2024届江苏省扬州市梅岭中学高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届江苏省扬州市梅岭中学高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设,则（）A．a<b〈c B．b<a<c C．c〈a〈b D．c<b〈a2．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．3．已知复数（其中为虚数单位），则A． B． C． D．4．某城市关系要好的，，，四个家庭各有两个小孩共人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐名（乘同一辆车的名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名小孩恰有名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．种 B．种 C．种 D．种5．已知随机变量的概率分布如下表，则（）A． B． C． D．6．已知直线y=x+1与曲线y=A．1B．2C．-1D．-27．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．48．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A． B． C． D．9．设集合,，则（）A． B． C． D．10．外接圆的半径等于1，其圆心O满足，则向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．311．若直线经过点，且原点到直线的距离为，则直线的方程为A． B．C．或 D．或12．设函数是定义在上的奇函数，且当时，，记，，，则的大小关系为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若幂函数的图像经过点，则__________．14．已知函数，若，则实数的取值范围是___．15．如图，在正方体中，与所成角的大小为________.16．已双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的焦距是_________；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为．（1）求正四棱柱的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小．18．（12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.19．（12分）（1）集合，或，对于任意，定义，对任意，定义，记为集合的元素个数，求的值；（2）在等差数列和等比数列中，，，是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中，若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；（3）已知当时，有，根据此信息，若对任意，都有，求的值.20．（12分）已知一个口袋中有个红球和个白球（，，），这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个摸出（不放回），直到红球全部被摸出为止．（1）当，时，试求“摸球次数为5”的概率；（2）随机变量表示摸球次数，是的数学期望．写出的概率分布列，并求．21．（12分）已知椭圆：的左焦点左顶点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知，是椭圆上的两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点.若，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.22．（10分）某地方政府召开全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前、后生产的大量产品中各抽取了200件作为样本，检测一项质量指标值．若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图所示的是设备改造前样本的频率分布直方图．（1）若设备改造后样本的该项质量指标值服从正态分布，求改造后样本中不合格品的件数；（2）完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量标值与设备改造有关．0设备改造前设备改造后合计合格品件数不合格品件数合计附参考公式和数据：若，则，．0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：先对a,b,c,进行化简，然后进行比较即可.详解：，又故，故选D.点睛：考查对指数幂的化简运算，定积分计算，比较大小则通常进行估算值的大小，属于中档题.2、A【解题分析】

先利用定积分计算阴影部分面积，再用阴影部分面积除以总面积得到答案.【题目详解】曲线分别是，的一部分则阴影部分面积为：总面积为：【题目点拨】本题考查了定积分，几何概型，意在考查学生的计算能力.3、B【解题分析】分析：根据复数的运算法则和复数的模计算即可.详解：，则.故选：B.点睛：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．4、B【解题分析】若A户家庭的李生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有种方法.若A户家庭的李生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有.所以共有12+12=24种方法.本题选择B选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．5、C【解题分析】由分布列的性质可得：，故选C.6、B【解题分析】设切点P(x0,y∴x7、A【解题分析】对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；对于③，直线n可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A.8、C【解题分析】

根据函数奇偶性定义，代入-x检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数．【题目详解】A．在定义域上既不是增函数，也不是减函数；B．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数；C．在其定义域上既是奇函数又是增函数；D．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数，故选C．【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．9、C【解题分析】

先求出集合、，再利用交集的运算律可得出集合.【题目详解】，，因此，，故选C.【题目点拨】本题考查集合的交集运算，考查学生对于集合运算律的理解应用，对于无限集之间的运算，还可以结合数轴来理解，考查计算能力，属于基础题．10、C【解题分析】分析：先根据题意画出图形，由已知条件可知三角形为直角三角形，且，再根据直角三角形射影定理可求得所求投影的值.详解：根据题意画出图像如下图所示，因为，所以为中点，所以是圆的直径，所以.由于，所以三角形为等边三角形，所以，根据直角三角形射影定理得，即.故选C.点睛：本小题主要考查圆的几何性质，考查向量加法的几何意义，考查直角三角形射影定理等知识.属于中档题.11、D【解题分析】

当直线斜率不存在时，满足题意；当直线斜率存在时，假设直线方程，利用点到直线距离公式构造方程解得结果.【题目详解】当直线斜率不存在时，方程为：，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为：，即：原点到直线距离：，解得：直线为：，即：综上所述：直线的方程为：或本题正确选项：【题目点拨】本题考查点到直线距离公式的应用，易错点是忽略直线斜率不存在的情况，导致求解错误.12、A【解题分析】分析：根据x＞0时f（x）解析式即可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（x）为奇函数即可得出，然后比较的大小关系，根据f（x）在（0，+∞）上单调递增即可比较出a，b，c的大小关系．详解：x＞0时，f（x）=lnx；∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；∵f（x）是定义在R上的奇函数；=；，；∴；∴；∴a＜b＜c；即c＞b＞a．故选A．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设出幂函数，代入点计算函数表达式，将代入得到答案.【题目详解】设：，图像经过点，即故答案为【题目点拨】本题考查了幂函数的计算，属于简单题.14、【解题分析】

对的范围分类讨论函数的单调性，再利用可判断函数在上递增，利用函数的单调性将转化成：，解得：，问题得解.【题目详解】当时，，它在上递增，当时，，它在上递增，又所以在上递增，所以可化为：，解得：.所以实数的取值范围是故填：【题目点拨】本题主要考查了分类思想及函数单调性的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。15、【解题分析】

记点正上方的顶点为，在正方体中，得到即是与所成的角，进而可得出结果.【题目详解】如图，记点正上方的顶点为，在正方体中，显然，所以即是与所成的角，易得：故答案：【题目点拨】本题主要考查异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角，即可求解，属于常考题型.16、【解题分析】

由渐近线方程设出双曲线方程为，代入已知点的坐标求出，化双曲线方程为标准方程后可得，从而求得。【题目详解】由题意设双曲线方程为，又双曲线过点，∴，∴双曲线方程为，即，，，∴焦距为。故答案为：。【题目点拨】本题考查双曲线的焦距，求双曲线的标准方程。已知双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线方程为，代入已知条件求得，即得双曲线方程。而不需考虑焦点所在的轴。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）是与底面所成的角,所以,可得,在用柱体体积公式即可求得答案;（2）因为正四棱柱,可得,所以是异面直线与所成的角.【题目详解】（1）如图,连接正四棱柱的底面边长面是与底面所成的角在中,正四棱柱的体积为:.（2）正四棱柱是异面直线与所成的角在中,异面直线与所成的角为:.【题目点拨】本题考查了正四棱柱体积和空间异面直线夹角.在求解异面直线所成角的求解,通过平移找到所成角是解这类问题的关键.18、（1）（2）（3）【解题分析】

解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，由于与互斥，故所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故，．所以ξ的分布列是ξ

0

2

4

P

随机变量ξ的数学期望考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列．19、（1），；（2）为正偶数；（3）；【解题分析】

（1）由题意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素个数；利用倒序相加法及，即可得到答案；（2）假设存在，对分奇数和偶数两种情况进行讨论；（3）利用类比推理和分类计数原理可得的值.【题目详解】（1）由题意得：集合表示方程解的集合，由于或，所以方程中有个，个，从而可得到解的情况共有个，所以.令，所以，所以，所以，即.（2）当取偶数时，中所有项都是中的项.由题意：均在数列中，当时，，说明数列的第项是数列中的第项.当取奇数时，因为不是整数，所以数列的所有项都不在数列中.综上所述：为正偶数.（3）当时，有①当时，②又对任意，都有③所以即为的系数，可取①中、②中的1；或①中、②中的；或①中、②中的；或①中的、②中的；所以.【题目点拨】本题第（1）问考查对集合新定义的理解；第（2）问考查等比数列的控究性问题；第（3）问考查类比推理与计数原理相结合；对逻辑推理能力和运算求解能力要求较高，属于难题.20、（1）；（2）分布列见详解；.【解题分析】

（1）根据题意，先得出红球全部摸出所包含的情况，再求出摸球5次所包含的基本事件个数，进而可求出概率；（2）根据题意，先得出的可能取值为：，结合题意，求出对应的概率，进而可得出分布列，再由期望的计算公式，以及组合数的性质，即可求出结果.【题目详解】（1）当，时，由题意，红球全部摸出，共有种情况；若摸球次数为5，则第5次摸到红球，此时所包含的基本事件个数为个；因此，“摸球次数为5”的概率为；（2）由题意，的可能取值为：，从袋中个红球和个白球中，将红球全部摸出，共有种情况；则，，，，……，，所以的分布列为：因此其数学期望为：

因为所以.【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，古典概型的概率问题，以及组合数的性质，难度较大.21、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.【解题分析】分析：（Ⅰ）根据条件依次求得，和，从而可得方程；（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2），PB的直线方