小学奥数题库《数论》余数问题中国剩余定理0星题（含解析）全国通用版

数论-余数问题-中国剩余定理-。星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

中国剩余定理C1、能够准确的理解中国剩余定理。少考

2、会用中国剩余定理来求解相关的

数量题目。

知识提要

中国剩余定理

・概述

中国剩余定理即我们常说的“物不知数"，是利用同余式组来求解的一类问题。

A、一个数分别除以两个数余数相同的时候，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数

B、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后

便可以整除

C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法.

精选例题

中国剩余定理

1.一个大于3的数，除以7余4,除以9余6,除以11余8,问满足条件的最小自然数

是.

【答案】690.

【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺3能被整除,

这样得[7、9、11]-3=690.

2.小明心里想了一个正整数.并且求出了它分别被14和21除后所得的余数，这两个余数的

和是33,那么该整数被42除的余数是.

【答案】41

【分析】该整数除以14的余数不大于13,除以21余数不大于20,所以这两个余数的和不

大于33,而由题有这两个余数的和恰好是33,所以该整数除以14余数是13,除以21余数

是20.这个数加上1就是14和21的倍数，而[14,21]=42,所以这个数可以表示成42k-1

的形式，被42除的余数是41.

3.有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人

5个还剩12个.那么这筐苹果至少个.

【答案】62

【分析】设有x个苹果.

因为11除以3余2,所以x除以3余2；

因为10除以4余2,所以x除以4余2；

因为12除以5余2,所以x除以5余2.

又因为x大于12,x=[3,4,5]+2=60+2=62〔个〕.

4.一个大于2000数，除以11余5,除以13余3,除以17余16,问满足条件的最小自然数

为.

【答案】2447.

【分析】根据题意，我们发现三个算式中两个数的除数与余数的和都是

11+5=13+3=16,这样我们可以把余数都处理成都余16,所以“1、13、17]=2431,

所以这个数就是2431+16=2447.

5.一个大于10。的数，除以9余3,除以11余1,问满足条件的最小自然数为.

【答案】1H.

【分析】据题意，我们发现两个数的除数与余数的和都是9+3=11+1=12,这样我们可

以把余数都处理成都余12,所以[9、11]=99,所以这个数就是99+12=111.

6.一个大于2的数，除以3余1,除以5余3,除以7余5,问满足条件的最小自然数

是.

【答案】103.

【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺2能被整除,

这样得[3、5、7]-2=103.

7.某数除以11余8,除以13余10,除以17余12,那么这个数的最小可能值是.

【答案】998

【分析】观察到11-8=13-10=3,因此除以11余8,除以13余10的最小自然数为

11X13-3=140,

设某数为a,那么a=143m-37n为非零自然数，只需1437n-3除以17余12,而

143+17=8-7,

只需

(7m-3)+17=n-12,

即7m-15是17的倍数所以，m=7,所以

a=143X7-3=998.

8.红星小学组织学生划船.假设乘坐大船，除1条船坐6人外，其余每船均坐17人；假设乘

小船，那么除1条船坐2人外，其余每船均坐10人.如果学生的人数超过100、不到200,

那么学生共有人.

【答案】142

【分析】除1条船坐6人外，其余每船均坐17人，说明总人数可以表示成177n+6的形

式；除1条船坐2人外，其余每船均坐10人，说明总人数可以表示成10n+2的形式；那么

有17m+6=10n+2,化简得17m+4=10n,经分析m的个位只能是8.又学生的人数超

过100、不到200,所以m=8,学生的人数是17x8+6=142.

9.一个数，除以11余7,除以13余9,除以19余15,问满足条件的最小自然数

是.

【答案】2713.

【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺4能被整除，

这样得[11、13、19]-4=2713.

10.有一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩3

块；如果按10块一份来分，最后剩下4块.这堆糖至少有块.

【答案】354

【分析】这堆水果糖的总数被8除余2,被9除余3,被10除余4,如果增加6块就刚好

是8、9、10的公倍数，又8、、9、10的最小公倍数是360.所以这堆水果糖至少有

360-6=354（块）.

11.5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6

排多5人，问上体育课的同学最少人.

【答案】59.

【分析】分析题意知，这个班的人数除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,

凑缺相同，这个班人数为[3、4、5、6]-1=59（人）.

12.某个自然数除以2余1,除以3余2,除以4余1,除以5也余1,那么这个数最小

是.

【答案】41

【分析】这个自然数除以2、4、5都余1,[2,4,5]=20,所以这个数应满足1+20%同时

除以3余2,所以最小是41.

13.某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个

两位数是.

【答案】62

【分析】由题可知，此数是一个2的倍数，并且除以3、4、5都余2的数，这样的数最小

是2,因为这个数是两位数，2+[3、4、5]=62.

14.在1到100这100个数中，被2,3,5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数

有个.

【答案】6

【分析】根据余数不能比除数大.

一个数除以2,余数只能是L

而要求余数彼此不等，所以，这些数除以3,余数只能是2.

满足以上两个条件的数为6的倍数少1.

有：5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65、71、77、83、89、95.

再满足被5除有余数，且余数不为1和2,（个位不能为5、1、7）.

符合条件的数只有：23、29、53、59、83、89,共6个数.

15.一个大于1。的数，除以5余3,除以7余1,问满足条件的最小自然数为.

【答案】43.

【分析】根据总结，我们发现两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8,这样我们可

以把余数都处理成都余8,所以[5、7]=35,所以这个数就是35+8=43.

16.一个大于1。的数，除以5余3,除以7余1,除以9余8,问满足条件的最小自然数

为.

【答案】323.

【分析】根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8,这

样我们可以把余数都处理成都余8,所以[5、7、9]=315,所以这个数就是315+8=323.

17.我国南宋数学家杨辉在其?续古摘奇算法?上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，

七数余三，九数余四，问本数."用现代语言表述就是：“有一个数用2除余1,用5除余

2,用7除余3,用9除余4,问这个数是多少？”请将满足条件的最小的自然数写在这

里.

【答案】157

【分析】（解法一）

先考虑除以5余2,除以7余3,除以9余4；用剩余定理得

5x7x5+5x9x14-7x9x4=472

[5,7,9]=315,故472±315k都符合除以5余2,除以7余3,除以9余4最小是

472-315=157,且也符合除以2余1.

（解法二）

除以2余1的数有：1,3,5,7,9,11,13,15,17,…；

除以5余2的数有：2,7,12,17-；

除以7余3的数有：3,10,17…；

所以满足“用2除余1,用5除余2,用7除余3"的数的形式为[2,5,7]71+17=7071+175

为自然数）此时只需要找一个最小的凡满足除以9余4即可.

当n=2时，满足除以9余4,所以满足条件的最小的自然数为

70-2+17=157

18.一个大于10的自然数，除以5余3,除以7余1,除以9余4,那么满足条件的自然数最

小为.

【答案】148

【分析】观察发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是

5+3=7+1=8,

这样我们可以把余数都处理成8,即一个数除以5余3相当于除以5余8,除以7余1相当于

除以7余8,所以满足前两个条件的自然数为

a=35m+8,

下一步只需要a除以9余4,

35+9=3…8,

只需8+8m除以9余4,只需8m除以9余5,最小的血=4,因此满足所有条件的最小自然

数为

8+35X4=148.

19.智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行

排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老

人说我知道你们年级人数应该是人.

【答案】127

【分析】根据条件，该数除以3余1,除以5余2,除以7余1,逐级满足法，令该数为

a,那么

a•1①

•一3-2

a5-②

a7«1③

符合条件①的有1,4,7,10,13,16,­.

同时满足①、②的最小值为7,以后a=7+15m均满足①、②；

现在来看(7+15m)除以7余1,那么157n除以7余1,那么m最小取1,符合，最小的符

合的数为a=22.以后每隔[3,5,7]=105即符合.由于该年级有100多名学生，为

22+105=127.

2().一个大于1。的自然数，除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最

小为.

【答案】323

【分析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是

5+3=7+1=8

这样我们可以把余数都处理成8,即一个数除以5余3相当于除以5余8,除以7余1相当于

除以7余8,所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8,那么它减去8之后是5、7、9

的公倍数.而

[5,7,9]=315

所以这个数最小为

315+8=323.

21.—个自然数被3除余2,被5除余4,并且这个数大于10。且小于125,那么这个数

是.

【答案】104或119

【分析】被3除余2,被5除余4,求出3和5的最小公倍数15,估算15的哪一个倍数大

于100小于125,经计算可知，105和120介于100到125之间，再用105和120分别减1

即可，这个自然数是104或119.

22.一个自然数能被11整除，除以13余12；除以15余13；这个数最小为.

【答案】1078.

【分析】n除以15余13：最小为13,通式为13+15R

n除以13余12：历最小为6,那么有13+15X6=103,通式为

103+[15,13]/C2=103+195k2.

n除以11余0：出最小为5,那么有103+195x5=1078.

23.有一个自然数用7除余3,用9除余4,请按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自

然数写在这里_______.

【答案】31,94

【分析】除以7余3的数有：3,10,17,24,31…；

除以9余4的数有：4,13,22,31…；

所以满足''除以7余3,除以9余4”的数的形式为[7,9优+31=63n+316为自然数）按

照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数为31,94.

24.一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合条件

的数.（使用逐步满足法）

【答案】1102

【分析】方法1（比拟法）：我们先找出被3除余1的数：

1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,

••••

被5除余2的数：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,…；

被7除余3的数：3,10,17,24,31,38,45,52,•••；

三个条件都符合的最小的数是52,其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加

到1000和1200之间.结果是

105X10+52=1102.

方法2（逐步满足的比拟法）：先列出除以3余1的数：1,4,7,10,13,16,

••••

再列出除以5余2的数：2,7,12,17,22,27,•••；

这两列数中，首先出现的公共数是7.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一

个就是7+15X整数，列出这一串数是7,22,37,52,-；再列出除以7余3的数：3,

10,17,24,31,38,45,52,…；就得出符合题目条件的最小数是52.事实上，我们已把

题目中三个条件合并成一个：被105除余52.那么这个数在1000和1200之间，应该是

105X10+52=1102.

方法3（逐步满足法）：设这个自然数为见被3除余1,被5除余2,可以理解为被

3除余3X2+1,被5除与5+2,所以满足前面两个条件的a=15m+7（巾为自然数），

只需15m+7除以7余3,即15m除以7余3,而15+7=2……1,只需m除以7余3,m

最小为3,所以满足三个条件的最小自然数为3X15+7=52,那么这个数在1000和1200

之间，应该是

105X10+52=1102.

25.有一个自然数，用它分别去除61、90、130都有余数，3个余数的和是26,这3个余数中

最大的一个是多少？

【答案】11

【分析】.简答：61、90和13。的和减去26得到255,255的约数中验证得满足条件的只

有17,所以这个自然数是17,所以余数中最大的是130除以17的余数11

26.被2,3,5除余1且不等于1的最小整数是几？

【答案】31

【分析】除1以外，被2除余1的所有整数是：

3,5,7,9,11,…,27,29,31,33,…

被3除余1的所有整数是：

4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…

被5除余1的所有整数是：

6,11,16,21,26,31,36,…

上面三列数中，第一个同时出现的数是31,所以31是同时满足被2,3,5除均余1

且不等于1的最小数.

27.(1)一个自然数除以4余3,除以5也余3,这个自然数最小是多少？

(2)一个自然数除以5余1,除以7余3,这个自然数最小是多少？

【答案】⑴3；(2)31

【分析】(1)这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3.

(2)这个自然数加上4以后是5和7的公倍数，所以最小是31.

28.(1)一个三位数除以6余2,除以8余2,那么这个三位数最小是多少？

(2)—个数除以3余2,除以5余4,除以7余6,那么这个数最小是多少？

(3)—个数除以6余2,除以11余1,那么这个数最小是多少？

【答案】⑴122：(2)104；(3)56

29.一个小于200的数，它除以11余8,除以13余10,这个数是几？

【答案】140.

【分析】分析题意，我们发现这两个算式除数与余数的差都等于11-8=13-10=3,观察

发现这个数加上3后就能同时被11和13整除，所以[11、13]=143,所以这个数是

143-3=140.

30.今有一堆石子，三个三个数余2个，五个五个数余2个，七个七个数余4个，这堆石子最

少有多少个？

【答案】32

【分析】70x2+21x2+15x4=242；244-105-105=32；

31.今有一堆石子，三个三个数余1个，五个五个数余3个，七个七个数余5个，这堆石子最

少有多少个？

【答案】103

【分析】三个三个、五个五个、七个七个的数都是差两个，那借来两个石子，现在的就可以

被3、5和7除得开，最小是3X5X7=105,归还那两块，总计最少103个.借来还去的思

想.

32.有一个自然数，除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,除以7

余6,那么这个数最小是.

【答案】419.

【分析】分析题意知，这个数加1就能被234,5,6,7整除，所以这个数为

[2、3、4、5、6、7]-1=420-1=419.

33.有一个正整数除以7、8、9的余数分别为1、5、4,求这个数至少是多少？

【答案】85

【分析】除以7余1的数至少是1,为满足这一特点每次要加7,加了4个7后首次满足除

以8余5；然后每次加56,加了一个后满足除以9余4,此时这个数是85.

34.自然数4除以11余5,除以9余7,除以13余3,这个数最小是多少？

【答案】1303

【分析】此题属于“物不知数”问题，可以运用中国剩余定理，但需要先要找出11与9的公

倍数中除以13余1的数、11与13的公倍数中除以9余1的数以及9与13的公倍数中除以

11余1的数.比拟麻烦.实际上，观察可知

11+5=9+7=13+3=16,

也就是说这个数减去16后是11、9、13的公倍数，那么这个数最小就是11、9、13的最小

公倍数加上16,为

11X9X13+16=1303.

35.一个大于1。的数，除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是

多少？

【答案】172

【分析】法一：仔细分析可以发现3X2+1=5+2=7,所以这个数可以看成被3、5、11

除余7,由于[3,5,11]=165,所以这个数最小是165+7=172.

法二：事实上，如果没有“大于1。”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的根

底上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数.

36.一个三位数除以4余3,除以6也余3.这个三位数最大是多少？

【答案】999

【分析】这是一道余同的问题.满足条件的数可以表示为[4,6]xn+3,其中n为自然

数.要求满足条件的最大三位数，应令n为83,即[4,6]x83+3=999.

37.一个自然数在100。和1200之间，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合条件

的数.

【答案】1102

【分析】方法1：先列出除以3余1的数：1,4,7,10,13,16,•••；

再列出除以5余2的数：2,7,12,17,22,27,…；

这两列数中，首先出现的公共数是7.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是

7+15X整数，列出这一串数是7,22,37,52,•••；再列出除以7余3的数：3,10,17,

24,31,38,45,52,•••；就得出符合题目条件的最小数是52.

事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52.那么这个数在1000和1200

之间，应该是105X10+52=1102.

方法2：我们先找出被3除余1的数：1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,

37,40,43,46,49,52,■••；

被5除余2的数：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,•••；

被7除余3的数：3,10,17,24,31,38,45,52,…；

三个条件都符合的最小的数是52,其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000

和1200之间.结果是105x10+52=1102.

方法3：设这个自然数为a,被3除余1,被5除余2,可以理解为被3除余3X2+1,被5

除与5+2,所以满足前面两个条件的a=15m+7（m为自然数），只需157n+7除以7余

3,即15m除以7余3,而15+7=2…1,只需m除以7余3,m最小为3,所以满足三个

条件的最小自然数为3X15+7=52,那么这个数在1000和1200之间，应该是

105X10+52=1102.

38.两个连续的两位数除以5的余数之和是5,除以6的余数之和是5,除以7的余数之和是

1.求这两个两位数.

【答案】77和78

【分析】两个连续的两位数除以5的余数之和是5,那么可以判断出第一个数除以5余

2.除以6的余数之和是5,那么可以判断出第一个数除以6余2或余5.除以7的余数之和

是1,那么可以判断出第一个数除以7余0.满足第一、三两个条件的数有7、42、77,再考

虑第二个条件，只有77满足.因此这两个数为77和78.

39.有一批图书总数在100。本以内，假设按24本书包成一捆，那么最后一捆差2本；假设按

28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；假设按32本包一捆，那么最后一捆是30本.那

么这批图书共有本.

【答案】670.

【分析】由题意知，这批数的总数除以24余22,除以28余26,除以32余30,

[24、28、32]=672,所以这批书的数量为672k-2,又因为这批图书总数在1000本以内，

所以k=l,这本书为670.

40.(1)一个数除以21余17,除以20也余17.这个数最小是多少？第二小是多少？

(2)—个数除以11余7,除以10余6.这个数最小是多少？第二小是多少？

【答案】(1)17；437(2)106；216

【分析】(1)这是一道余同的问题.这个数最小是17,第二小是[21,10]+17=437.

(2)这是一道缺同的问题.这个自然数加上4即可被11和10整除，[11,10]=110,因此这

个数最小为110-4=106.第二小的是110X2-4=216.

41.有一个整数，用它去除53,89,127所得到的3个余数之和是23,那么这个整数是多

少？

【答案】41

【分析】设这个数为匕由题意可得：

①$\left\{\begin{gathered}

53\divx=a\cdots{r_l}\hfill\\

89\divx=b\cdots{r_2)\hfill\\

127\divx=c\cdots{r_3}\hfill\\

\end{gathered}\right.\Rightarrow53+89+127-23=246$为x的倍数;

②246=2X3X41

③枚举验证n%=41.

42.一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?

【答案】34

【分析】

4和5的公倍数3和5的公倍数3和4的公倍数

201512

403024

604536

在4和5的公倍数中，除以3余1的最小数是40；

在3和5的公倍数中，除以4余1的最小数是45；

在3和4的公倍数中，除以5余1的最小数是36；

那么40X1+45X2+36X4=274,

[3,4,5]=60,所以，最小的数为274-60x4=34.

43.一个自然数除以8、9、11后分别余2、7、3,而所得的三个商的和是622,这个数是多

少？

【答案】1906.

【分析】设这个数为x.

x除以8余2：最小为2,通式为2+8自；

x除以9余7：自最小为4,那么有2+8X4=34,通式为34+[8,9]七=34+72屹

x除以11余3：七最小为4,那么有34+72X4=322.

那么x=322+[8,9,1l]n=322+792n.

322+792n-2322+792n-7322+792n-3

~8+9+rT~=622

40+99rl+35+88n+29+72n=622

259n=518

n=2

x=322+792X2=1906.

44.韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五.那么这队兵有多

少人？

【答案】473

【分析】先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3

的数.

45.一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5,求符合条件的最小的奇数.

【答案】1523.

【分析】此题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，符合

条件的最小偶数是368,只要将368加上3X5X7X11就能求得符合条件的最小奇数，这个

数是368+3X5X7X11=1523.

46.(1)一个数除以7余2,除以11余1.这个数最小是多少？

(2)有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1,2,3,…，9

的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1,2,7的顺序报数，最后一名战士报的

数是4.请问：一共有多少名战士？

【答案】⑴23：(2)165

【分析】(1)采用逐步满足条件法.满足条件第二个条件的数位1、12、23、…发现23

同时满足第一个条件，因此这个数最小是23.

(2)战士的人数除以9余3,除以7余4,满足这两个条件最小的数是39,不断加63,直到

满足限制条件，最后得到165.

47.一个自然数除以7、8、9后分别余1、2、3,而所得的三个商的和是570,这个数是多

少？

【答案】1506.

【分析】设这个数为x.[7,8,9]=504,504-6=498,那么x=498+504n.

498+504n-1498+504n-2498+504n-3

—7—十一8一十—9——7。

71+72n+62+63n4-554-56n=570

191n=382

n=2

x=498+504X2=1506.

48.一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数.

【答案】23.

【分析】由中国剩余定理得这个数为23.

49.有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数。这三个连续自然数最小是多

少？

【答案】160、161、162

【分析】根据题意，令这三个连续的自然数分别是：a+1、a+2,那么它们从小到大

依次是5、7、9的倍数。所以我们有：

$\left\{\begin{gathered）

a\div5\cdots0\hfill\\

a\div7\cdots6\hfill\\

a\div9\cdots7\hfill\\

\end{gathered}\right.$

满足前两个的所有的自然数为：20+35n

所以有：（20+35n）+9,“7,所以35n+9・“5,有8n+9…5,那么n最小取4。

此时a最小取160.

所以这三个自然数为160、161、162.

50.今有物不知其数，三三数之剩一，四四数之剩三，五五数之剩二，问物几何？

【答案】7

【分析】40X1+45X3+36X2=247,3X4X5=60,247+60=4……7,最少是7.

51.一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合条件

的数.（使用中国剩余定理求解）

【答案】1102

【分析】70+21X2+15X3=70+42+45=157,157+105n在1000至lj1200之

间.可以先写成52+105n,105x10+1050,1050+52=1102.

52.今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩四，七七数之剩三，问物几何？

【答案】59

【分析】70X2+21X4+15X3=269；269-105-105=59；

53.一个布袋中装有5000多个小球，如果10个一包，最后还剩9个，如果9个一包，最后还

剩8个...如果5个一包，最后还剩4个，那么如果13个一包，最后还剩多少个？

【答案】8个

【分析】简答：布袋中的小球数除以10余9,除以9余8,除以8余7…、除以5余4,

[5,6,7,8,9,10]=[5,7,8,9]=5X7X8X9=2520,所以，布袋中球数是

2520-1+2520=5039,5039+13余8.

54.一个自然数除以7余3,除以27余5,这个自然数最小是多少？

【答案】59

【分析】除以27余5的数有5、32、59、…，其中除以7余3的最小的数是59.

55.有一个整数，用它分别去除157、234和324,得到的三个余数之和是100,这个整数是

多少？

【答案】41

【分析】详解：157、234和324的和是715,减去10。的差是615.615是这个整数的倍

数.而615的约数有1、3、5、15、41、123、205、615,验证只有41满足余数和是100.

56.(1)一个三位数除以8余3,除以12也余3.这个三位数最小是多少？

(2)一个三位数除以6余1,除以10余5.这个三位数最小是多少？

【答案】(1)123：(2)115

【分析】(1)这是一道余同的问题.满足条件的数可表示为冏12]Xn+3,其中n为自然

数.要求满足条件的最小三位数，应令n为5,即[8,12]X5+3=123.

(2)这是一道缺同的问题.满足条件的数可表示为[6,10]xn-5,其中n为自然数.要求满

足条件的最小三位数，应令兀为4,即[6,10]X4-5=115.

57.一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5,求符合条件的最小的数：

【答案】368.

【分析】将3、5、7、11这4个数3个3个分别计算公倍数，如表：

5、7、11公倍数3、7、11公倍数3、5、11公倍数3、5、7公倍数

385231165105

770462330210

1155693495315

除3余2的最小数是770除5余3的最小值是693除7余4的最小值是165

3、5、7公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1,所以

210X5=1050被11除余5,由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个

值，又3、5、7、11的最小公倍数是1155,所以2678-1155X2=368是符合条件的最小

值.

58.有一个自然数，用它去除25,38,43所得到的3个余数之和是18,那么这个自然数是多

少？

【答案】11

【分析】设这个数为x,由题意可得：

①$\left\{\begin{gathered}

25\divx=a\cdots{r_l}\hfill\\

38\divx=b\cdots{r_2)\hfill\\

43\divx=cXcdots{r_3)\hfill\\

\end{gathered}\right.\Rightarrow25+38+43-18=88$为X的倍数;

@88=2X2X2X11

③枚举验证=x=11.

59.炒饭老师非常喜欢吃炒饭.有一天，炒饭老师给自己炒了一桶的炒饭.他算了一下，如果

他每天吃3碗，最后剩下2碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩

下2碗.问炒饭老师炒了至少多少碗炒饭？

【答案】62

【分析】炒饭老师炒的饭的碗数减去2是3,4,5的公倍数，所以老师炒的饭的最小值为

[3,4,5]+2=60+2=62(碗).

60.一个两位数分别除以7、8、9,所得的余数的和为20.问：这个两位数是多少？

【答案】62

【分析】余数的和为20,那么这个两位数除以7、8、9的余数分别为6、7、7或6、6、8

或5、7、8.其中只有6、6、8的情况存在满足条件的两位数为62.

61.四年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级

至少有多少人？

【答案】302

【分析】这个题相当于是一个数被9除余5,被7除余1,被5除余2,这个数最小是几.

9、7、5三个数两两互质。那么(7,5)=35,(9,5)=45,(9,7)=63

7和5的公倍数9和5的公倍数9和7的公倍数

354563

126

210

245

280

在7和5的公倍数中，除以9余1的最小数是280；

在9和5的公倍数中，除以7余1的最小数是225；

在9和7的公倍数中，除以5余1的最小数是126；

那么280x5+225x1+126x2=1877.

[9,7,5]=315,

所以，最小的数为1877-315x5=302.

62.一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求满足条件的最小的自然数？

【答案】148.

【分析】设这个数为兀

n除以5余3：最小为3,通式为3+5自：

n除以6余4：自最小为5,那么有3+5x5=28,通式为28+[5,6]七=28+30七.

n除以7余1：&最小为4,那么有n=28+30X4=148.

63.有5000多根牙签，可按6种规格分成小包.如果10根一包，那么最后还剩9根.如果9

根一包，那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是，分别以8,7,6,5根为一包，

那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根？

【答案】5039

【分析】设这包牙签有n根，那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10

根一包，又可以分成9根一包，还可以分成8、7、6、5根一包.

所以，n+1是10、9、8、7、6、5的倍数，即它们的公倍数.

[10,9,8,7,6,51=23X32X5X7=2520,即n+1是2520的倍数，在满足题下只能是

2520X2=5040,所以几=5039.即原来一共有牙签5039根.

64.今有物不知其数，三三数之剩二，四四数之剩三，五五数之剩三，问物几何？

【答案】23

【分析】首先要构造这几个数，由3,4,5来构造.

4X5=20,20除以3余2,不行；加倍，40除以3余1.也就是40除以3、4、5

余数分别是1、。、0；

同样的构造3X5=15,除以4余3,不行；加倍……，45可以.也就是45除以3、

4、5余数分别是0、1、0;

同样的构造3X4=12,除以5余2,不行；加倍……，36可以.也就是36除以3、

4、5余数分别是0、0、1；

所以最后是40x2+45x3+36x3=323,3x4x5=60,323+60=5...23,

最少是23.

65.—个盒子中装有棒棒糖10。多个，如果每次取5个最后剩4个，如果每次取4个最后剩3

个，如果每次取3个最后剩2个.那么如果每次取12个，最后剩多少个？

【答案】11

【分析】简答：除以5余4,除以4余3,除以3余2的数最小是59,满足上述条件的100

以上的数是59加上假设干个60,如119、179等，这些数除以12余11.

66.刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2

只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在

一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只.请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？

【答案】467

【分析】兔子数除以3余2,除以5余2,除以7余5.所有满足前两个条件的数为

2+[3,5]Xn,其中7i为自然数，即2、17、32、47、…其中47同时满足第三个条件.所有

满足条件的数为47+[3,5,7]Xm,其中m为自然数.血取4时满足条件，为467.

67.一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数.

【答案】53.

【分析】分析题目，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的“中国剩余定

理”：

3、5的公倍数3、7的公倍数5、7的公倍数

152135

304270

4563105

6084140

找出除以7余4的除以5余3除以3余2.

可以找出分别是：606335

可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍

数的假设千倍，使结果在最小公倍数之内.所以答案为：158-105=53.

68.有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几？

【答案】5

【分析】方法一：除以3余2的数有：2,5,8,11,14,17,20,23,…；

它们除以12的余数是：2,5,8,11,2,5,8,11,

除以4余1的数有：1,5,9,13,17,21,25,29,…；

它们除以12的余数是:1,5,9,1,5,9,....

一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以

12的余数是5.

方法二：一个数，除以3余2,除以4余1,可以理解为除以3余3+2,除以4余

4+1,所以这个数减去5后，既能被3整除，又能被4整除，设这个数为a,那么

a=12m+5,（血为自然数）所以这个数除以12余5.

69.有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于1,那

么这个自然数是多少？

【答案】1082

【分析】设除以15时商a余b；除以17时商c余d；除以19时商e余九

那么有a+b=c+d=e+/■且15a+匕=17c+d=19e+/■.于是14a=16c=18e.设它们

等于7X16X9XC（7X16X9是14、16、18的最小公倍数），那么有a=72t,c=63t,

e=56t.代回第一个式子，有72t+b=63t+d=56t+f,所以f-b=16t.因为b和/■都

大于1且f小于19,那么只能匕=2/=18,所以t=1.

所以这个自然数是72x15+2=1082.

70.每3人站一排，最后一排差1人；每5人站在一排，最后一排有3人；每7人站一排，最

后一排还差5人.你能推算出最少有多少人？

【答案】13

【分析】这个题相当于是一个数被3除余2,被5除余3,被7除余2,这个数最小是几.

7和5的公倍数3和7的公倍数3和5的公倍数

352115

704230

1058445

在7和5的公倍数中，除以3余1的最小数是70；

在3和7的公倍数中，除以5余1的最小数是21；

在3和5的公倍数中，除以7余1的最小数是15：

那么70x2+21x3+15x2=233.

[3,7,5]=105.

所以，最小的数为233-105X2=13.

71.被3,5除余2的最小两位数是几？

【答案】2

【分析】被5除余2的所有整数是：

2,7,12,17,22,27,32,37…

被3除余2的所有整数是：

2,5,8,11,14,17-

所以，被3,5除余2的最小两位数是2.

72.有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整

除，请写