2024届江苏省淮安市清江中学等四校数学高二第二学期期末监测试题含解析

2024届江苏省淮安市清江中学等四校数学高二第二学期期末监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．2．给出以下命题：（1）若，则；（2）；（3）的原函数为，且是以为周期的函数，则：其中正确命题的个数为（）．A．1 B．2 C．3 D．43．函数有（）A．极大值，极小值3 B．极大值6，极小值3C．极大值6，极小值 D．极大值，极小值4．已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据()A．一样稳定 B．变得比较稳定C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断5．在中，，，分别是内角，，所对的边，若，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形6．函数的图象大致为()A． B．C． D．7．已知随机变量，若，则实数的值分别为()A．4，0.6 B．12，0.4 C．8，0.3 D．24，0.28．倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点（点，分别位于轴的左、右两侧），，则的值是（）A． B． C． D．9．已知复数满足（为虚数单位），则（）.A．1 B．2 C．3 D．10．中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则()A．7 B．8 C．5 D．611．曲线的参数方程为，则曲线是（）A．线段 B．双曲线的一支 C．圆弧 D．射线12．将函数的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为A． B． C．0 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若的展开式中的系数为，则实数的值为__________.14．已知函数f(x)=|lnx|,0<x≤e3-x+e3+3,x>15．如图是一个算法流程图，则输出的的值为______．16．已知矩阵，，则矩阵________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．（1）求b的值；（2）求的值．18．（12分）在如图所示的几何体中，平面平面，四边形和四边形都是正方形，且边长为，是的中点.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的大小.19．（12分）已知函数，曲线在点处切线与直线垂直.（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.20．（12分）（1）化简：；（2）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是多少?21．（12分）已知函数的定义域为R，值域为，且对任意，都有，.（Ⅰ）求的值，并证明为奇函数；（Ⅱ）若时，，且，证明为R上的增函数，并解不等式.22．（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若对于任意恒成立，求实数的最小值，并求当取最小值时的范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【题目详解】解：∵函数的定义域是∴，∵是函数的唯一一个极值点∴是导函数的唯一根，∴在无变号零点，即在上无变号零点，令，因为，所以在上单调递减，在上单调递增所以的最小值为，所以必须，故选：A．【题目点拨】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．2、B【解题分析】

(1)根据微积分基本定理,得出,可以看到与正负无关.

(2)注意到在的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为求解判断即可.

(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合,判定.【题目详解】(1)由,得,未必.(1)错误.(2),(2)正确.(3),；故；(3)正确.所以正确命题的个数为2,故选：B.【题目点拨】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.3、C【解题分析】

对原函数求导，通过导函数判断函数的极值，于是得到答案.【题目详解】根据题意，，故当时，；当时，；当时，.故在处取得极大值；在处取得极小值，故选C.【题目点拨】本题主要考查利用导数求函数极值，难度不大.4、C【解题分析】

根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断．【题目详解】由题可得：平均值为2，由，，所以变得不稳定.故选：C.【题目点拨】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．5、B【解题分析】

利用正弦定理和两角和的正弦化简可得，从而得到即.【题目详解】因为，所以，所以即，因为，故，故，所以，为直角三角形，故选B.【题目点拨】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.6、D【解题分析】

利用函数的奇偶性和特殊值,借助排除法即可得出结果.【题目详解】是奇函数,是偶函数，是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项;排除B,C选项;故选:D.【题目点拨】本题考查已知函数解析式判断函数图象,考查函数性质,借助特殊值代入的排除法是解答本题的关键,难度较易.7、B【解题分析】

由，可得，由此列出关于的方程组，从而得出结果。【题目详解】解：据题意，得,解得，故选B。【题目点拨】本题考查了二项分布的数学期望和方差，熟记离散型随机变量的数学期望和方差的性质是关键。8、D【解题分析】

设，则，由抛物线的定义，得，，进而可求BE、AE，最后由可求解.【题目详解】设，则A、B两点到准线的距离分别为AC、BD，由抛物线的定义可知：，过A作，垂足为E..故选：D【题目点拨】本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题.9、D【解题分析】

根据复数的基本运算法则进行化简，然后求模即可．【题目详解】解：，，故选：D．【题目点拨】本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．10、A【解题分析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=1．故选A．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．11、A【解题分析】由代入消去参数t得又所以表示线段。故选A12、B【解题分析】将函数的图象沿轴向右平移个单位后，

得到函数的图象对应的函数解析式为再根据所得函数为偶函数，可得故的一个可能取值为：故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】

利用二项展开式通项，令的指数为，解出参数的值，再将参数的值代入展开式，利用系数为，求出实数的值.【题目详解】二项式展开式的通项为，令，解得，由题意得，解得，故答案为：.【题目点拨】本题考查利用二项式指定项的系数求参数的值，解题的关键就是充分利用二项式定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.14、1【解题分析】试题分析：由题意得，0<lnx2<3⇒1<x2<e3，因为存在x1<x2<x3，f(x1)=f(考点：分段函数的性质及利用导数求解函数的最值．【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性与极值、最值，着重考查了学生分析、解答问题的能力，同时考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，先确定1<x2<15、【解题分析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【题目详解】模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为1．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.16、【解题分析】

先求出，再与矩阵B相乘即可.【题目详解】由已知，，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查矩阵的乘法运算，涉及到可逆矩阵的求法，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)．(2)【解题分析】

（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求sin（B）＝0，结合范围B∈（，），可求B的值，由余弦定理可得b的值．（2）由（1）及余弦定理可得cosC的值，计算出sinC，根据两角差的余弦函数公式即可计算得解cos（C﹣B）的值．【题目详解】（1）∵a＝2，c＝3，，可得：cosBsinBcosB，∴可得：sin（B）＝0，∵B∈（0，π），B∈（，），∴B0，可得：B，∴由余弦定理可得：b．（2）由余弦定理得．可知，故由得，．【题目点拨】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18、（1）见解析；（2）.【解题分析】试题分析：（1）连结交于，根据平行四边形性质得是中点，再根据三角形中位线性质得，最后根据线面平行判定定理得结论,（2）根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解各面法向量,根据向量数量积求夹角,最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角.试题解析：（1）∵且，与交于点，与交于点∴平面平面，∴几何体是三棱柱又平面平面，，∴平面，故几何体是直三棱柱（1）四边形和四边形都是正方形，所以且，所以四边形为矩形；于是，连结交于，连结，是中点，又是的中点，故是三角形D的中位线，，注意到在平面外，在平面内，∴直线平面（2）由于平面平面，，∴平面，所以.于是，，两两垂直.以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，因正方形边长为，且为中点，所以，，，于是，，设平面的法向量为则，解之得，同理可得平面的法向量，∴记二面角的大小为，依题意知，为锐角，，即求二面角的大小为19、（1），理由见解析（2）详见解析【解题分析】

（1）求出的导数，由两直线垂直的条件，即可得切线的斜率和切点坐标，进而可知的解析式和导数，求解单调区间，可得，即可得到与的大小；（2）运用分析法证明，不妨设，由根的定义化简可得，，要证：只需要证：，求出，即证，令，即证，令，求出导数，判断单调性，即可得证.【题目详解】（1）函数，，所以，又由切线与直线垂直，可得，即，解得，此时，令，即，解得，令，即，解得，即有在上单调递增，在单调递减所以即（2）不妨设，由条件：，要证：只需要证：，也即为，由只需要证：，设即证：，设，则在上是增函数，故，即得证，所以.【题目点拨】本题主要考查了导数的运用，求切线的斜率和单调区间，构造函数，运用单调性解题是解题的关键，考查了化简运算整理的能力，属于难题.20、（1）详见解析；（2）【解题分析】

（1）根据组合数的运算公式求解；（2）首先列举所有不超过30的素数，然后按照古典概型写出概率.【题目详解】（1）（2）不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，任取2个不同的数有种方法，其中和为30的有共三组，则【题目点拨】本题考查组合数的证明和古典概型的概率公式意在考查推理与证明和计算能力，属于基础题型21、（Ⅰ）,见解析；（Ⅱ）解集为.【解题分析】

（Ⅰ）由题意令，求得，再利用函数的奇偶性的定义，即可判定函数的奇偶性；（Ⅱ）根据函数的单调性的定义，可判定函数为单调递增函数，再利用函数的单调性，把不等式得到，进而可求解不等式的解集。【题目详解】（Ⅰ）令，得.∵值域为，∴.∵的定义域为，∴的定义域为.又∵，∴，为奇函数.（Ⅱ）任取∵，∴，∵时，，∴，∴，又值域为，∴，∴.∴为上的增函数.，∵.又为R上的增函数，∴.故的解集为.【题目点拨】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判定，以及函数的基本性质的应用问题，其中解答中熟记函数的单调性和