2024届山东青岛平度第三中学高二数学第二学期期末检测模拟试题含解析

2024届山东青岛平度第三中学高二数学第二学期期末检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量、、满足，且，则、夹角为（）A． B． C． D．2．若,则A．－70 B．28 C．－26 D．403．设曲线在点处的切线方程为，则（）A．1 B．2 C．3 D．44．命题“任意”为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．5．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式的展开式的各项系数之和.现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A． B． C． D．6．设，向量，，且，则（）A． B． C． D．7．在一组样本数据，，…，（，，…不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．-3 B．0 C．-1 D．18．名同学合影，站成了前排人，后排人，现摄影师要从后排人中抽人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为（）A． B． C． D．9．0πsinA．2 B．0 C．-2 D．110．过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（）A．2 B．8 C．4 D．1011．已知两个随机变量X，Y满足X+2Y=4，且X~N1，  A．32，2 B．12，1 C．32，1 D．12．展开式的常数项为（）A．112 B．48 C．-112 D．-48二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，是单位向量.若，则向量，夹角的取值范围是_________.14．求曲线在点处的切线方程是________.15．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图),，，，，则这块菜地的面积为______．16．设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知且，（1）求的解析式；（2）判断的奇偶性，并判断当时的单调性；（3）若是上的增函数且，求m的取值范围.18．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.19．（12分）已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.20．（12分）设抛物线的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点.（1）求抛物线C的方程；（2）设过点的直线分别与抛物线C交于点D，E和点G，H，且，求四边形面积的最小值.21．（12分）设函数，曲线通过点，且在点处的切线垂直于轴.（1）用分别表示和；（2）当取得最小值时，求函数的单调区间.22．（10分）（1）求证：当时，；（2）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

对等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出，由此可求出、的夹角.【题目详解】等式两边平方得，即，又，所以，，因此，、夹角为，故选：C.【题目点拨】本题考查平面向量夹角的计算，同时也考查平面向量数量积的运算律以及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题.2、C【解题分析】

令t＝x﹣3，把等式化为关于t的展开式，再求展开式中t3的系数．【题目详解】令t＝x﹣3，则（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，可化为（t+1）5﹣3（t+3）4＝a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5，则a3＝＝10﹣36＝﹣1．故选C．【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用，指定项的系数，属于基础题．3、D【解题分析】

利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解【题目详解】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.故选：D【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题4、C【解题分析】试题分析：对此任意性问题转化为恒成立，当，即，，若是原命题为真命题的一个充分不必要条件，那应是的真子集，故选C.考点：1.集合；2.充分必要条件.5、B【解题分析】

先求得二项式的展开式的各项系数之和为.然后利用列举法求得在一共个数字中任选两个，和为的概率，由此得出正确选项.【题目详解】令代入得，即二项式的展开式的各项系数之和为.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：共种，其中和为的有共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为，故选B.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查列举法求古典概型概率问题，属于基础题.6、B【解题分析】试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．7、C【解题分析】因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点，都在直线上，则有相关系数，故选C.8、C【解题分析】分析：首先从后排的7人中选出2人，有C72种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A52，利用乘法原理可得结论．详解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有C72种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A52，∴不同的调整方法有C72A52，故选：C点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．9、A【解题分析】

根据的定积分的计算法则计算即可．【题目详解】0πsinxdx＝（-cos故选：A．【题目点拨】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．10、C【解题分析】

由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为AC中点，半径为长为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．考点：圆的方程．11、C【解题分析】

先由X~N1，  22，得E(X)=1，D(X)=4，然后由【题目详解】由题意X~N1，  22因为X+2Y=4，所以Y=2-1所以E(Y)=2-12E(X)=故选C.【题目点拨】该题考查的正态分布的期望与方差，以及两个线性关系的变量的期望与方差之间的关系，属于简单题目.12、D【解题分析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式的常数项．【题目详解】由于故展开式的常数项为，故选D．【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设向量、的夹角为，在不等式两边平方，利用数量积的运算律和定义求出的取值范围，于此可求出的取值范围．【题目详解】设向量、的夹角为，，两边平方得，、都是单位向量，则有，得，，，因此，向量、的夹角的取值范围是，故答案为．【题目点拨】本题考查平面数量积的运算，考查平面向量夹角的取值范围，在涉及平面向量模有关的计算时，常将等式或不等式进行平方，结合数量积的定义和运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题．14、【解题分析】因为，所以，则曲线在点处的切线的斜率为，即所求切线方程为，即.15、【解题分析】

首先由斜二测图形还原平面图形，然后求解其面积即可.【题目详解】由几何关系可得，斜二测图形中：，由斜二测图形还原平面图形，则原图是一个直角梯形，其中上下底的长度分别为1,2，高为，其面积.【题目点拨】本题主要考查斜二测画法，梯形的面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16、【解题分析】略三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析；（3）【解题分析】

（1）利用对数函数的性质，结合换元法，令则，求出的表达式即可；（2）结合（1）中的解析式，利用函数奇偶性的定义判断函数的定义域和与的关系；利用指数函数的单调性和简单复合函数单调性的判断法则即可求解；（3）利用函数在上的单调性和奇偶性得到关于m的不等式，解不等式即可.【题目详解】（1）令，则，所以，即.（2）由（1）知，，其定义域为，关于原点对称，因为，所以函数为奇函数，当时，因为是上的减函数，是上的增函数，所以函数为上的减函数，为上的减函数，又因为，∴为上的增函数.（3）∵，∴，又为上的奇函数，∴，因为函数在上是增函数，∴，解之得：，所以实数m的取值范围为.【题目点拨】本题考查换元法求函数解析式、函数奇偶性的判断、指数函数的单调性和简单复合函数单调性的判断、利用函数在给定区间上的奇偶性和单调性解不等式；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；属于综合性试题、中档题.18、（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【解题分析】

（1）利用导数求函数的单调性即可；（2）对求导，得，因为，所以，令，求导得在上单调递增，，使得，进而得在上单调递增，在上单调递减；所以，令，求导得在上单调递增，进而求得m的范围.【题目详解】（1）因为，所以，当时，；当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，，则，当时，，令，则，所以在上单调递增，因为，，所以存在，使得，即，即.故当时，，此时；当时，，此时.即在上单调递增，在上单调递减.则.令，，则.所以在上单调递增，所以，.故成立.【题目点拨】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.19、（1）（2）【解题分析】试题分析：（1）将点代入椭圆方程,结合关系式和,组成方程组,可解得的值,从而可得椭圆的方程.（2）由题意分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为.将直线方程和椭圆方程联立,消去整理为关于的一元二次方程.由题意可知其判别式大于0,可得的范围.设，的坐标分别为，.由韦达定理可得的值.根据数量积公式用表示.根据的范围求得范围.试题解析：解：（1）由题意得解得，．椭圆的方程为．（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由得.直线与椭圆交于不同的两点，，，解得.设，的坐标分别为，，则，，，．．，．的取值范围为．考点：1椭圆的简单基本性质;2直线与椭圆的位置关系;3值域问题.20、（1）；（2）1.【解题分析】

（1）根据题意可得：圆的半径，从而求出值，得到抛物线方程；（2）设出和的方程，分别与抛物线联立方程，消去，得到关于的一元二次方程，写出韦达定理，利用弦长公式求出、的长，从而表示出四边形面积，利用二次函数的性质求出最小值。【题目详解】由于过点作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，则，以线段为直径的圆过点，则圆的半径，解得：,故抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，联立，消去得：，设点，则，，所以，同理可得：，则四边形的面积：.令，则当，即时，，四边形DGEH面积的最小值为1．【题目点拨】本题考查抛物线方程的求法以及圆锥曲线中的弦长公式，考查学生设而不求的思想，有一定难度。21、（1），；（2）的减区间为和；增区间为.【解题分析】分析：（1）求函数的导数，利用已知条件和导数的几何意义，即可用分别表示和；（2）当取得最小值时，求得，和的值.写出函数的解析式，根据求导法则求出，令=0求出的值，分区间讨论的正负，即可得到函数的单调区间.详解：解：（1）因为，所以又因为曲线通过点,故，而，从而.又曲线在处的切线垂直于轴，故，即，因此.（2）由（1）得，故当时，取得最小值.此时有.从而，，，所以.令，解得.当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数.当时，，故在上为减函数.由此可见，函数的单调递减区间为和；单调递增区间为.点睛：本题考查导数的几何意义，利用函数的导数研究函数的单调性，以及二次函数的最值问题，做题时要注意函数的求导法则的正确运用.22、（1）证明过程详见试题解析；（2）证明过程详见试题解析.【解题分析】

（1）利用综合法证明即可；（2）利用反证法证明，假设是同一个等差数列中的三项，分别设为am，an，ap，推出为无理