2024届山西省吕梁市离石区数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析

2024届山西省吕梁市离石区数学高二下期末质量跟踪监视试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）A． B． C． D．2．双曲线的焦点坐标是A． B． C． D．3．如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（）A． B．C． D．4．已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是A． B． C． D．5．若随机变量服从正态分布，则（）附：随机变量，则有如下数据：，，.A． B． C． D．6．已如集合，，则（）A． B． C． D．7．函数是（）A．偶函数且最小正周期为2 B．奇函数且最小正周期为2C．偶函数且最小正周期为 D．奇函数且最小正周期为8．随机变量服从正态分布，则的最小值为（）A． B． C． D．9．函数有极值的充要条件是（）A． B． C． D．10．已知函数在恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．11．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种A．19 B．7 C．26 D．1212．已知集合,则中所含元素的个数为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在复平面上，复数、分别对应点、，为坐标原点，则______．14．将极坐标化成直角坐标为_________.15．已知在平面内，点关于轴的对称点的坐标为.根据类比推理，在空间中，点关于轴的对称点的坐标为__________．16．定积分的值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数．(1)请列出X的分布列；(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．18．（12分）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：必过定点，并求出该定点的坐标．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点，l和C交于A，B两点，求.20．（12分）中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道.某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人，对他们的主要购物方式进行问卷调查.现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如下图表：主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下7540岁或40岁以上55总计（1）根据已知条件完成上述列联表，并据此资料，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？（2）用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，然后再从这8名消费者中抽取5名进行答谢.设抽到的消费者中40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中.临界值表：21．（12分）选修4一5:不等式选讲已知函数，.(1)当时,解不等式；(2)若对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.22．（10分）已知函数（为常数）．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

利用函数的定义即可得到结果.【题目详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，故选B．【题目点拨】本题考查函数的定义，即“对于集合A中的每一个值，在集合B中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).2、C【解题分析】分析：由题意求出，则，可得焦点坐标详解：由双曲线，可得，故双曲线的焦点坐标是选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.3、C【解题分析】

根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解.【题目详解】由图象知，函数是奇函数，排除，；当时，显然大于0，与图象不符，排除D，故选C.【题目点拨】本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题.4、A【解题分析】

先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.【题目详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，∵，∴，∴，，．∵当时，单调递减，∴，故选A．【题目点拨】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小5、B【解题分析】

先将、用、表示，然后利用题中的概率求出的值.【题目详解】由题意可知，，则，，，因此，，故选B.【题目点拨】本题考查利用正态分布原则求概率，解题时要将相应的数用和加以表示，并利用正态曲线的对称性列式求解，考查计算能力，属于中等题.6、A【解题分析】

求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【题目详解】由题意，集合，∴集合．故选：A．【题目点拨】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7、C【解题分析】

首先化简为，再求函数的性质.【题目详解】，是偶函数，故选C.【题目点拨】本题考查了三角函数的基本性质，属于简单题型.8、D【解题分析】

利用正态密度曲线的对称性得出，再将代数式与相乘，展开后可利用基本不等式求出的最小值．【题目详解】由于，由正态密度曲线的对称性可知，，所以，，即，，由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选D.【题目点拨】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．9、C【解题分析】因为，所以，即，应选答案C．10、B【解题分析】

本题可转化为函数与的图象在上有两个交点，然后对求导并判断单调性，可确定的图象特征，即可求出实数的取值范围.【题目详解】由题意，可知在恰有两个解，即函数与的图象在上有两个交点，令，则，当可得，故时，；时，.即在上单调递减，在上单调递增，，，，因为，所以当时，函数与的图象在上有两个交点，即时，函数在恰有两个零点.故选B.【题目点拨】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法：（1）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.11、C【解题分析】

由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出．【题目详解】顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，

①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种，

当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有，故有2+5=7种，

②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种，

当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有，故有2+5=7种，

③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则,若没有人使用现金，则有种，故有6+6=12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种，

故选C．【题目点拨】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题.12、D【解题分析】列举法得出集合，共含个元素．故答案选二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由复数、分别对应点,,可得,即可计算.【题目详解】复数、分别对应点,,可得:,故答案为:.【题目点拨】本题考查复平面和数量积,主要考查复数的几何意义.掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键,属于基础题.14、【解题分析】

试题分析：由题意得，，所以直角坐标为故答案为：考点：极坐标与直角坐标的互化.15、【解题分析】

在空间中，点关于轴的对称点：轴不变，轴取相反数.【题目详解】在空间中，点关于轴的对称点：轴不变，轴取相反数.点关于轴的对称点的坐标为故答案为：【题目点拨】本题考查了空间的对称问题，意在考查学生的空间想象能力.16、【解题分析】分析：，其中利用定积分的几何意义计算.详解：，其中的几何意义为函数与直线及轴所围成的图形的面积，即圆在第一象限的部分的面积，其值为.而.所以原式.故答案为：.点睛：本题主要考查定积分，定积分的几何意义，圆的面积等基础知识，考查数形结合思想，解答定积分的计算，关键是熟练掌握定积分的相关性质.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）X

0

1

2

3

1

P

（2）【解题分析】

试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，1．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．（2）选出的1人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有1人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，1．．∴所以X的分布列为：（2）由分布列可知至少选3名男生，即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=1）=+=．点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，.【解题分析】

（I）由于两点关于轴对称，故由题设知经过两点.又由知，不经过点，所以点在上.将两点的坐标代入方程，联立即可解得，从而得出的方程；（II）设直线与直线的斜率分别为，，利用设而不求方法证明．【题目详解】（I）由于两点关于轴对称，故由题设知经过两点.又由知，不经过点，所以点在上.因此，解得.故的方程为.（II）设直线与直线的斜率分别为，将代入得由题设可知.设，则.而由题设，故.即.解得.当且仅当时，，则由，得，所以过定点.【题目点拨】设而不求方法的一般思路，设出直线与圆锥曲线的的交点坐标，将直线方程和圆锥曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式或斜率关系结合题意解答．19、(1)..(2).【解题分析】

（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点在直线l上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.【题目详解】（1）消去参数α得，即C的普通方程为.由，得，（*）将，代入（*），化简得，所以直线l的倾斜角为.（2）由（1），知点在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），代入并化简，得，，设A，B两点对应的参数分别为，，则，，所以，，所以.【题目点拨】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.20、（1）可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关；（2）见解析【解题分析】

(1)先由频率分布直方图得到列联表，再根据公式计算得到卡方值，进而作出判断；（2）消费者中40岁以下的人数为，可能取值为3，4，5，求出相应的概率值，再得到分布列和期望.【题目详解】（1）根据直方图可知40岁以下的消费者共有人，40或40岁以上的消费者有80人，故根据数据完成列联表如下：主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下754512040岁或40岁以上255580总计100100200依题意，的观测值故可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关.（2）从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，其中40岁以下的有6人，40岁或40岁以上的有2人，从这8名消费者抽取5名进行答谢，设抽到的消费者中40岁以下的人数为，则的可能取值为3，4，5且，，，则的分布列为：345故的数学期望为3.75.【题目点拨】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.21、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）