湖南省祁东县第一中学2024届数学高二第二学期期末达标检测模拟试题含解析

湖南省祁东县第一中学2024届数学高二第二学期期末达标检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某学校高三模拟考试中数学成绩服从正态分布，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（）人．参考数据：，）A．261 B．341 C．477 D．6832．是异面直线的公垂线，在线段上(异于)，则的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三角形不定3．设集合A={1,3,5}，B={-3,1,5}，则A∩B=（A．{1} B．{3} C．{1,3} D．{1,5}4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A．，则B．，则C．，则D．，则5．假设如图所示的三角形数表的第行的第二个数为，则（）A．2046 B．2416 C．2347 D．24866．参数方程（θ∈R）表示的曲线是（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线7．已知中，，，，则B等于（）A． B．或 C． D．或8．已知，，，则下列三个数，，（）A．都大于 B．至少有一个不大于C．都小于 D．至少有一个不小于9．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线所围成的图形的面积为（）A． B． C． D．10．A． B． C． D．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A． B． C． D．12．2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（）A．720 B．360 C．270 D．180二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对不同的且,函数必过一个定点,则点的坐标是_____.14．湖面上有个相邻的小岛，，，，，现要建座桥梁，将这个小岛连接起来，共有__________不同方案．（用数字作答）15．_________.16．已知直线与曲线相切，则的值为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知(a∈R).（1）当时,判断f(x)在定义域上的单调性；（2）若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值；（3）若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立，试求18．（12分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的极值.19．（12分）已知函数.（1）当，求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求的最小值；（3）证明：当时，.20．（12分）某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测株树苗的高度，经数据处理得到如图1所示的频率分布直方图，其中最高的株树苗的高度的茎叶图如图2所示，以这株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.（1）求这批树苗的高度于米的概率，并求图中的值；（2）若从这批树苗中随机选取株，记为高度在的树苗数量，求的分布列和数学期望；（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批树苗的高度近似于正态分布的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗是否被签收？21．（12分）山西省2021年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分。根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩。举例说明1：甲同学化学学科原始分为65分，化学学科等级的原始分分布区间为，则该同学化学学科的原始成绩属等级，而等级的转换分区间为那么，甲同学化学学科的转换分为：设甲同学化学科的转换等级分为，求得.四舍五入后甲同学化学学科赋分成绩为66分。举例说明2：乙同学化学学科原始分为69分，化学学科等级的原始分分布区间为则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为这时不用公式，乙同学化学学科赋分成绩直接取下端点70分。现有复兴中学高一年级共3000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布。且等级为所在原始分分布区间为，且等级为所在原始分分布区间为，且等级为所在原始分分布区间为（1）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，小红同学在这次考试中物理原始分为72分，求小明和小红的物理学科赋分成绩；（精确到整数）.（2）若以复兴中学此次考试频率为依据，在学校随机抽取4人，记这4人中物理原始成绩在区间的人数，求的数学期望和方差.（精确到小数点后三位数）.附：若随机变量满足正态分布，给出以下数据，22．（10分）若对任意实数都有函数的图象与直线相切，则称函数为“恒切函数”，设函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数为“恒切函数”，①求实数的取值范围；②当取最大值时，若函数也为“恒切函数”，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是0.6826，根据概率求出位于这个范围中的个数，根据对称性除以2得到要求的结果．详解：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人.故选B.点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．2、C【解题分析】

用表示出，结合余弦定理可得为钝角．【题目详解】如图，由可得平面，从而，线段长如图所示，由题意，，，显然，∴，为钝角，即为钝角三角形．故选C．【题目点拨】本题考查异面直线垂直的性质，考查三角形形状的判断．解题关键是用表示出．3、D【解题分析】

根据交集定义求解．【题目详解】由题意A∩B={1,5}．故选D．【题目点拨】本题考查集合的交集运算，属于基础题．4、D【解题分析】

根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.【题目详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知错误；且，此时或，可知错误；，，，此时或，可知错误；两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，正确.本题正确选项：【题目点拨】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.5、B【解题分析】

由三角形数表特点可得，利用累加法可求得，进而得到结果.【题目详解】由三角形数表可知：，，，…，，，整理得：，则.故选：.【题目点拨】本题考查数列中的项的求解问题，关键是能够采用累加法准确求得数列的通项公式.6、A【解题分析】

利用平方关系式消去参数可得即可得到答案.【题目详解】由可得，所以，化简得.故选：A【题目点拨】本题考查了参数方程化普通方程，考查了平方关系式，考查了圆的标准方程，属于基础题.7、D【解题分析】

根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B．【题目详解】由题意得，△ABC中，a＝1，，A＝30°，由得，sinB，又b＞a，0°＜B＜180°，则B＝60°或B＝120°，故选：D．【题目点拨】本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．8、D【解题分析】分析：利用基本不等式可证明，假设三个数都小于，则不可能，从而可得结果.详解：，假设三个数都小于，则，所以假设不成立，所以至少有一个不小于，故选D.点睛：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题.反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．9、C【解题分析】

根据余弦函数图象的对称性可得，求出积分值即可得结果.【题目详解】根据余弦函数图象的对称性可得，故选C.【题目点拨】本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．10、D【解题分析】分析：根据公式，可直接计算得详解：，故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.11、B【解题分析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.【考点定位】三视图与几何体的体积12、D【解题分析】

由题意分两步进行，第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，可得方案数量，第二步为将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，两者方案数相乘可得答案.【题目详解】解：根据题意，分两步进行：①在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，有中情况；②将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有种情况，则一共有种不同的安排方案，故选：D.【题目点拨】本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，相对不难，注意运算准确.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求出函数f（x）必过的定点坐标．【题目详解】根据指数函数的图象恒过定点（0，1）,令4﹣2x＝0，x＝2，∴f（2）＝+3＝4，∴点A的坐标是（2，4）．故答案为（2，4）．【题目点拨】本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，属于基础题．14、135【解题分析】分析：个相邻的小岛一共可座桥梁，选座，减去不能彼此连接的即可。详解：个相邻的小岛一共可座桥梁，选座不能彼此连接，共135种。点睛：转化问题为组合问题。15、【解题分析】

设,则,然后根据定积分公式计算可得.【题目详解】设,则,所以===.故答案为:.【题目点拨】本题考查了定积分的计算,属基础题.16、【解题分析】

试题分析：设切点，则,，．考点：导数的几何意义．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）a=-e【解题分析】分析：（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝，由此利用导数性质能求出f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；（2）由（1）根据a的取值范围分类讨论，由此利用导数性质能求出a；（3）由fx<x2⇔详解：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)由(1)可知，f′(x)＝.①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)．②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去)．③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a，当1<x<－a时，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；当－a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，∴a＝－.综上所述，a＝－.(3)∵f(x)<x2，∴lnx－<x2.又x>0，∴a>xlnx－x3.令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝.∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数．g(x)<g(1)＝－1，∴当a≥－1时，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立．故a的取值范围是[－1，＋∞)．点睛：本题考查函数的单调区间和实数取值范围的求法，解题时认真审题，注意分类讨论思想和导数性质的合理应用.18、（Ⅰ）（Ⅱ）的极大值为，的极小值为【解题分析】分析：（1）先求导，再利用导数的几何意义求切线的斜率，再求曲线在点处的切线方程.(2)利用导数求函数的极值.详解：（Ⅰ），，.故切线的斜率，由直线的点斜式方程可得，化简得，所以切线方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ），得.令，得或.当变化时，，的变化情况如下表：1+0-0+极大值极小值综上，的极大值为，的极小值为.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数求函数的极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数的极值的一般步骤:先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值.19、(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)的最小值为.(3)证明见解析.【解题分析】分析：函数的定义域为，（1）函数，据此可知函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）由题意可知在上恒成立.据此讨论可得的最小值为.（3）问题等价于.构造函数，则取最小值.设，则.由于，据此可知题中的结论成立.详解：函数的定义域为，（1）函数，当且时，；当时，，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）因在上为减函数，故在上恒成立.所以当时，，又，故当，即时，.所以，于是，故的最小值为.（3）问题等价于.令，则，当时，取最小值.设，则，知在上单调递增，在上单调递减.∴.∵，∴，∴故当时，.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20、（1）概率为，，，（2）详见解析（3）将顺利被公司签收【解题分析】

（1）由图2可知，株样本树苗中高度高于米的共有株，以样本的频率估计总体的概率，可知这批树苗的高度高于米的概率为，记为树苗的高度，结合图1，图2求得，，，，即可求得答案；（2）以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗中随机选取株，高度在的概率为，因为从树苗数量这批树苗中随机选取株，相当于三次独立重复试验，可得随机变量，即可求的分布列，进而求得；（3）利用条件，计算出，从而给出结论.【题目详解】（1）由图2可知，株样本树苗中高度高于米的共有株，以样本的频率估计总体的概率，可知这批树苗的高度高于米的概率为，记为树苗的高度，结合图1，图2可得：，，，组距为，，，.（3）以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗中随机选取株，高度在的概率为，因为从树苗数量这批树苗中随机选取株，相当于三次独立重复试验，随机变量，分布列为：012340.00810.07560.26460.41160.2401.（3）由，取，，由（2）可知，又结合（1）可得，这批树苗的高度近似于正态分布的概率分布，应该认为这批树苗是合格的，将顺利被公司签收.【题目点拨】本题解题关键是掌握频率直方图基础知识和求二项式分布列，及其正态分布的实际应用,考查了分析能力和计算能力，属于基础题.21、(1)小明82分，小红70分；(2)1.504，0.938【解题分析】

（1）根据题意列式求解（2）先确定区间，再根据正态分布求特定区间概率，最后根据二项分布求期望与方差.【题目详解】解（1）小明同学且等级为,设小明转换后的物理等级分为，求得．小明转换后的物理成绩为82小红同学且等级为，且等级为所在原始分分布区间为，小红为本等级最低分72,则转换后的物理成绩为70分。（2）物理考试原始成绩等级为所在原始分分布区间为，人数所占比例为24%，又因为物理考试原始成绩基本服从正态分布，当原始分时，人数所占比例为