2024届浙江名校新数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届浙江名校新数学高二第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知三角形的面积是，，，则b等于()A．1 B．2或1 C．5或1 D．或12．已知函数，若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在内”，表示事件“豆子落在内”，则（）A． B． C． D．4．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A． B． C． D．5．在中，，，，点满足，则等于（）A．10 B．9 C．8 D．76．若函数的导函数的图像关于轴对称，则的解析式可能为A． B． C． D．7．函数的图象是由函数的图像向左平移个单位得到的，则（）A． B． C． D．8．复数的虚部为（）A． B． C． D．9．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A． B． C． D．10．动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（）A． B．C． D．11．已知点满足，则到坐标原点的距离的点的概率为（）A． B． C． D．12．设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，垂足为A，如果为正三角形，那么等于（）A． B． C．6 D．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，向量满足，则的最大值为________．14．若一个三位自然数的十位上的数字最大，则称该数为“凸数”（如，）.由组成没有重复数字的三位数，其中凸数的个数为_____个．15．给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行.其中正确命题的序号是____.16．椭圆，参数的范围是）的两个焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且，则等于．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.18．（12分）用数学归纳法证明：当时，能被7整除．19．（12分）已知函数（且），.（1）函数的图象恒过定点，求点坐标；（2）若函数的图象过点，证明：方程在上有唯一解.20．（12分）某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）①根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率.②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由.（2）该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率.21．（12分）已知函数f(x)=2ln（1）当a=2时，求f(x)的图像在x=1处的切线方程；（2）若函数g(x)=f(x)-ax+m在[1e,e]22．（10分）已知一个口袋中有个红球和个白球（，，），这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个摸出（不放回），直到红球全部被摸出为止．（1）当，时，试求“摸球次数为5”的概率；（2）随机变量表示摸球次数，是的数学期望．写出的概率分布列，并求．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由三角形面积公式，计算可得的值,即可得B的值,结合余弦定理计算可得答案.【题目详解】根据题意:三角形的面积是,即,又由，则则或，若则此时则；若,则,此时则；故或.故选：D.【题目点拨】本题考查三角形的面积公式,考查余弦定理在解三角形中的应用,难度较易.2、C【解题分析】当时，画出函数图像如下图所示，由图可知，无解，不符合题意，故排除两个选项.当时，画图函数图像如下图所示，由图可知，或，解得不符合题意，故排除选项，选.点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，考查复合函数的研究方法，考查分类讨论的数学思想方法，考查零点问题题.题目所给的分段函数当时，图像是确定的，当时，图像是含有参数的，所以要对参数进行分类讨论.在分类讨论的过程中，围绕的解的个数来进行.3、D【解题分析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，包含个小三角形，同时又在内的小三角形共有个，所以，故选D.4、A【解题分析】

本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【题目详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．【题目点拨】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．5、D【解题分析】

利用已知条件，表示出向量,然后求解向量的数量积．【题目详解】在中，，，，点满足，可得则==【题目点拨】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．6、C【解题分析】

依次对选项求导，再判断导数的奇偶性即可得到答案。【题目详解】对于A，由可得，则为奇函数，关于原点对称；故A不满足题意；对于B，由可得，则，所以为非奇非偶函数，不关于轴对称，故B不满足题意；对于C，由可得，则为偶函数，关于轴对称，故C满足题意，正确；对于D，由可得，则，所以为非奇非偶函数，不关于轴对称，故D不满足题意；故答案选C【题目点拨】本题主要考查导数的求法，奇偶函数的判定，属于基础题。7、B【解题分析】

把的图像向左平移个单位后得到的图像，化简后可得的值，利用两角和的余弦和正弦展开后可得的值.【题目详解】把的图像向左平移个单位后得到所得图像的解析式为，根据可得①，所以即（舍），又对①化简可得，故，故选B.【题目点拨】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响，比如，它可以由先向左平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移.．8、C【解题分析】

利用复数除法运算求得，根据虚部定义得到结果.【题目详解】的虚部为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查复数虚部的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.9、C【解题分析】试题分析：第一步从后排8人中选2人有种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是考点：排列组合点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法10、B【解题分析】

设连线的中点为,再表示出动点的坐标,代入圆化简即可.【题目详解】设连线的中点为,则因为动点与定点连线的中点为,故,又在圆上,故,即即故选：B【题目点拨】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.11、B【解题分析】

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离的点P的概率．【题目详解】点满足，

当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，．

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，

到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，

到坐标原点O的距离的点P的概率为：

．

故选：B.【题目点拨】本题考查概率的求法，几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12、C【解题分析】

设准线l与轴交于点，根据抛物线的定义和△APF为正三角形，这两个条件可以得出，在直角三角形中，利用正弦公式可以求出，即求出|PF|的长．【题目详解】设准线l与轴交于点，所以，根据抛物线的定义和△APF为正三角形，，在中，，，所以|PF|等于6,故本题选C．【题目点拨】本题考查了抛物线的定义．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】试题分析：由题意得，由若满足知，，当且仅当与同向且时，取等号，所以，而有基本不等式知，，所以，当且当即时取等号，故的最大值为．考点：1.向量加法的平行四边形法则；2.基本不等式.【方法点睛】本题主要考查的是向量模的运算性质，向量的平行四边形法则及其向量垂直的性质，属于难题，向量的模的最值运算，一般要化为已知量的关系式，常用的工具，在平行四边形中，再结合基本不等式可得当时，,,即取最大值.14、8【解题分析】

根据“凸数”的特点，中间的数字只能是3,4，故分两类，第一类，当中间数字为“3”时，第二类，当中间数字为“4”时，根据分类计数原理即可解决.【题目详解】当中间数字为“3”时，此时有两个（132,231），当中间数字为“4”时，从123中任取两个放在4的两边，有种，则凸数的个数为个.【题目点拨】本题考查分类计数原理，属于基础题.15、④【解题分析】分析：由三点可能共线可判断①错；由点可能在直线上可判断②错；由两直线可能相交、异面判断③错；根据公理可判定④正确.详解：①不共线的三点确定一个平面，故①错误；②一条直线和直线外一点确定一个平面，故②错误；③垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故③错误；④平行于同一直线的两直线平行，故④正确，故答案为④.点睛：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推理的合理运用.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.16、【解题分析】试题分析：设P为椭圆平分正三角形的边的一个点，则为一个锐角为直角三角形，因为斜边长，所以另两条直角边长为由椭圆定义有考点：椭圆定义三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.18、见解析【解题分析】

运用数学归纳法证明，考虑检验成立，再假设成立，证明时，注意变形，即可得证．【题目详解】证：①当时，，能被7整除；②假设时，能被7整除，那么当时，，由于能被7整除，能被7整除，可得能被7整除，即当时，能被7整除；综上可得当时，能被7整除.【题目点拨】本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设是关于自然数的命题，若成立（奠基）；假设成立，可以推出成立（归纳），则对一切大于等于的自然数都成立.属于基础题.19、(1)；(2)证明见解析.【解题分析】试题分析：(1)结合对数函数的性质可得函数的图象恒过定点；(2)由题意结合函数的单调性和函数的值域即可证得题中的结论.试题解析：（1）解：∵当时，，说明的图象恒过点.（2）证明：∵过，∴，∴，∵分别为上的增函数和减函数，∴为上的增函数，∴在上至多有一个零点，又，∴在上至多有一个零点，而，，∴在上有唯一解.20、（1）①；②17，理由见解析；（2）.【解题分析】

（1）①利用频率分布直方图能求出月销售额在，内的频率．②若的推销员能完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成该目标．根据频率分布直方图知，，和，两组频率之和为0.18，由此能求出月销售额目标应确定的标准．（2）根据直方图可知，销售额为，和，的频率之和为0.08，由可知待选的推销员一共有4人，设这4人分别为，，，，利用列举法能求出选定的推销员来自同一个小组的概率．【题目详解】解：（1）①月销售额在小组内的频率为.②若要使70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标.根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为0.18，故估计月销售额目标应定2为（万元）.（2）根据直方图可知，月销售额为和的频率之和为0.08，由可知待选的推销员一共有4人.设这4人分别为，则不同的选择为，一共有6种情况，每一种情况都是等可能的，而2人来自同一组的情况有2