2024届普通高等学校数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届普通高等学校数学高二第二学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．2．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：每年体检每年未体检合计老年人7年轻人6合计50已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是()A． B． C． D．3．已知，，，若>恒成立，则实数m的取值范围是A．或 B．或C． D．4．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．下列参数方程可以用来表示直线的是（）A．（为参数） B．（为参数）C．（为参数） D．（为参数）6．已知，若将其图像右移个单位后,图象关于原点对称，则的最小值是()A． B． C． D．7．下列集合中，表示空集的是（）A． B．C． D．8．椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则的最大值为A． B． C． D．10．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是（）A． B． C． D．11．用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（）A． B．C． D．12．已知随机变量服从正态分布,且,则()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将参数方程（为参数）化成普通方程为__________.14．如图所示，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是_______(填序号)．①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面；④平面平面，且平面平面.15．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是．16．设向量=（1,0），=（−1,m）,若，则m=_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列的前项和为，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．18．（12分）(1)已知直线经过点，倾斜角.设与圆相交与两点A，B，求点P到两点的距离之积.(2)在极坐标系中，圆C的方程为，直线的方程为.①若直线过圆C的圆心，求实数的值；②若，求直线被圆C所截得的弦长.19．（12分）设是椭圆上的两点，已知向量，，若且椭圆的离心率，短轴长为2，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；（3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.20．（12分）如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为．（1）求正四棱柱的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小．21．（12分）阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：0项1项2项3项4项5项5项以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？比较了解不太了解合计理科生文科生合计（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望.参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.22．（10分）已知函数．（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；（2）当函数在上单调时，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

先求出导函数，再分别讨论，，的情况，从而得出的最大值【题目详解】由题可得：；（1）当时，则，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）当时，则在恒成立，则函数在上单调递增，当时，，故不可能恒有；（3）当时，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，则，对任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，则在上所以单调递增，在上单调递减，所以；所以的最大值为；综述所述，的最大值为；故答案选B【题目点拨】本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题。2、D【解题分析】分析：先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f,再判断真假.详解：因为，所以选D.点睛：本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.3、C【解题分析】分析：用“1”的替换先解的最小值，再解的取值范围。详解：，所以的解集为，故选C点睛：已知二元一次方程，求二元一次分式结构的最值，用“1”的替换是均值不等式的应用，构造出的模型，再验证条件。4、D【解题分析】

根据复合函数的单调性，同增异减，则，在区间上是增函数，再根据定义域则在区间上恒成立求解.【题目详解】因为函数在区间上是减函数，所以，在区间上是增函数，且在区间上恒成立.所以且，解得.故选：D【题目点拨】本题主要考查复合函数的单调性，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题.5、A【解题分析】

选项A:利用加减消元法消参,并求出的取值范围,即可判断出所表示的图形；选项B：利用加减消元法消参,并求出的取值范围,即可判断出所表示的图形；选项C：利用加减消元法消参,并求出的取值范围即可判断出所表示的图形；选项D：利用同角的三角函数关系式进行消参即即可判断出所表示的图形,最后选出正确答案.【题目详解】选项A:,而,所以参数方程A表示的是直线；选项B：,而,所以参数方程B表示的是射线；选项C：,而,所以参数方程C表示的是线段；选项D：,所以参数方程D表示的是单位圆,故选A.【题目点拨】本题考查了参数方程化为普通方程,并判断普通方程所表示的平面图形,求出每个参数方程中横坐标的取值范围是解题的关键.6、C【解题分析】

利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【题目详解】∵f（x）＝sinxcosx＝2sin（x）（x∈R），若将其图象右移φ（φ＞0）个单位后，可得y＝2sin（x﹣φ）的图象；若所得图象关于原点对称，则﹣φkπ，k∈Z，故φ的最小值为，故选：C．【题目点拨】本题主要考查两角和差的三角公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．7、C【解题分析】

没有元素的集合是空集，逐一分析选项，得到答案.【题目详解】A.不是空集，集合里有一个元素，数字0，故不正确；B.集合由满足条件的上的点组成，不是空集，故不正确；C.，解得：或，都不是自然数，所以集合里没有元素，是空集，故正确；D.满足不等式的解为，所以集合表示，故不正确.故选：C【题目点拨】本题考查空集的判断，关键是理解空集的概念，意在考查分析问题和解决问题的能力.8、A【解题分析】

利用点关于直线的对称点，且A在椭圆上，得，即得椭圆C的离心率；【题目详解】∵点关于直线的对称点A为，且A在椭圆上，即，∴，∴椭圆C的离心率．故选A．【题目点拨】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．9、D【解题分析】

设这个篮球运动员得1分的概率为c，由题设知

，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab的最大值．【题目详解】设这个篮球运动员得1分的概率为c，

∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5，

投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为1，

∴

，

解得2a+b=0.5，

∵a、b∈（0，1），

∴

=

=

，

∴ab

，

当且仅当2a=b=

时，ab取最大值

．

故选D．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．10、C【解题分析】分析：由题意，双曲线的焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，求得，利用离心率的公式，即可求解双曲线的离心率．详解：由题意，双曲线的焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，即，所以双曲线的离心率为，故选C．点睛：本题主要考查了双曲线的离心率的求解问题，其中熟记双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．11、B【解题分析】因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案B．点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解．12、B【解题分析】

先计算出，由正态密度曲线的对称性得出，于是得出可得出答案．【题目详解】由题可知，，由于，所以，，因此，，故选B.【题目点拨】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】

在参数方程中利用加减消元法或代入消元法消去参数，可将参数方程化为普通方程.【题目详解】由得，两式相加得，即，因此，将参数方程（为参数）化成普通方程为，故答案为.【题目点拨】本题考查参数方程与普通方程的互化，将直线的参数方程化普通方程，常见的有代入消元法和加减消元法，考查计算能力，属于基础题.14、③【解题分析】

由AB=BC，AD=CD，说明对棱垂直，推出平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE，即可得出结论．【题目详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，故答案为：③．【题目点拨】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15、．【解题分析】试题分析：由三视图可得几何体为正方体挖去一个圆锥：则：，．得体积为：考点：三视图与几何体的体积．16、-1.【解题分析】

根据坐标表示出，再根据，得坐标关系，解方程即可.【题目详解】，，由得：，，即.【题目点拨】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解题分析】

（Ⅰ）利用等差数列公式直接解得答案.（Ⅱ），，利用裂项求和计算得到答案.【题目详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由，得，解得∴．（Ⅱ），从而，∴的前项和．【题目点拨】本题考查了等差数列通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18、（1）2；（2）①；②【解题分析】

（1）求出直线的参数方程，并代入圆的方程，利用直线参数方程的几何意义即可求解；（2）将极坐标方程化为直角坐标方程，①将圆心代入直线即可求出②先求出圆心到直线的距离，根据弦长公式即可得出直线被圆C所截得的弦长.【题目详解】（1）直线的参数方程为，即.把直线代入，得，，，则点P到A，B两点的距离之积为2.（2）①以极点为坐标原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系.由得，则圆C的直角坐标方程是，圆心坐标为，半径.由，得，则直线l的直角坐标方程是.若直线l通过圆C的圆心，则，所以.②若，则圆心到直线的距离，所以直线l被圆C所截得的弦长为.【题目点拨】本题主要考查了直线参数方程的几何意义以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，过点,且倾斜角为的直线的参数方程，属于基础题.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面积为定值1．【解题分析】试题分析：（1）根据条件可得，再设直线的方程为：，与椭圆联立方程组，利用韦达定理和已知条件，即可求出的值；（2）先考虑直线斜率不存在的情况，即，，根据，求得和的关系式，代入椭圆的方程求得点的横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示出和，再利用，弦长公式及三角形面积公式求得答案.试题解析：（1）由题可得：，，所以，椭圆的方程为设的方程为：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：（2）①直线斜率不存在时，即，∵∴，即又∵点在椭圆上∴，即∴，∴，故的面积为定值1②当直线斜率存在时，设的方程为，联立得：∴，，∴所以三角形的面积为定值1.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；②直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值.20、（1）（2）【解题分析】

（1）是与底面所成的角,所以,可得,在用柱体体积公式即可求得答案;（2）因为正四棱柱,可得,所以是异面直线与所成的角.【题目详解】（1）如图,连接正四棱柱的底面边长面是与底面所成的角在中,正四棱柱的体积为:.（2）正四棱柱是异面直线与所成的角在中,异面直线与所成的角为:.【题目点拨】本题考查了正四棱柱体积和空间异面直线夹角.在求解异面直线所成角的求解,通过平移找到所成角是解这类问题的关键.21、(1)见解析；(2)（