2024届上海市宝山区建峰高中高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届上海市宝山区建峰高中高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（）A． B． C． D．2．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是A． B． C． D．3．设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，，则数列的前项和的取值范围是()A． B． C． D．4．已知函数的图象关于直线对称，且在上为单调函数，下述四个结论：①满足条件的取值有个②为函数的一个对称中心③在上单调递增④在上有一个极大值点和一个极小值点其中所有正确结论的编号是（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③5．设函数的定义域A，函数的值域为B，则（）A． B． C． D．6．下列选项错误的是（）A．“”是“”的充分不必要条件.B．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”C．若命题“”，则“”.D．若“”为真命题，则均为真命题.7．现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为和的座位；乙：我不坐座位号为和的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为的座位，我就不坐座位号为的座位.那么坐在座位号为的座位上的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．已知集合，，则=（）A． B． C． D．9．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的x的值为()A． B． C． D．10．若均为单位向量，且，则的最小值为（）A． B．1 C． D．11．已知随机变量的取值为，若，，则（）A． B． C． D．12．若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则（）A．10 B．20 C．30 D．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图为某几何体的三视图，则其侧面积为_______14．已知圆C1：，圆C2：，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为轴上的动点，则的最小值_____．15．对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.下列函数为2倍值函数的是__________（填上所有正确的序号）．①②③④16．计算：01(三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．18．（12分）已知函数,．（Ⅰ）求函数的单调减区间；（Ⅱ）证明:；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的值.19．（12分）在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为（m为参数）.（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点，直线l和曲线C相交于，两点，求.20．（12分）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；(2)讨论函数的单调性.21．（12分）已知函数.（1）求的最小值；（2）证明：对一切，都有成立.22．（10分）（1）已知矩阵的一个特征值为，其对应的特征向量，求矩阵及它的另一个特征值.（2）在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点P到直线l：的最小距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

利用捆绑法：先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，并把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列，利用排列组合的知识和分步计数原理求解即可.【题目详解】根据题意，分两步进行：先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，同时对两名女歌手进行全排列有种选择；再把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列有种选择，由分步计数原理可得，共有出场方案的种数为.故选：D【题目点拨】本题考查利用捆绑法和分步乘法计数原理，结合排列数公式求解排列组合问题；考查运算求解能力和逻辑推理能力；分清排列和组合和两个计数原理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.2、B【解题分析】

设,得，且：,时,函数递减，或时,递增．结合复合函数的单调性：当a>1时,减区间为，不合题意，当0<a<1时,为增区间.∴，解得：.故选：B.【题目点拨】复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3、A【解题分析】

根据f（x）•f（y）＝f（x+y），令x＝n，y＝1，可得数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得Sn，进而Sn的取值范围．【题目详解】∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y），∴令x＝n，y＝1，得f（n）•f（1）＝f（n+1），即f（1），∴数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，∴an＝f（n）＝（）n，∴Sn1﹣（）n∈[，1）．故选：C．【题目点拨】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y）得到数列{an}是等比数列，属中档题．4、D【解题分析】

依照题意找出的限制条件，确定，得到函数的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否正确．【题目详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，又在上为单调函数，，即，所以或，即或所以总有，故①②正确；由或图像知，在上单调递增，故③正确；当时，只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确；综上，所有正确结论的编号是①②③．【题目点拨】本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力．5、B【解题分析】

根据二次根式的性质求出，再结合指数函数的性质求出，取交集即可．【题目详解】，，解得：，而单调递增，故值域：，，故选：．【题目点拨】本题考查定义域值域的求法，考查交集等基本知识，是基础题6、D【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义，逆否命题的定义、含有量词的命题的否定以及复合命题的真假关系依次对选项进行判断即可得到答案。【题目详解】对于A,由可得或，即“”是“”的充分不必要条件，故A正确；对于B，根据逆否命题的定义可知命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故B正确；对于C,由全称命题的否定是存在命题，可知若命题“”，则“”，故C正确；对于D,根据复合命题的真值表可知若“”为真命题，则至少一个为真命题，故D错误。故答案选D【题目点拨】本题考查命题真假的判定，涉及到逆否命题的定义、充分条件与必要条件的判断、含有量词的命题的否定以及复合命题的真假关系，属于基础题。7、C【解题分析】

对甲分别坐座位号为3或4分类推理即可判断。【题目详解】当甲坐座位号为3时，因为乙不坐座位号为1和4的座位所以乙只能坐座位号为2，这时只剩下座位号为1和4又丙的要求和乙一样，矛盾，故甲不能坐座位号3.当甲坐座位号为4时，因为乙不坐座位号为1和4的座位，丙的要求和乙一样：所以丁只能坐座位号1，又如果乙不坐座位号为2的座位，丁就不坐座位号为1的座位.所以乙只能坐座位号2，这时只剩下座位号3给丙。所以坐在座位号为3的座位上的是丙.故选：C【题目点拨】本题主要考查了逻辑推理能力，考查了分类思想，属于中档题。8、B【解题分析】

利用集合的基本运算定义即可求出答案【题目详解】已知集合，，利用集合的基本运算定义即可得：答案：B【题目点拨】本题考查集合的基本运算，属于基础题9、B【解题分析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算输入时变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得到答案.【题目详解】本题由于已知输出时x的值，因此可以逆向求解：输出,此时；上一步：,此时；上一步：,此时；上一步：,此时；故选：B.【题目点拨】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题.10、A【解题分析】

∴则当与同向时最大，最小，此时=，所以=-1，所以的最小值为，故选A点睛：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，求出，表示出，由表达式可判断当与同向时，最小.11、C【解题分析】

设，，则由，，列出方程组，求出，，即可求得．【题目详解】设，，①，又②由①②得，，，故选：C.【题目点拨】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12、B【解题分析】分析：由题意可知数列是等差数列，由等差数列的性质得，得详解：数列为调和数列为等差数列，由等差数列的求和公式得，由等差数列的性质故选B点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，通过合理的转化建立起已知条件和考点之间的联系是解题关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据三视图可知几何体为圆锥，利用底面半径和高可求得母线长；根据圆锥侧面积公式可直接求得结果.【题目详解】由三视图可知，几何体为底面半径为，高为的圆锥圆锥的母线长为：圆锥的侧面积：本题正确结果：【题目点拨】本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，考查学生对于圆锥侧面积公式的掌握情况.14、【解题分析】

求出圆关于轴对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可得到的最小值.【题目详解】如图所示，圆关于轴对称圆的圆心坐标，以及半径，圆的圆心坐标为，半径为，所以的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即.【题目点拨】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求法，以及两圆的位置关系的应用，其中解答中把的最小值转化为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.15、①②④【解题分析】分析：为倍值函数等价于，的图象与有两个交点，且在上递增，由此逐一判断所给函数是否符合题意即可.详解：为倍值函数等价于，的图象与有两个交点，且在上递增：对于①，与，有两个交点，在上递增，值域为，①符合题意.对于②，与，有两个交点，在上递增，值域为，②符合题意.对于③，与，没有交点，不存在，，值域为，③不合题意.对于④，与两个交点，在上递增，值域为，④合题意，故答案为①②④.点睛：本题考查函数的单调性以及函数的图象与性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.16、e-【解题分析】试题分析：01(e考点：定积分．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、37【解题分析】试题分析：解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．考点：本题主要考查分类、分步计数原理的综合应用．点评：是一道综合性较强的题目，分类中有分步，要求有清晰的思路．首先将人员分属集合，按集合分类法处理，对不重不漏解题有帮助．18、(1)f(x)的单调递减区间是.(2)证明见解析.(3).【解题分析】

(Ⅰ)求导，由，即可得到函数的单调减区间；(Ⅱ)记h(x)＝f(x)g(x),设法证明，即可证明.(Ⅲ)由题即，易证,当时取到等号，由得,由此可求的值.【题目详解】(Ⅰ)因为由，得所以f(x)的单调递减区间是.(Ⅱ)记h(x)＝f(x)g(x)＝,,所以在R上为减函数因为所以存在唯一，使即，,当时，；当时，.所以所以.(Ⅲ)因为,所以,易证,当时取到等号，由得,,所以即.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明与恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19、（1），；（2）44【解题分析】分析：（1）首先将直线的极坐标方程展开后，利用极坐标和直角坐标的转化公式，可求得直线的直角坐标方程.利用代入消元法消去可求得曲线的普通方程.（2）利用直线参数的几何意义，借助根与系数关系，可求得的值.详解：（1）由得，即，∴的直角坐标方程，由，得，代入得，即，所以的普通方程：；（2）在上，的参数方程为（为参数），将的参数方程代入得：，即，∴，∴.点睛：本小题主要考查极坐标和直角坐标相互转化，考查参数方程和普通方程互划，考查利用直线参数的几何意义解题.属于基础题.20、（1）3；（2）见解析.【解题分析】

（1）求出函数的导数，利用斜率求出实数的值即可；（2）求出函数的定义域以及导数，在定义域下，讨论大于0、等于0、小于0情况下导数的正负，即可得到函数的单调性。【题目详解】（1）因为，所以，即切线的斜率，又切线与直线平行，所以，即；（2）由（1）得

，的定义域为，