青海省平安区第一高级中学2024届数学高二第二学期期末检测试题含解析

青海省平安区第一高级中学2024届数学高二第二学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A． B． C． D．2．已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A． B．2 C． D．53．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有()A．种 B．种 C．种 D．种4．已知为虚数单位，若复数的实部为-2，则（）A．5 B． C． D．135．当取三个不同值时，正态曲线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A． B．C． D．6．如图所示阴影部分是由函数、、和围成的封闭图形，则其面积是（）A． B． C． D．7．设，若，则展开式中二项式系数最大的项为（）A．第4项 B．第5项 C．第4项和第5项 D．第7项8．若，则的值为（）A．-2 B．-1 C．0 D．19．用数学归纳法证明过程中，假设时，不等式成立，则需证当时，也成立，则（）A． B．C． D．10．如图，直线：与双曲线：的右支交于，两点，点是线段的中点，为坐标原点，直线交双曲线于，两点，其中点，，在双曲线的同一支上，若双曲线的实轴长为4，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．11．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在区间上递减,则实数的取值范围为（）A． B． C． D．12．复数的模是()A．3 B．4 C．5 D．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．14．从长度为、、、的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为.15．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为____________________．16．某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知集合，设，判断元素与的关系.18．（12分）已知数列，的前n项和分别为，，，且.(1)求数列的前n项和；(2)求的通项公式.19．（12分）盒子中放有大小形状完全相同的个球，其中个红球，个白球.（1）某人从这盒子中有放回地随机抽取个球，求至少抽到个红球的概率；（2）某人从这盒子中不放回地从随机抽取个球，记每抽到个红球得红包奖励元，每抽到个白球得到红包奖励元，求该人所得奖励的分布列和数学期望.20．（12分）一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？21．（12分）被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点.（1）求该方灯体的体积；（2）求直线和的所成角；（3）求直线和平面的所成角．22．（10分）设a∈R，函数f（1）当a=1时，求fx在3（2）设函数gx=fx+ax-1-e1-x，当g

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．2、C【解题分析】

设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【题目详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选C．【题目点拨】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．3、C【解题分析】

根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果．【题目详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有种抽取方法，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种；故选：C．【题目点拨】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．4、C【解题分析】分析：利用复数的除法运算得到，进的得到.详解：由题复数的实部为-2，则故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.5、A【解题分析】分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定的大小.详解：由正态曲线的性质知，当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，所以.本题选择A选项.点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、B【解题分析】

根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积。【题目详解】由定积分的几何意义可知：阴影部分面积故选B.【题目点拨】本题考查定积分的几何意义和积分运算，属于基础题．7、C【解题分析】

先利用二项展开式的基本定理确定的数值，再求展开式中系数最大的项【题目详解】令，可得，令，则，由题意得，代入得，所以，又因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第项，故选【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了赋值法求二项式的次数的应用问题，属于基础题。8、B【解题分析】

令，即可求出的值.【题目详解】解：在所给等式中，令，可得等式为，即.故选：B.【题目点拨】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.9、C【解题分析】故选10、A【解题分析】

根据点是线段的中点，利用点差法求得直线的斜率及其方程；联立直线与双曲线得到点横坐标，联立直线与直线，得到点横坐标。由于，根据相似可得，又因为双曲线的对称性，，故，则，整理得到，进一步求得离心率。【题目详解】设点为，点为，中点为，则，根据点差法可得，即，双曲线的实轴长为4，直线为，，直线为.联立，得；联立，得又，根据相似可得双曲线的对称性，，，，，故选A【题目点拨】本题考察双曲线离心率问题，出现弦中点考虑点差法，面积比值可以利用相似转化为边的比值，以此简化计算11、B【解题分析】

由外函数对数函数是增函数，可得要使函数在上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在上的最小值大于0，由此联立不等式组求解．【题目详解】解：令，其对称轴方程为，外函数对数函数是增函数，要使函数在上递减，则，即：．实数的取值范围是．故选：．【题目点拨】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．12、C【解题分析】

直接利用复数的模的定义求得的值．【题目详解】|，故选：C．【题目点拨】本题主要考查复数的模的定义和求法，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】函数f（x）=的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）14、【解题分析】试题分析：这是的道古典概率题，其基本事件有共4个，由于是任意选取的，所以每个基本事件发生的可能性是相等的，记事件A为“所选三条线段能构成三角形”，则事件A包含2个基本事件，根据概率公式得：．考点：古典概率的计算15、84【解题分析】

四个不同的球全部放入4个不同的盒子内，恰有两个盒子不放球的不同放法的求法，分为两步来求解，先把四个球分为两组，再取两个盒子，作全排列，由于四个球分两组有两种分法，一种是2，2，另一种是3，1，故此题分为两类来求解，再求出它们的和，即可得到答案【题目详解】四个球分为两组有两种分法，（2，2），（3，1）

若两组每组有两个球，不同的分法有种，恰有两个盒子不放球的不同放法是3×A42=36种

若两组一组为3，一组为1个球，不同分法有C43=4种恰有两个盒子不放球的不同放法是4×A42=48种

综上恰有两个盒子不放球的不同放法是36+48=84种即答案为84.【题目点拨】题考查察排列、组合的实际应用，解题的关键是理解事件“四个不同的球全部放入4个不同的盒子内，恰有两个盒子不放球”，宜先将四个球分为两组，再放入，分步求不同的放法种数16、【解题分析】

根据三视图确定出三棱锥的底面是一个等腰直角三角形且直角边长度都是，高为；半圆锥的底面是半径为的半圆，高为；据此计算出该几何体的体积.【题目详解】由三视图可知，三棱锥的体积：；半圆锥体积：，所以总体积为：.故答案为：.【题目点拨】本题考查空间几何体的体积计算，难度较易.计算组合体的体积时，可将几何体拆分为几个容易求解的常见几何体，然后根据体积公式完成求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、当，且时，；当或时，.【解题分析】

分析：对变形并对分类讨论即可.详解：根据题意，故当，且时，；当或时，.点睛：本题考查集合与元素的关系，解题的关键在于正确的分类讨论.18、（1）（2）【解题分析】

（1）先将表示为，然后利用裂项求和法可求出；（2）先求出数列的前项和，于是得出，然后利用作差法可求出数列的通项公式．【题目详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以.当时.；当时，.故【题目点拨】本题考查裂项法求和以及作差法求数列的通项公式，求通项要结合递推式的结构选择合适的方法求数列通项，求和则需考查数列通项的结构合理选择合适的求和方法进行计算，属于常考题．19、（1）；（2）42元.【解题分析】

（1）分为三种情况，即抽到个红球，抽到个红球和抽到个红球，概率相加得到答案.（2）随机变量可能的取值为，计算每个数对应概率，得到分布列，计算数学期望得到答案.【题目详解】(1)记至少抽到个红球的事件为,法1：至少抽到个红球的事件，分为三种情况，即抽到个红球，抽到个红球和抽到个红球，每次是否取得红球是相互独立的，且每次取到红球的概率均为，所以，答：至少抽到个红球的概率为.法2：至少抽到个红球的事件的对立事件为次均没有取到红球（或次均取到白球），每次取到红球的概率均为（每次取到白球的概率均为），所以答：至少抽到个红球的概率为.(2)由题意,随机变量可能的取值为，，，，所以随机变量的分布表为：所以随机变量的数学期望为（元）.【题目点拨】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力.20、（1）115（2）186【解题分析】

（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有种；第二种，3红2白，取法有种，第三种，2红3白，取法有种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有21、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）计算出八个角（即八个三棱锥）的体积之和，然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线和的所成角；（3）求出平面的法向量，利用空间向量法求出直线和平面的所成角的正弦值，由此可得出和平面的所成角的大小.【题目详解】（1）在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点，该方灯体的体积：；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，、、、，，，设直线和的所成角为，则，直线和的所成角为；（3），，，，设平面的法向量，则，得，取，得，设直线和平面的所成角为，则，直线和平面的所成角为．【题目点拨】本题考查多面体的体积、异面直线所成角、直线与平面所成角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.22