2024届天津一中数学高二下期末经典模拟试题含解析

2024届天津一中数学高二下期末经典模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）．A． B． C． D．2．如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（）A． B．C． D．3．设，函数的导函数是，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（）A． B． C． D．4．若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是()A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形5．设z=i(2+i)，则=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i6．已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A． B． C． D．7．随机变量，若，则为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.68．已知复数，是共轭复数，若，其中为虚数单位，则（）A． B． C． D．29．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（）A． B． C． D．10．若，，则（）A． B． C． D．11．若集合，则集合()A． B．C． D．12．已知．则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.14．已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为．15．一根木棍长为4，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度有一段大于3的概率为______．16．已知“”是“”的充分不必要条件，且，则的最小值是_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名观众进行调查，其中有名男观众和名女观众，将这名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在分钟以上（包括分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在分钟以下（不包括分钟）的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取名，再从这名观众中任选名，求至少选到名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.18．（12分）若对任意实数都有函数的图象与直线相切，则称函数为“恒切函数”，设函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数为“恒切函数”，①求实数的取值范围；②当取最大值时，若函数也为“恒切函数”，求证：.19．（12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与交于，两点，求的值.21．（12分）已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ.C2的参数方程为（1）写出曲线C1的直角坐标方程和C（2）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P到曲线C22．（10分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选D.【题目点拨】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.2、A【解题分析】

根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.【题目详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥，其中是棱长为4的正方体的顶点，为正方体的底面中心，注意到所以，，，因此该三棱锥的表面积等于.故选A.【题目点拨】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．3、C【解题分析】

先由求导公式求出，根据偶函数的性质求出，然后利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程．【题目详解】，因为是偶函数，所以，即解得，所以，，则，所以切线方程为故选C【题目点拨】本题主要考查利用导函数求曲线上一点的切线方程，属于基础题．4、C【解题分析】试题分析：因为,所以四边形ABCD为平行四边形，又因为,所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.考点：向量在证明菱形当中的应用.点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.5、D【解题分析】

本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．【题目详解】，所以，选D．【题目点拨】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．6、C【解题分析】试题分析：由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，，则直线AF的斜率，选C．考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．7、B【解题分析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果.详解：故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.8、B【解题分析】

原等式两边同乘以，可求得，从而可得，利用复数模的公式可得结果.【题目详解】因为，所以，即，，可得，所以，，故选B.【题目点拨】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9、C【解题分析】分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为1，高为1的三角形，三棱锥的高为1，根据三棱锥的体积公式得到结果.详解：由三视图可知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为，高为的三角形，面积，三棱锥的高是，所以故选C.点睛：当已知三视图去还原成几何体直观图时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性．10、A【解题分析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为，所以，解得，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11、D【解题分析】试题分析：解：所以选D．考点：集合的运算．12、C【解题分析】

由二项式定理及利用赋值法即令和，两式相加可得，结合最高次系数的值即可得结果.【题目详解】中，取，得，取，得，所以，即，又，则，故选C．【题目点拨】本题主要考查了二项式定理及利用赋值法求二项式展开式的系数，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

函数f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函数，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函数，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案为.14、【解题分析】试题分析：椭圆的左焦点为，右焦点为，根据椭圆的定义，，∴，由三角形的性质，知，当是延长线与椭圆的交点时，等号成立，故所求最大值为．考点：椭圆的定义，三角形的性质．15、【解题分析】

试验的全部区域长度为4，基本事件的区域长度为2，代入几何概型概率公式即可得结果．【题目详解】设“长为4的木棍”对应区间，“锯成的两段木棍的长度有一段大于3”为事件，则满足的区间为或，根据几何概率的计算公式可得，．故答案为．【题目点拨】本题主要考查几何概型等基础知识，属于中档题．解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.16、【解题分析】

先求解指数不等式，再运用充分不必要条件求解范围.【题目详解】，则由题意得，所以能取的最小整数是．【题目点拨】本题考查指数不等式和充分不必要条件，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解题分析】试题分析：试题解析：（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”人，“非朗读爱好者”人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是选中的“朗读爱好者”有人，记为，“非朗读爱好者”有人，记为；记：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有，，，，，，，，，共个；满足事件的有，，，，，，共个，则（2）收视时间在分钟以上的男观众分别是，，，，，女观众分别是，现要各抽一名，则有，，，，，，，，，共种情况.收视时间相差分钟以上的有，，，，共种情况.故收视时间相差分钟以上的概率.18、（1）见解析；（2）【解题分析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）①设切点为，求出，设，根据函数的单调性求出故实数的取值范围为；②当取最大值时，，，，，，因为函数也为“恒切函数”，故存在，使得，，由得，，设，，根据函数的单调性证明即可.详解：（1）.当时，恒成立，函数在上单调递减；当时，得，由得，由得，得函数在上单调递减，在上递增.（2）①若函数为“恒切函数”，则函数的图象与直线相切，设切点为，则且，即，.因为函数为“恒切函数”，所以存在，使得，，即，得，，设.则，，得，得，故在上单调递增，在上单调递减，从而故实数的取值范围为.②当取最大值时，，，，，，因为函数也为“恒切函数”，故存在，使得，，由得，，设，则，得，得，故在上单调递减，在上单调递增，1.在单调递增区间上，，故，由，得；2.在单调递增区间上，，，又的图象在上不间断，故在区间上存在唯一的，使得，故.此时由，得，函数在上递增，，，故.综上所述，.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）以分别为轴建立空间直角坐标系，计算直线对应向量，根据向量夹角公式得到答案.（2）分别计算两个平面的法向量，利用法向量的夹角计算二面角余弦值.【题目详解】（1）如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，,异面直线与所成角的余弦值为.（2）平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为,由得,，不妨取则，,,二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查了空间直角坐标系的应用，求异面直线夹角和二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20、(1)；.(2).【解题分析】分析：第一问将参数方程消参，求得其普通方程，对于曲线，将方程两边同时乘以，再结合极坐标与直角坐标之间的转换关系，求得极坐标方程，第二问将直线的参数方程写出=成标准形式，代入曲线方程，整理，利用韦达定理求得两根和与两根积，结合直线出参数方程中参数的几何意义求得结果.详解：（1）由（为参数），可得的普通方程为，又的极坐标方程为，即，所以的直角坐标方程为．（2）的参数方程可化为（为参数），代入得：，设，对应的直线的参数分别为，，，，所以，，所以．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的知识，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义等，在解题的过程中，需要注意韦达定理的应用以及直线的参数方程