2024届湖南省益阳市资阳区第六中学数学高二第二学期期末复习检测试题含解析

2024届湖南省益阳市资阳区第六中学数学高二第二学期期末复习检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（）A．2 B．4 C． D．2．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（）A． B． C． D．3．下列命题错误的是A．若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行B．若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面C．若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直D．若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交4．某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（）A．《数学史选讲》 B．《球面上的几何》 C．《对称与群》 D．《矩阵与变换》5．设是函数的导函数，则的值为（）A． B． C． D．6．下列函数为奇函数的是（）A． B． C． D．7．在的展开式中的系数是（）A．40 B．80 C．20 D．108．已知满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．9．已知，命题“若”的否命题是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．若，则（）A．2 B．4 C． D．811．设x＝，y＝，z＝－，则x，y，z的大小关系是()A．x＞y＞z B．z＞x＞yC．y＞z＞x D．x＞z＞y12．曲线的参数方程是(是参数,),它的普通方程是(

)A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为___________．14．已知复数，，其中i为虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为_______．15．如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，，且,，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为__________.16．在中，，则_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点.（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由.18．（12分）设数列的前项和为，且满足.（1）若为等比数列，求的值及数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，设，求数列的前项和.19．（12分）在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F分别为AD，PC的中点．Ⅰ求证：平面BEF；Ⅱ若，求二面角的余弦值．20．（12分）已知，且是第三象限角，求，.21．（12分）已知z是复数，z+2i与z2-i（1）求复数z；（2）复数z+ai2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a22．（10分）本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；（3）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积.【题目详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱，所以其体积为.故选：A【题目点拨】此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征.2、C【解题分析】先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即，选C.3、D【解题分析】分析：利用空间中线线、线面间的位置关系求解．详解：A.若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行，正确；B.若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面，正确；C.若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直，正确，可能异面垂直；D.若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交，错误，平行于平面，与平面没有公共点.故选D.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．4、D【解题分析】

列举出所有选择可能，然后根据三个信息，确定正确的选项.【题目详解】个同学，选门课，各选一门且不重复的方法共种，如下：种类甲乙丙丁1《数学史选讲》《球面上的几何》《对称与群》《矩阵与变换》2《数学史选讲》《球面上的几何》《矩阵与变换》《对称与群》3《数学史选讲》《对称与群》《球面上的几何》《矩阵与变换》4《数学史选讲》《对称与群》《矩阵与变换》《球面上的几何》5《数学史选讲》《矩阵与变换》《球面上的几何》《对称与群》6《数学史选讲》《矩阵与变换》《对称与群》《球面上的几何》7《球面上的几何》《数学史选讲》《对称与群》《矩阵与变换》8《球面上的几何》《数学史选讲》《矩阵与变换》《对称与群》9《球面上的几何》《对称与群》《数学史选讲》《矩阵与变换》10《球面上的几何》《对称与群》《矩阵与变换》《数学史选讲》11《球面上的几何》《矩阵与变换》《对称与群》《数学史选讲》12《球面上的几何》《矩阵与变换》《数学史选讲》《对称与群》13《对称与群》《数学史选讲》《球面上的几何》《矩阵与变换》14《对称与群》《数学史选讲》《矩阵与变换》《球面上的几何》15《对称与群》《球面上的几何》《数学史选讲》《矩阵与变换》16《对称与群》《球面上的几何》《矩阵与变换》《数学史选讲》17《对称与群》《球面上的几何》《数学史选讲》《矩阵与变换》18《对称与群》《球面上的几何》《矩阵与变换》《数学史选讲》19《矩阵与变换》《数学史选讲》《对称与群》《球面上的几何》20《矩阵与变换》《数学史选讲》《球面上的几何》《对称与群》21《矩阵与变换》《球面上的几何》《对称与群》《矩阵与变换》22《矩阵与变换》《球面上的几何》《矩阵与变换》《对称与群》23《矩阵与变换》《对称与群》《数学史选讲》《球面上的几何》24《矩阵与变换》《对称与群》《球面上的几何》《数学史选讲》满足三个信息都正确的，是第种.故本小题选D.【题目点拨】本小题主要考查分析与推理，考查列举法，属于基础题.5、C【解题分析】分析：求导，代值即可.详解：，则.故选：C.点睛：对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．6、A【解题分析】试题分析：由题意得，令，则，所以函数为奇函数，故选A．考点：函数奇偶性的判定．7、A【解题分析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数.【题目详解】解：由的展开式中，，令，可得，可得的展开式中的系数是：，故选：A.【题目点拨】本题主要考查二项式展开式及二项式系数的性质，属于基础题型.8、D【解题分析】由题意，令，所以，所以，因为，所以所以所以，故选D.9、A【解题分析】

根据否命题的定义：即否定条件又否定结论，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故选A10、D【解题分析】

通过导数的定义，即得答案.【题目详解】根据题意得，，故答案为D.【题目点拨】本题主要考查导数的定义，难度不大.11、D【解题分析】

先对y,z分子有理化，比较它们的大小，再比较x,z的大小得解.【题目详解】y＝＝，z＝－＝，∵＋＞＋＞0，∴z＞y.∵x－z＝－＝＝＞0，∴x＞z.∴x＞z＞y.故答案为D【题目点拨】(1)本题主要考查比较法比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.12、B【解题分析】

将曲线的参数方程利用代入法消去参数，即可得到它的普通方程.【题目详解】由,得,故,又,,故,因此所求的普通方程为，故选B.【题目点拨】本题考查参数方程和普通方程的转化，属于简单题.消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、45°【解题分析】

先确定直线PA与平面ABCD所成的角，然后作两异面直线PA和BE所成的角，最后求解．【题目详解】∵四棱锥P－ABCD是正四棱锥，∴就是直线PA与平面ABCD所成的角，即＝60°，∴是等边三角形，AC＝PA＝2，设BD与AC交于点O，连接OE，则OE是的中位线，即，且，∴是异面直线PA与BE所成的角，正四棱锥P－ABCD中易证平面PAC，∴，中，，∴是等腰直角三角形，∴＝45°．∴异面直线PA与BE所成的角是45°．故答案为45°．【题目点拨】本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查正四棱锥的性质．要注意在求空间角时，必须作出其“平面角”并证明，然后再计算．14、【解题分析】为纯虚数，则15、【解题分析】

由于与是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线与所成角，由此连接OP再利用中位线的性质得到异面直线与所成角为,并求出其正切值．【题目详解】连接，则，即为异面直线与所成的角，又，，，平面，，即，为直角三角形，.【题目点拨】本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线．16、【解题分析】

由正弦定理的边化角公式化简得出，再次利用正弦定理的边化角公式得出.【题目详解】由正弦定理的边化角公式得出即所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查了正弦定理的边化角公式，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）线段CQ的长度为.【解题分析】

（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图示，写出点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量，的坐标，利用异面直线EG与BD所成角公式求出异面直线EG与BD所成角大小即可；（2）对于存在性问题，可先假设存在，即先假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量为，再点A到平面EFQ的距离，求出x0，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【题目详解】解：（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），则，．设异面直线EG与BD所成角为θ，所以异面直线EG与BD所成角大小为．（2）假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量为，则有得到y＝0，z＝xx0，取x＝1，所以，则，又x0＞0，解得，所以点即，则．所以在线段CD上存在一点Q满足条件，且线段CQ的长度为．【题目点拨】：考查空间向量的应用，向量的夹角公式，解本题关键在于对空间向量和线线角的结合原理要熟悉.属于基础题.18、（1），；（2）.【解题分析】

（1）利用和关系得到，验证时的情况得到，再利用等比数列公式得到数列的通项公式.（2）计算数列的通项公式，利用分组求和法得到答案.【题目详解】（1）当时，，当时，，与已知式作差得，即，欲使为等比数列，则，又.故数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）有得..【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式，分组求和法求前n项和，意在考查学生的计算能力.19、(1)见解析;(2).【解题分析】

（1）连接交于，并连接，，由空间几何关系可证得，利用线面平行的判断定理可得平面.（2）（法一）取中点，连，，，由二面角的定义结合几何体的特征可知为二面角的平面角,计算可得二面角的余弦值为.（法二）以为原点，、、分别为、、建立直角坐标系，则平面法向量可取：,平面的法向量,由空间向量的结论计算可得二面角的余弦值为.【题目详解】（1）连接交于，并连接，，，，为中点，，且，四边形为平行四边形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面.（2）（法一）由为正方形可得，.取中点，连，，，侧面底面，且交于，，面，又，为二面角的平面角,又，，，，所以二面角的余弦值为.（法二）由题意可知面，，如图所示，以为原点，、、分别为、、建立直角坐标系，则，，，.平面法向量可取：,平面中，设法向量为，则,取,，所以二面角的余弦值为.【题目点拨】本题主要考查线面平行的判断定理，二面角的定义与求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20、【解题分析】

由，结合是第三象限角，解方程组即可得结