2024届黑龙江省大庆四中高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届黑龙江省大庆四中高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在四棱锥中，底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，若该四棱锥的侧棱长为，体积为4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于（）（参考公式：）A．2 B． C．4 D．2．已知，是的导数，若的展开式中的系数小于的展开式中的系数，则的取值范围是（）A． B．C． D．3．如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：34562.53m4.5若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得对的回归直线方程是，则表中的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.54．某高中举办了一场中学生作文竞赛活动，现决定从参赛选手中选出一等奖一名、二等奖二名、三等奖二名，通过评委会获悉在此次比赛中获奖的学生为3男2女，其中一等奖、二等奖的奖项中都有男生，请计算一下这5名学生不同的获奖可能种数为（）A．12 B．15 C．18 D．215．设，则二项式展开式的常数项是（）A．1120 B．140 C．-140 D．-11206．（）A．0 B． C．1 D．27．若函数f（x）=有最大值，则a的取值范围为（）A． B． C． D．8．函数在其定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（）A． B．C． D．9．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是A．2015 B．2016 C．2017 D．201810．对于实数，下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则11．在三棱锥中，，，面，，，分别为，，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．12．设为虚数单位，则复数()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知复数是纯虚数，则实数_________.14．用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为_____．15．已知点在直线（为参数）上，点为曲线（为参数）上的动点，则的最小值为________________.16．二项式的展开式中，奇数项的二项式系数之和为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：必过定点，并求出该定点的坐标．18．（12分）如图，四棱锥中，，，，，，.（1）求证：；（2）求钝二面角的余弦值.19．（12分）“学习强国”APP是由中宣部主管，以新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成为了党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况，研究人员随机抽取了名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示：分数频数601002020频率0.30.50.10.1（1）由频率分布表可以认为，这名党员这两天在“学习强国”上的得分近似服从正态分布，其中近似为这名党员得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），近似这名党员得分的方差，求；（2）以频率估计概率，若从该地区所有党员中随机抽取人，记抽得这两天在“学习强国”上的得分不低于分的人数为，求的分布列与数学期望.参考数据：，若，则，，20．（12分）知函数，，与在交点处的切线相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函数有两个零点,求的取值范围.21．（12分）如图,五边形中,四边形为长方形,为边长为的正三角形,将沿折起,使得点在平面上的射影恰好在上.（Ⅰ）当时,证明:平面平面；（Ⅱ）若,求平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值.22．（10分）在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的正方形,平面ABCD,PA=AB,M,N分别为PB,AC的中点,（１）求证:MN//平面PAD（２）求点B到平面AMN的距离

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半径为.则在中，有，再根据体积为可求及，在中，有，解出后可得正确的选项.【题目详解】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半径为.设底面正方形的边长为，正四棱锥的高为，则.因为该正四棱锥的侧棱长为，所以，即……①又因为正四棱锥的体积为4，所以……②由①得，代入②得，配凑得，，即，得或.因为，所以，再将代入①中，解得，所以，所以.在中，由勾股定理，得，即，解得，所以此球的半径等于.故选B.【题目点拨】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.2、B【解题分析】

由展开式中的系数是，又，所以的展开式中的系数是，得到，继而解得结果．【题目详解】由题意，函数展开式中的系数是，又，所以的展开式中x的系数是，依题意得，解得．故选：B．【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的计算，其中解答熟记导数的运算公式和二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．3、A【解题分析】由题意可得，故样本中心为。因为回归直线过样本中心，所以，解得。选A。4、B【解题分析】

一等奖为男生，则从3个男生里选一个；二等奖有男生，可能是一男一女，可能是两男；剩下的即为三等奖的学生，依照分析求组合数即可【题目详解】由题可知，一等奖为男生，故；二等奖可能为2个男生或1个男生，1个女生，故故获奖可能种数为，即选B【题目点拨】本题考查利用排列组合解决实际问题，考查分类求满足条件的组合数5、A【解题分析】

分析：利用微积分基本定理求得，先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式的常数项.详解：由题意，二项式为，设展开式中第项为，，令，解得，代入得展开式中可得常数项为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6、C【解题分析】

根据定积分的意义和性质，，计算即可得出.【题目详解】因为，故选C.【题目点拨】本题主要考查了含绝对值的被积函数的定积分求值，定积分的性质，属于中档题.7、B【解题分析】

分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.【题目详解】由题,单调递增，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解.故选B.【题目点拨】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.8、D【解题分析】分析：根据函数单调性、极值与导数的关系即可得到结论.详解：观察函数图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单调递增.对应的导数符号为正，负，正.,选项D的图象正确.故选D.点睛：本题主要考查函数图象的识别和判断，函数单调性与导数符号的对应关系是解题关键.9、C【解题分析】分析：首先求得a的表达式，然后列表猜想的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合二项式定理可得：，计算的数值如下表所示：底数指数幂值5155225531255462555312556156255778125583906255919531255109765625据此可猜想最后三位数字为，则：除以8的余数为1，所给选项中，只有2017除以8的余数为1，则的值可以是2017.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项式定理的逆用，学生归纳推理的能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10、D【解题分析】试题分析：对于A．若，若则故A错；对于B．若，取则是假命题；C．若，取，则是错误的，D．若，则取，又，所以，又因为同号，则考点：不等式的性质的应用11、B【解题分析】

由题意可知，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可.【题目详解】∵∴，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∴，设，则，∵，∴，解得∴∴，∴异面直线与所成角的余弦值为故选B【题目点拨】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．12、D【解题分析】

由复数的乘除运算即可求得结果【题目详解】故选【题目点拨】本题主要考查了复数的除法运算，解题的关键是要掌握复数四则运算法则，属于基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

将化简为的形式，根据复数是纯虚数求得的值.【题目详解】因为为纯虚数，所以.【题目点拨】本小题主要考查复数乘法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.14、【解题分析】

总体含100个个体，从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为.【题目详解】因为总体含100个个体，所以从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为.【题目点拨】本题考查简单随机抽样的概念，即若总体有个个体，从中抽取个个体做为样本，则每个个体被抽到的概率均为.15、【解题分析】

先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值.【题目详解】由题得直线方程为，由题意，点到直线的距离，∴.故答案为：【题目点拨】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16、【解题分析】

利用二项式展开式的二项式系数的性质求解.【题目详解】由于的展开式的奇数项的二项式系数之和为，所以的展开式的奇数项的二项式系数之和为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查二项式展开式的二项式系数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，.【解题分析】

（I）由于两点关于轴对称，故由题设知经过两点.又由知，不经过点，所以点在上.将两点的坐标代入方程，联立即可解得，从而得出的方程；（II）设直线与直线的斜率分别为，，利用设而不求方法证明．【题目详解】（I）由于两点关于轴对称，故由题设知经过两点.又由知，不经过点，所以点在上.因此，解得.故的方程为.（II）设直线与直线的斜率分别为，将代入得由题设可知.设，则.而由题设，故.即.解得.当且仅当时，，则由，得，所以过定点.【题目点拨】设而不求方法的一般思路，设出直线与圆锥曲线的的交点坐标，将直线方程和圆锥曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式或斜率关系结合题意解答．18、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）推导出，，从而平面，由此能证明.（2）过点在平面内作直线，由（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出钝二面角的余弦值.【题目详解】（1）证明：在中，，且，由余弦定理，得.过点作，可知四边形是矩形，，且.又，故，于是有，即.又，且，平面，.（2）过点在平面内作直线，由（1）可知，和直线两两垂直，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系.由题意，可得，，，，.设平面的法向量为，由得令，得，，即.再取平面的一个法向量.设二面角的大小为，则，即二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查了线面垂直的判定定理、定义，空间向量法求面面角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题.19、（1）；（2）见解析【解题分析】

（1）利用分数统计表求得和；又，根据正态分布曲线可求得结果；（2）计算出从该地区所有党员中随机抽取人，抽得的人得分不低于分的概率，可知服从于二项分布，利用二项分布概率公式求解出每个可能的取值对应的概率，从而得到分布列；再利用二项分布数学期望计算公式求得期望.【题目详解】（1）由题意得：（2）从该地区所有党员中随机抽取人，抽得的人得分不低于分的概率为：由题意得，的可能取值为，且；；；；的分布列为：【题目点拨】本题考查正态分布中的概率求解问题、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够确定服从于二项分布，属于常规题型.20、(1)．(2)或．【解题分析】分析：（1）分别求出与在交点处切线的斜率，从而得到答案；（2）对求导，分类讨论即可.详解：(1)，，又，，与在交点处的切线相互垂直，,.又在上,，故.(2)由题知.①,即时,令,得;令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,故存在使.又，，，在区间上有一个零点,在区间上有一个零点,在区间上有一个零点,共个零点,不符合题意,舍去.②时,令,得，令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，又,,有两个零点,符合题意.③,即时,令,得,令,