2024届新疆维吾尔自治区生产建设兵团第二中学高二数学第二学期期末联考试题含解析

2024届新疆维吾尔自治区生产建设兵团第二中学高二数学第二学期期末联考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，已知棱长为1的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）A． B． C． D．2．已知数列为等差数列，且，则的值为A． B．45 C． D．3．已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点，若，则的值为（）A． B． C．1 D．24．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．盒中有只螺丝钉，其中有只是不合格的，现从盒中随机地取出只，那么恰有只不合格的概率是（）A． B． C． D．6．已知x1+i=1-yi，其中x,y是实数，i是虚数单位，则x+yiA．1+2iB．1-2iC．2+iD．2-i7．已知a＞b，则下列不等式一定正确的是（）A．ac2＞bc2 B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．8．给定下列两种说法：①已知，命题“若，则”的否命题是“若，则”，②“，使”的否定是“，使”，则（）A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确9．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为10，14，则输出的（）A．6 B．4 C．2 D．010．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．11．方程的实根所在的区间为（）A． B． C． D．12．若3x+xn展开式二项式系数之和为32，则展开式中含xA．40 B．30 C．20 D．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为______.14．如图，在长方形内任取一点，则点落在阴影部分内的概率为________.15．已知，是正整数，，当时，则有成立，当且仅当“”取等号，利用上述结论求，的最小值______．16．将三封录取通知书投入四个邮筒共有_____________种不同的投递方式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．产品质量/毫克频数（Ⅰ）以样本的频率作为概率，试估计从甲流水线上任取件产品，求其中不合格品的件数的数学期望．甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计（Ⅱ）由以上统计数据完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？（Ⅲ）由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量服从正态分布，求质量落在上的概率．参考公式：参考数据：参考公式：，其中．18．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证：函数和在公共定义域内，恒成立；（3）若存在两个不同的实数，，满足，求证：．19．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．20．（12分）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且.（1）求A的值；（2）若，求面积的最大值.21．（12分）已知函数（1）若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围;（2）若在处有极值10，求的值;（3）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知f(x)=12sin（1）求fx（2）CD为△ABC的内角平分线，已知AC=f(x)max，BC=f(x)min

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据与平面的关系，先找到直线与平面的夹角，然后通过勾股定理求得各边长，即可求得夹角的正弦值。【题目详解】连接、相交于点M，连接EM、AM因为EM⊥AB，EM⊥BC1所以EM⊥平面则∠EAM即为直线与平面所成的角所以所以所以选D【题目点拨】本题考查了空间几何体线面的夹角关系，主要是找到直线与平面的夹角，再根据各长度求正弦值，属于中档题。2、B【解题分析】由已知及等差数列性质有，故选B.3、B【解题分析】试题分析：因为抛物线的焦点为，则由题意，得①．又由，得，所以②，由①②得，故选B．考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式．4、A【解题分析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立.详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意；若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意；若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意；故选A.点睛：本题考查合情推理，属基础题.5、A【解题分析】分析：利用古典概型求恰有只不合格的概率.详解：由古典概型公式得故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.6、D【解题分析】∵x1+i=x(1-i)7、C【解题分析】

分别找到特例，说明A，B，D三个选项不成立，从而得到答案.【题目详解】因为，所以当时，得到，故A项错误；当，得到，故B项错误；当时，满足，但，故D项错误；所以正确答案为C项.【题目点拨】本题考查不等式的性质，通过列举反例，排除法得到答案，属于简单题.8、D【解题分析】

根据否命题和命题的否定形式，即可判定①②真假.【题目详解】①中，同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故①正确；②中，特称命题的否定是全称命题，所以②正确，综上知，①和②都正确.故选：D【题目点拨】本题考查四种命题的形式以及命题的否定，注意命题否定量词之间的转换，属于基础题.9、C【解题分析】

由程序框图，先判断，后执行，直到求出符合题意的.【题目详解】由题意，可知，，满足，不满足，则，满足，满足，则，满足，满足，则，满足，不满足，则，不满足，输出.故选C.【题目点拨】本题考查了算法和程序框图，考查了学生对循环结构的理解和运用，属于基础题.10、A【解题分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.11、B【解题分析】

构造函数，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案．【题目详解】构造函数，则该函数在上单调递增，，，，由零点存在定理可知，方程的实根所在区间为，故选B.【题目点拨】本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题．12、D【解题分析】

先根据二项式系数的性质求得n＝5，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得结果．【题目详解】由3x+xn展开式的二项式系数之和为2n＝32，求得可得3x+x5展开式的通项公式为Tr+1=C5r•3x5-r•xr令5-r2＝3，求得r＝4，则展开式中含x3故选：D．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】

直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可.【题目详解】解：由双曲线的标准方程可知，其渐近线为.故答案为:.【题目点拨】本题考查了双曲线渐近线的求解.14、【解题分析】

利用微积分基本定理先计算出阴影部分的面积，根据几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形面积比等于对应的概率，即可计算出概率值.【题目详解】由几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形的面积之比等于所求概率，记阴影部分面积为，长方形面积为，所以，，所以所求概率为.故答案为：.【题目点拨】本题考查几何概型中的面积模型以及利用微积分基本定理求解定积分的值，属于综合型问题，难度一般.几何概型中的面积模型的计算公式：.15、【解题分析】

先分析题意，再结合不等式的结构配凑，当，，再结合不等式的性质即可得解.【题目详解】解：由当时，则有成立，当且仅当“”取等号，则当，，当且仅当，即时取等号，故答案为：.【题目点拨】本题考查了运算能力，重点考查了类比能力及分析处理数据的能力，属基础题.16、【解题分析】

每封录取通知书放入邮筒有种不同的投递方式，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【题目详解】由题意知，每封录取通知书放入邮筒有种不同的投递方式，由分步乘法计数原理可知，将三封录取通知书投入四个邮筒共有种不同的投递方式.故答案为：.【题目点拨】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）不能；（Ⅲ）.【解题分析】

（Ⅰ）由表知，以频率作为概率，再根据二项分布求数学期望，（Ⅱ）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为，由此得列联表，根据表中数据计算出观测值，结合临界值表可得；（Ⅲ）根据正态分布的概率公式可得．【题目详解】解：（Ⅰ）由表知，样本中不合格品的件数为，故任取一件产品是不合格品的频率为以频率作为概率，则从甲流水线上任取一件产品是不合格品的概率为，则，从而．（Ⅱ）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为，所以，列联表是：所以故在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关（Ⅲ）乙流水线生产的产品质量服从正态分布，所以产品质量的数学期望，标准差为因为，所以即：所以乙流水线产品质量落在上的概率为．【题目点拨】本题考查了二项分布中数学期望公式、频率分布直方图、独立性检验以及正态分布的概率，属中档题．18、（1）增区间为,减区间为；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解题分析】分析：（1）构造函数，对函数求导，得到得到导函数的正负，进而得到单调区间和极值；（2）构造函数,对函数和求导研究函数的单调性进而得到函数的最值，使得最小值大于2即可；（3）要证原式只需要证，故得到即证：，变量集中设即可,转化为关于t的不等式.详解：(1)函数的定义域为,,故当时,,当时,,故函数的单调增区间为,单调减区间为;(2)证明:函数和的公共定义域为,,设,则在上单调递增,故;设,当时有极大值点,;故;故函数和在公共定义域内,.(3)证明:不妨设,由题意得,,;所以;而要证,只需证明;即证明;即证明;即证明,;令,则;即证明;设;则,故函数在区间上是增函数,所以,即;所以不等式成立.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.19、（1）．（2）．【解题分析】

（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．【题目详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，Y＝450×2＝900元，当温度在[20，25）℃时，需求量为300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，当温度低于20℃时，需求量为200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：90﹣（2+16）＝72，∴估计Y大于零的概率P．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20、（1）；（2）【解题分析】

（1）由题意利用正弦定理可得，由余弦定理可得，结合范围，可得的值．（2）由基本不等式可求，利用三角形的面积公式即可求解．【题目详解】解:（1）由题知，由正弦定理有，即，由余弦定理得，因为则.（2），，即，当且仅当时等号成立，当时，，所以面积的最大值为.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21、（1）m≥－（1）（3）m∈[－1，1]【解题分析】分析：(1)由在区间上是单调递增函数得，当时，恒成立，由此可求实数的取值范围;（1），由题或，判断当时，，无极值，舍去，则可求；（3）对任意的，有恒成立，即在上最大值与最小值差的绝对值小于等于1．求出原函数的导函数，分类求出函数在的最值，则答案可求；详解：(1)由在区间上是单调递增函数得，当时，恒成立，即恒成立，解得（1），由题或当时，，无极值，舍去.所以（3）由对任意的x1，x1∈[－1，1]，有|f(x1)－f(x1)|≤1恒成立，得fmax(x)－fmi