=JBG2+AG2=4近，

综上所述，AB的长为|夜或4血；

②过点A作A”，8。，

o71A

由（2）得：BD=4^2,AD=-y/2,BG=3+-=—,

333

根据等面枳法可得-BDAH=-ADBG,

32

解得AH=—

9

8

A2

在在RtAA£>”中，DH=y[AD^-9-

...印=2&—萨=当0,

...AH8rr

••tan/AIH-....=—72.

HI5

【点睛】

本题考查垂径定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等内容，掌握分类讨论的思想是解题的关键.

17.(2021•浙江宁波市)如图1,四边形ABCD内接于O。，B。为直径，AO上存在点与满足AE=C。，连

结BE并延长交CD的延长线于点F,BE与AD交于点G.

(1)若ZDBC=a,请用含a的代数式表列ZAGB.

(2)如图2,连结CE,CE=BG.求证；EF=DG.

(3)如图3,在(2)的条件下，连结CG,AG=2.

①若tan/AOB=Y3,求△尸GO的周长.

2

②求CG的最小值.

【答案】(1)NAGB=90°-a：(2)见解析；(3)①上!卫；②百

2

【分析】

(1)利用圆周角定理求得NR4D=90°,再根据4E=CO,求得NA5G=N08C=a,即可得到答案；

(2)由/BEC=NBZ)C=90°-a,得到NBEC=4G3,从而推出=NBGD，证得

^CFE^BDG(ASA),由此得到结论；

(3)①连结OE.利用己知求出43=走4。=6,证得ZM=CE，得到BG=AO=2,利用中,

2

根据正弦求出NAG3=60°,AG=LBG=1,求出EF的长，再利用RfZkDEG中，NEGO=60°,求出EG及

2

DE,再利用勾股定理求出OF即可得到答案;

BHCH

②过点C作C〃_L3尸于H,证明注ACHR(AAS),得到77/=4),证明△5“8屋勿尸，得到

设G〃=x,得到C〃2=2(2—x),利用勾股定理得到CG2=G”2+C"2,求得

CG2=X2+2(2-X)=(X-1)2+3,利用函数的最值解答即可.

【详解】

解：(1)为的直径，

/.ZA4D=90°,

AE=CD>

:.ZABG=ZDBC=a,

：.ZAG3=90°-a.

(2):鸟。为的直径，

:.48=90。，

ZBEC=ZBDC=90°-a,

NBEC=ZAGB,

NCEF=180。—ZBEC,/BGD=180。一ZAGB,

Z.CEF=ZBGD.

又,?CE=BG,ZECF=乙GBD,

^CFE^BDG^ASA),

:.EF=DG.

(3)①如图，连结£>£.

,/80为的直径，

二ZA=NBED=90。.

在RtAABO中，tan^ADB=—•AD=2,

2

AB=—AD=s[3.

2

AE=CD-

••AE+DE=CD+DE，

即DA=CE，

:.AD=CE.

*/CE=BG，

BG=AD=2.

•••在E/AABG中，sinZAGB=—=—

BG2

，ZAGB=60。,AG=-BG=\,

2

EF=DG=AD-AG=1.

•••在心△OEG中，NEG。=60°,

•1M1A/3MG

••EG=—DGnF=—,DE=—DG=­.

2222

在RNFED中,DF=dEF?+DE?=£

FG+DG+DF^5--，

2

•••△EG。的周长为"互.

2

②如图，过点C作CH_L8尸于从

,/^BDG^CFE,

BD=CF,NCFH=ABDA.

,/ZBAD=NCHF=90°,

：.ABAD^ACHF(AAS).

FH=AD、

,/AD=BG,

，FH=BG.

,/ZBCF=90°,

，NBCH+NHCF=90。.

,/ZBCH+ZHBC=90°,

二ZHCF=/HBC，

,：ZBHC=ZCHF=90°,

•••ABHCS^CHF,

.BHCH

,~CH~~FH

设G"=x,

••・BH=2-x,

：.CH2=2(2-x).

在中，CG2=GH2+CH2

：.CG2=X2+2(2-X)=(X-1)2+3,

当x=l时，CG?的最小值为3,

.二CG的最小值为由.

【点睛】

此题考查圆周角的定理，弧、弦和圆心角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判

定，函数的最值问题，是一道综合的几何题型，综合掌握各知识点是解题的关键.

18.（2021.浙江金华市）在扇形AOB中，半径。4=6,点P在。4上，连结P8,将AOBP沿PB折叠得到△O'BP.

图1图2

(1)如图1,若NO=75°,且30'与AB所在的圆相切于点R

①求NAPO'的度数.

②求AP的长.

(2)如图2,8。与4B相交于点。，若点。为48的中点，且产。〃08,求人8的长.

]2乃

【答案】(1)①60。；②6—2遥；(2)—

【分析】

(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求AP的长，先连接O。',

先在中，求出OQ；再在火以。尸。中，求出。尸即可得到答案；

(2)要求A3的长，扇形的半径己知，就转化成求NAOB的度数，连接00'，通过条件找到角之间的等量关系,

再根据三角形内角和为180。，建立等式求出NA08,最后利用弧长的计算公式进行计算.

【详解】

解：(1)①如图1,•.•30'为圆的切线.•.NOBO'=90°.

由题意可得，NO'BP=NOBP=45。,NO'PB=/OPB.

：.ZOPB=180°-ZBOP-ZOBP=180°-75°-45°=60°

：.AO'PB=AOPB=^P

.•.ZAP。'=60°，

②如图1,连结0。'，交BP于点Q.则有BP，。。'.

在RtZ\06。中，OQ=O8xsin45°=30.

在RtZXOP。中，OP=-°Q-=2娓,

sin60°

AP=OA-OP=6-246.

(2)如图2.连结OD设Nl=a.

:点力为AB的中点.

BD=AD

：.Z2=Zl=a

PD//OB

N3=N2=Z\=a.

:.PD=PO

由题意可得，PO'=PO,ZO'=ZBOP.

:.PD=PO'

：.ZPDO'=ZO'=/BOP=2a

又PDHOB,:.4OBO'=NPDO'=2a

OB=OD,:.Z4=NOBO'=2a

Z4+Z3+ZPDO'=180°,:.2a+a+2a=}S00,解得a=36°.

:.ZAOB=TT

,_miR72乃x612万

，AB=-----=----------=-----.

1801805

【点睛】

本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过

等量代换的思想间接求出所需要求的量.

19.（2021.浙江温州市）如图，在平面直角坐标系中，经过原点。，分别交工轴、》轴于A（2,0）,5（0,8）,

连结AB.直线CM分别交0M于点。，E（点。在左侧），交x轴于点C（17,0）,连结AE.

（1）求。用的半径和直线CW的函数表达式.

（2）求点。，E的坐标.

（3）点P在线段AC上，连结PE.当N4EP与AOBO的一个内角相等时，求所有满足条件的。尸的长.

117

【答案】（1）半径为宜线CM的函数表达式为y=-[X+7；（2）点。为（一3,5）,点E为（5,3）；（3）5,

I。吟

【分析】

（1）由A（2,0）,5（0,8）,确定点M为（1,4）,再利用两点间距离公式求解即可得到半径的长，利用待定系数法

可直接得到直线CM的函数表达式；

（2）先作辅助线构造相似三角形，求出MH=4，DH=1，即可得到点。为（一3,5）,点七为（5,3）；

（3）先作辅助线，得到NOBD=N5DK=45°,再分三种情况讨论，通过作增，x轴于点耳，证出点耳为符

合条件的点，再分别讨论当乙4例=/0。5时和时的情况，分别得到。鸟和。骂的值，最后完

成求解.

【详解】

解：⑴••,ZAOB=90°，

AB为OM的直径.

•/A（2,0）,8（0,8）,

•••点M为（1,4）,

•••半径为MA=^（2-1）2+42=V17.

设直线CM的函数表达式为y^kx+b.

把C（17,0）,M（l,4）代入得葭6_4'解得＜4

b」

117

•••直线CM的函数表达式为y=--尤+一；

44

1J7

•••OM的半径为J万，直线CM的函数表达式为丁=一一x+—.

44

（2）过点M作x轴平行线，点。作V轴平行线交于点“，作轴于点N（如图1）,

图1

；・ADMH=NECA,ADHM=AMNC=骄，

•••ADHMsAMNC,

,DHHM

"~MN~~NC

,DH_NM_4_1

"17-1~4

rDM=后，且DM?=加+碗2

：・MH=4,DH=1，

二点。为（一3,5）.

•••点E，。关于点M对称，

，点£：为（5,3）.

（3）作力KJ.y轴于点K，

•.•5（0,8）,。（一3,5）.

DK=BK=3,

NOBD=NBDK=45°.

分三种情况（如图2）：

①作£，_1无轴于点匕，

vA（2,0）,£（5,3），

AF\=EP[-3,

ZAEP^=4EAP、=45°,

ZA班=NOBD=45°,

即点々为符合条件的一个点.

。片=5.

②当=时，

•••ZAME二NBMD，

AE=BD.

=/。8。=45。，

△4硝四△BOO（ASA）,

=8。=8,

=OA+A£=2+8=10.

③当NAEE=N50。时，

NE4£=NOBO=45。，

•••△AEAsABOD,

,AE_AP3

~BO~~BD

BD=AE，

.AE_APy

~BO~~AE

AE2=AF^BO,

（372）2=8A/>,

9

・•.AP3=-,

917

OPy=OA+AI}=2+-=—.

17

综上所述，当N4EP与AQaD的一个内角相等时，QP的长为5,10或二.

4

图2

【点睛】

本题综合考查了平面直角坐标系、圆、待定系数法求函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角

形的判定与性质等内容，要求学生根根据题意找到相等关系建立方程求解，本题综合性很强，对•学生的分析能力要

求较高，解决本题的关键是能通过作辅助线构造相似三角形以及牢记相关概念、性质和公式等，本题蕴含了分类讨

论的思想方法.

20.（2021•浙江省湖州市）如图，已知A3