2024届山西大学附属中学高二数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

2024届山西大学附属中学高二数学第二学期期末教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．地球半径为R,北纬45°圈上A,B两点分别在东径130°和西径140°,并且北纬45°圈小圆的圆心为O´,则在四面体O-ABO´中，直角三角形有（）A．0个 B．2个 C．3个 D．4个2．的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中项的系数为（）A．2 B．8 C． D．-173．（）A．9 B．12 C．15 D．34．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）A．72种 B．48种 C．24种 D．12种5．已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于()A．0 B．1 C． D．36．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．36种 B．24种 C．22种 D．20种7．若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张．则恰好有2次抽到奇数的概率是（）A． B．C． D．9．若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）10．若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（）．A．至多等于4 B．至多等于5 C．至多等于6 D．至多等于811．设复数满足，则（）A． B． C． D．12．若函数至少有1个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，则的展开式中的常数项为__________．14．圆锥的母线长为，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的体积为________.15．若复数满足(1+i)z=1+i3，则z的模等于16．已知函数，若，则实数的取值范围__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知：方程表示焦点在轴上的椭圆；：双曲线的实轴长大于虚轴长.若命题“”为真命题，“”为假命题，求的取值范围．18．（12分）已知椭圆：，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点.（1）若为线段的中点，求直线的方程；（2）记，求的取值范围.19．（12分）已知集合.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数．当时，求在上的值域；若方程有三个不同的解，求b的取值范围．21．（12分）若集合具有以下性质：（1）且；（2）若，，则，且当时，，则称集合为“闭集”.（1）试判断集合是否为“闭集”，请说明理由；（2）设集合是“闭集”，求证：若，，则；（3）若集合是一个“闭集”，试判断命题“若，，则”的真假，并说明理由.22．（10分）已知，椭圆C过点，两个焦点为，，E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为，直线l与椭圆C相切于点A，斜率为．求椭圆C的方程；求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

画图标注其位置，即可得出答案。【题目详解】如图所示：，即有3个直角三角形。【题目点拨】本题涉及到了地理相关的经纬度概念。学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。2、D【解题分析】

令得各项系数和，可求得，再由二项式定理求得的系数，注意多项式乘法法则的应用．【题目详解】令，可得，，在的展开式中的系数为：．故选D．【题目点拨】本题考查二项式定理，在二项展开式中，通过对变量适当的赋值可以求出一些特定的系数，如令可得展开式中所有项的系数和，再令可得展开式中偶数次项系数和与奇数次项系数和的差，两者结合可得奇数项系数和以及偶数项系数和．3、A【解题分析】分析：直接利用排列组合的公式计算.详解：由题得.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查排列组合的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)排列数公式：==(，∈，且)．组合数公式：===(∈，，且)4、A【解题分析】试题分析：先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A．考点：本题主要考查分步计数原理的应用．点评：从某一区域涂起，按要求“要求相邻的矩形涂色不同”，分步完成．5、D【解题分析】

根据导数定义，求得的值；根据点在切线方程上，求得的值，进而求得的值。【题目详解】点M(1,f(1))在切线上，所以根据导数几何意义，所以所以所以选D【题目点拨】本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义，属于基础题。6、B【解题分析】根据题意，分2种情况讨论：①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有=12种推荐方法；②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，共有=12种推荐方法；故共有12+12=24种推荐方法，故选B．7、A【解题分析】分析：函数有小于零的极值点转化为有负根，通过讨论此方程根为负根，求得实数的取值范围.详解：设，则，函数在上有小于零的极值点，有负根，①当时，由，无实数根，函数无极值点，不合题意，②当时，由，解得，当时，；当时，，为函数的极值点，，解得，实数的取值范围是，故选A.点睛：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.8、B【解题分析】

先求出每次抽到奇数的概率，再利用n次独立重复试验中恰好发生k的概率计算公式求出结果．【题目详解】每次抽到奇数的概率都相等，为，故恰好有2次抽到奇数的概率是••，故选：B．【题目点拨】本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k的概率计算公式的应用，属于基础题．9、B【解题分析】

由题意可得,,故.设,则.

关于

对称,故

在上是增函数,当时有最小值为,无最大值,故的取值范围为,

故选B.10、A【解题分析】

当时，一一讨论，由此判断出正确选项.【题目详解】当时，空间三个点构成等边三角形时，可使两两距离相等.当时，空间四个点构成正四面体时，可使两两距离相等.不存在为以上的情况满足条件，故至多等于.故选：A.【题目点拨】本小题主要考查正多边形、正多面体的几何性质，属于基础题.11、D【解题分析】分析：先根据复数除法得，再根据复数的模求结果.详解：因为，所以,因此选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为12、C【解题分析】

令，则函数至少有1个零点等价于函数至少有1个零点，对函数求导，讨论和时，函数的单调性，以及最值的情况，即可求出满足题意的实数的取值范围。【题目详解】由题可得函数的定义域为；令，则，函数至少有1个零点等价于函数至少有1个零点；；（1）当时，则在上恒成立，即函数在单调递增，当时，，当时，，由零点定理可得当时，函数在有且只有一个零点，满足题意；（2）当时，令，解得：，令，解得：，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，所以要使函数至少有1个零点，则，解得：综上所述：实数的取值范围是：故答案选C【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的零点个数的问题，由导数研究函数的单调区间以及最值是解题的关键，属于中档题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-160.【解题分析】由，所以二项式展开式的常数项为.14、【解题分析】

根据题意画出圆锥的轴截面图形，结合图形求出圆锥的底面圆半径和高，再计算圆锥的体积．【题目详解】如图所示，圆锥的母线，母线与旋转轴的夹角为，圆锥的底面圆半径为；高为；该圆锥的体积为．故答案为：．【题目点拨】本题考查圆锥的体积计算及圆锥侧展图，考查空间想象能力和运算求解能力．15、1【解题分析】

利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，由此能求出|z|．【题目详解】∵复数满足(1+i)z=1+i∴z=1+∴|z|=1．故答案为1．【题目点拨】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.16、【解题分析】

设，再求函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【题目详解】设，因为，所以函数是奇函数，其函数的图像为函数在R上单调递增，由题得，所以,所以,所以，所以.故答案为：【题目点拨】本题主要考查函数的单调性和奇偶性及其应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】试题分析：若真，则，解得的范围，若真，则，且，解得的范围，由为真命题，为假命题，可得，中有且只有一个为真命题，即必一真一假，即可求得的范围.试题解析：若真，则，解得：.若真，则，且，解得：.∵为真命题，为假命题∴，中有且只有一个为真命题，即必一真一假①若真假，则即；②若假真，则即.∴实数的取值范围为：点睛：根据命题的真假求参数的取值范围的方法：（1）求出当命题，为真命题时所含参数的取值范围；（2）判断命题，的真假性；（3）根据命题的真假情况，利用集合交集和补集的运算，求解参数的取值范围.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）设直线l1的方程为y﹣1=k（x﹣1），根据韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率k，问题得以解决，（2）根据弦长公式分别求出|AB|，|CD|，再根据基本不等式即可求出．【题目详解】（1）设直线的斜率为，方程为，代入中，∴.∴.判别式.设，，则.∵中点为，∴，则.∴直线的方程为，即.（2）由（1）知.设直线的方程为.同理可得.∴.∴.令，则，.在，分别单调递减，∴或.故或.即.【题目点拨】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19、（1）（2）或【解题分析】

（1）先化简集合，，根据求解.（2）由（1）得到或，再利用子集的定义由求解.【题目详解】（1）因为集合，，又因为，所以，所以.（2）或，因为，所以或，解得或.【题目点拨】本题主要考查集合的基本关系及其运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20、12．【解题分析】

（1）求导得到函数的单调性，利用单调性确定最值取得的点，从而得到值域；（2）将问题转化成与有三个交点的问题，通过求导得到图象，通过图象可知只需位于极大值和极小值之间即可，从而得到不等式，求解出范围.【题目详解】（1）当时，则令，解得或列表如下；由表可知，在上的最小值为，最大值为所以在的值域是（2）由，得设，则由，解得：由，解得：或所以在递减；在，递增所以极大值为：；极小值为：，画出的图象如图所示；有三个不同解与有三个不同交点结合图形知，解得：，所以方程有三个不同的解时，的取值范围是【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值问题以及导数问题中的根的个数问题.解决根的个数类问题的关键在于能够将问题变成曲线和平行于轴直线的交点个数问题，从而利用导数得到函数图象，结合图象得到相应的关系.21、（1）否，理由见详解；（2）证明见详解；（3）真命题，理由见详解【解题分析】

（1）利用闭集的定义判断；

（2）利用闭集的定义证明；

（3）利用闭集的定义，先说明