湖南省五市十校教研教改共同体2024届高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

湖南省五市十校教研教改共同体2024届高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．通过随机询问111名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：男女总计爱好412131不爱好212151总计3151111由得，1．1511．1111．1112．8413．32511．828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过1.111的前提下，认为“爱好运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1.11的前提下，认为“爱好运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过1.111的前提下，认为“爱好运动与性别无关”D．有以上的把握认为“爱好运动与性别无关”2．设非零向量满足，，则向量间的夹角为()A．150° B．60°C．120° D．30°3．已知是抛物线上一点，则到抛物线焦点的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．64．已知数列满足（，且是递减数列，是递增数列，则A．B．C．D．5．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，△ABC的面，则a=（）A．1 B． C． D．6．设，则（）A． B．10 C． D．1007．设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（）A．的极大值为，极小值为B．的极大值为，极小值为C．的极大值为，极小值为D．的极大值为，极小值为8．平面向量与的夹角为，则（）A．4 B．3 C．2 D．9．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在内的人数占公司总人数的百分比是（精确到）（）A． B． C． D．10．函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）11．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星至地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c.李明根据所学的椭圆知识，得到下列结论：①卫星向径的最小值为a-c，最大值为a+c；②卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁；③卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大其中正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．312．复数=A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__.14．在空间四边形中，若分别是的中点，是上点，且，记，则_____.15．孙悟空、猪八戒、沙和尚三人中有一个人在唐僧不在时偷吃了干粮，后来唐僧问谁偷吃了干粮，孙悟空说是猪八戒，猪八戒说不是他，沙和尚说也不是他。他们三人中只有一个说了真话，那么偷吃了干粮的是__________．16．函数的定义域是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求的最小正周期和单调增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值18．（12分）已知等差数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．19．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．（1）证明：平面;（2）设，，三棱锥的体积，求A到平面PBC的距离．20．（12分）若函数，.（1）把化成或的形式；（2）判断在上的单调性，并求的最大值．21．（12分）《基础教育课程改革纲要(试行)》将“具有良好的心理素质”列入新课程的培养目标．为加强心理健康教育工作的开展，不断提高学生的心理素质，九江市某校高二年级开设了《心理健康》选修课，学分为2分．学校根据学生平时上课表现给出“合格”与“不合格”两种评价，获得“合格”评价的学生给予41分的平时分，获得“不合格”评价的学生给予31分的平时分，另外还将进行一次测验．学生将以“平时分×41%+测验分×81%”作为“最终得分”，“最终得分”不少于51分者获得学分．该校高二(1)班选修《心理健康》课的学生的平时分及测验分结果如下：测验分[31，41)[41，41)[41，51)[51，61)[61，81)[81，91)[91，111]平时分41分人数1113442平时分31分人数1111111（1）根据表中数据完成如下2×2列联表，并分析是否有94%的把握认为这些学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联？选修人数测验分达到51分测验分未达到51分合计平时分41分平时分31分合计（2）用样本估计总体，若从所有选修《心理健康》课的学生中随机抽取4人，设获得学分人数为，求的期望．附：，其中1．11．141．1241．111．1141．1112．6153．8414．1245．5346．86911．82822．（10分）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

试题分析：根据列联表数据得到7.8，发现它大于3.325，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”，从而可得结论．解：∵7.8＞3.325，∴有1.11=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选B．点评：本题考查独立性检验的应用，考查利用临界值，进行判断，是一个基础题2、C【解题分析】

利用平方运算得到夹角和模长的关系，从而求得夹角的余弦值，进而得到夹角.【题目详解】即本题正确选项：【题目点拨】本题考查向量夹角的求解，关键是利用平方运算和数量积运算将问题变为模长之间的关系，求得夹角的余弦值，从而得到所求角.3、B【解题分析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点到抛物线焦点的距离．详解：由抛物线方程可得抛物线中，则利用抛物线的定义可得点到抛物线焦点的距离．故选B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4、D【解题分析】试题分析：由可得：，又是递减数列，是递增数列，所以，即，由不等式的性质可得：，又因为，即，所以，即，同理可得：；当数列的项数为偶数时，令，可得：，将这个式子相加得：，所以，则，所以选D．考点：1．裂项相消法求和；2．等比数列求和；5、A【解题分析】

根据三角形面积公式可得,利用正余弦平方关系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.【题目详解】因为，，面积，所以.所以.所以，.所以.故选A.【题目点拨】本题考查正余弦定理,面积公式,基础题.6、B【解题分析】

利用复数的除法运算化简为的形式，然后求得的表达式，进而求得.【题目详解】，，.故选B.【题目点拨】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的平方和模的运算，属于基础题.7、C【解题分析】

由的图象可以得出在各区间的正负，然后可得在各区间的单调性，进而可得极值.【题目详解】由图象可知：当和时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.所以的极小值为，极大值为.故选C.【题目点拨】本题考查导数与函数单调性的关系，解题的突破点是由已知函数的图象得出的正负性.8、C【解题分析】

根据条件，得出向量的坐标，进行向量的和的计算，遂得到所求向量的模．【题目详解】由题目条件，两向量如图所示：可知则答案为2.【题目点拨】本题考查了向量的坐标和线性加法运算，属于基础题．9、A【解题分析】

求出样本平均值与方差，可得年龄在内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果.【题目详解】,,年龄在内，即内的人数有5人，所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比是等于，故选A.【题目点拨】样本数据的算术平均数公式．样本方差公式，标准差.10、B【解题分析】

根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。【题目详解】根据题意，函数满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，若函数在上单调递减，则在上递增，所以要使，则有，变形可得，解可得：或，即的取值范围为；故选：B．【题目点拨】本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。11、C【解题分析】

根据椭圆的焦半径的最值来判断命题①，根据椭圆的离心率大小与椭圆的扁平程度来判断命题②，根据题中“速度的变化服从面积守恒规律”来判断命题③。【题目详解】对于命题①，由椭圆的几何性质得知，椭圆上一点到焦点距离的最小值为a-c，最大值为a+c，所以，卫星向径的最小值为a-c，最大值为a+c，结论①正确；对于命题②，由椭圆的几何性质知，当椭圆的离心率e=ca越大，椭圆越扁，卫星向径的最小值与最大值的比值a-ca+c对于命题③，由于速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星越靠近远地点时，向径越大，当卫星越靠近近地点时，向径越小，由于在相同时间扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，结论③错误。故选：C。【题目点拨】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆几何量对椭圆形状的影响，在判断时要充分理解这些几何量对椭圆形状之间的关系，考查分析问题的能力，属于中等题。12、A【解题分析】

根据复数的除法运算得到结果.【题目详解】复数=故答案为：A.【题目点拨】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、[﹣，0]【解题分析】

建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算•x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【题目详解】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点A（1，0，0），C1（0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴•x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函数的性质可得，当x＝y时，•取得最小值为；当x＝0或1，且y＝0或1时，•取得最大值为0，则•的取值范围是[，0]．故答案为：[，0]．【题目点拨】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．14、【解题分析】

由条件可得【题目详解】因为，分别是的中点所以所以故答案为：【题目点拨】本题考查的是空间向量的线性运算，较简单.15、沙和尚【解题分析】

用假设法逐一假设偷吃干粮的人,再判断得到答案.【题目详解】(1)假设偷吃干粮的是孙悟空,则猪八戒和沙和尚都是真话,排除(2)假设偷吃干粮的是猪八戒,则孙悟空和沙和尚都是真话,排除(3)假设偷吃干粮的是沙和尚,则只有猪八戒说的真话,满足答案是沙和尚【题目点拨】本题考查了逻辑推理的知识,意在考查学生的逻辑推理能力,属于基础题.16、【解题分析】

将函数的指数形式转化为根式形式,即可求得其定义域.【题目详解】函数即根据二次根式有意义条件可知定义域为故答案为:【题目点拨】本题考查了具体函数定义域的求法,将函数解析式进行适当变形,更方便求解,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）最小正周期增区间为；（2）最大值和最小值分别为和.【解题分析】

（1）先将函数化简整理，得到，再由正弦函数的性质，即可得出结果；（2）先由的范围，得到的范围，进而可得出结果.【题目详解】(1)因为所以的最小正周期由，所以，因此，增区间为(2)因为，所以.所以当，即时，函数取得最大值当，即时，函数取得最小值所以在区间上的最大值和最小值分别为和【题目点拨】本题主要考查三角函数，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.18、(I)；(Ⅱ)，或【解题分析】

（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式．（Ⅱ）由，并结合（1）可计算出首项和公比，代入等比数列的求和公式可求得.【题目详解】(I)设等差数列的公差为，∵．∴，，解得，，∴．(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，联立解得，，∴，或．【题目点拨】本题考查数列的基本公式．等差数列的通项公式,等比数列的前n项和公式.19、（1）证明见解析（2）到平面的距离为【解题分析】

试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由题设易知，所以故，又所以到平面的距离为法2：等体积法由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d，又因为PB=所以又因为(或)，，所以考点：线面平行的判定及点到面的距离20、（1）；（2）函数在上单调递增，在上单调递减．最大值为.【解题分析】

（1）利用辅助角公式将函数的解析式化简为；（2）由计算出，分别令，可得出函数在区间上的单调递增区间和单调递减区间，再由函数的单调性得出该函数的最大值.【题目详解】（1）；（2）∵，∴，令，则在上单调递增，令，得，函数在上单调递减．令，得.函数在上单调递增，在上单调递减．当，函数有最大值.【题目点拨】本题考查三角函数的单调性与最值，解题的关键在于将三角函数解析式利用三角恒等变换思想化简，并利用正弦或余弦函数的性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21、（1）有94%的把握认为学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联；（2）4【解题分析】

（1）根据数据填表，然后计算，可得结果.（2）根据计算，可得未获得分数的人数，然后可知获得分数的概率，依据二项分布数学期望的计算方法，可得结果.【题目详解】解：（1）根据表中数据统计，可得2x2列联表选修人数测验分合计达到51分未达到51分平时分41分13214平时分31分2